Тема АЛГЕБРА

Алгебраические текстовые задачи

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Алгебраические текстовые задачи

Различные подсчеты без составления уравнения

Составление уравнений

Задачи на проценты

Задачи на дроби

Задачи на работу

Задачи на движение: алгебраический подход

Среднее арифметическое в текстовых задачах

Среднее геометрическое и гармоническое в текстовых задачах

Задачи с неравенствами

Конструктивы в алгебре

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 181#38672Максимум баллов за задание: 7

Маша, Аня и Сабина делят коллекционные карточки между собой. Если Маша отдаст $40$ своих карточек Сабине, у Сабины и Ани станет поровну. Если Маша отдаст Сабине $30$ своих карточек, поровну станет у Маши и Сабины. А сколько карточек Маша должна отдать Сабине, что поровну стало у Ани и Маши?

Показать ответ и решение

Пусть у Сабины $x$ карточек. Тогда, если Маша отдаст ей $40$ карточек, у Сабины их станет $x+ 40$ , то есть у Ани тоже $x+ 40$ карточек. Если же Маша отдаст Сабине $30$ карточек, у нее станет $x+ 30$ карточек, значит, у Маши тоже стало бы $x+ 30$ карточек, поэтому изначально их у нее было $x+ 60$ . Тогда у Маши на $20$ карточек больше, чем у Ани, и именно их ей нужно отдать Сабине, чтобы у Ани и Маши стало поровну.

Ответ: 20

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 182#38673Максимум баллов за задание: 7

Одноклассники на переменке решили сравнить цвета глаз друг с другом. Полина заметила, что детей с цветом глаз темнее, чем у нее, в $10$ раз меньше, чем детей с цветом глаз светлее, чем у нее. Катя же заметила, что детей с цветом глаз темнее, чем у нее, столько же, сколько детей с цветом глаз светлее, чем у нее. Сколько всего детей в классе, если известно, что их не больше $25$ ?

Показать ответ и решение

Количество людей без Полины делится на $11$ , так как $10$ частей составляют люди с более светлым цветом глаз, а $1$ часть — люди с более темным цветом глаз. Количество людей без Кати делится на $2$ , так как людей с цветом глаз светлее и темнее, чем у нее, поровну. Значит, если всего детей $x$ , число $x− 1$ обязано делиться и на $11$ , и на $2$ , то есть делиться на $22$ . Отсюда $x$ имеет остаток $1$ при делении на $22$ , но среди натуральных чисел, не больших $25$ , такое только одно, и это $23$ .

Ответ: 23

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 183#38871Максимум баллов за задание: 7

На дороге через равные промежутки расположены пункты $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ и $F$ . Вася хочет доставить посылку из пункта $A$ в пункт $F$ и вернуться обратно. Петя хочет доставить посылку из пункта $F$ в пункт $A$ и вернуться обратно. Они стартовали одновременно и в первый раз встретились в пункте $C$ . Скорости обоих постоянны. В каком пункте произойдёт их вторая встреча? Укажите латинскую (английскую) букву.

Источники: ВСОШ - 2022, школьный этап, 9 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что скорости ребят постоянны, но не равны. Стартовали они одновременно, значит, до момента встречи они добрались за одно и то же время.

Подсказка 2

Как понять их скорости? Может быть, стоит посмотреть кол-во отрезков, которые они прошли.

Подсказка 3

К моменту встречи Петя прошел 3 отрезка, а Ваня - 2, тогда давайте считать, что скорость Пети - 3 отрезка в условную единицу времени, а скорость Вани - 2.

Подсказка 4

Через единицу времени Петя уже побывает в пункте А и пойдет обратно, остановившись в пункте В, а Ваня остановиться в пункте Е.

Подсказка 5

А еще через одну единицу времени Петя уже будет в пункте Е, а Ваня, побывав в пункте F, вернется в пункт Е, отсюда и следует, что они встретятся в пункте Е!

Показать ответ и решение

Предположим, что первая встреча произошла через час после выезда. Так как она случилась в пункте $C$ , то пока первый за час проезжает два промежутка — между $A$ и $B$ и между $B$ и $C$ , второй проезжает три — между $F$ и $E$ , $E$ и $D$ , и $D$ и $C$ . Теперь расстояние между ними равно десяти промежуткам, так как им надо проехать до противоположных пунктов, а затем развернуться и проехать навстречу друг другу. Значит, что следующая встреча произойдёт через два часа и первый проедет четыре промежутка, остановившись в пункте $E$ .

Ответ: E

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 184#38877Максимум баллов за задание: 7

Старшина выстроил рядовых в шеренгу. Затем он отправил каждого седьмого чистить картошку, каждого третьего из оставшихся — учить устав, а каждого пятого из оставшихся после этого — красить траву в зелёный цвет. После этого в строю остались 16 рядовых. Сколько их могло быть вначале? Если ответов несколько, указывайте через пробел.

Источники: ВСОШ, школьный этап, 8 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Наверное, мы понимаем, что нужно решать такие задачи с конца. Давайте подумаем, что вообще происходит, когда каждый пятый человек уходит из строя. На сколько в долях уменьшается количество людей? Для лучшего понимания можно сначала рассмотреть меленькие примеры, а потом обобщить.

Подсказка 2

Верно, доля людей уменьшится на 1/5, если их число делилось на 5. А если не делилось, то последнего человека и не было, соответственно он никуда не уходил. Что это значит для нас? Какие варианты тогда возможны перед последним указания=ем старшины?

Подсказка 3

Ага, значит, общее число людей мы можем просто посчитать, зная, что их осталось 4/5. Получается их либо 20, либо 19(учитывая второй вариант). Теперь просто идя в обратном порядке, мы посчитаем возможные варианты количества людей в самом начале. Только не забудьте, что округление происходит вниз.

Показать ответ и решение

Пусть старшина отправил каждого $k$ -го из строя выполнять поручение. Тогда посмотрим на последнего ушедшего из него. Если он стоял последнем в строю, то число людей делилось на $k$ и после поручения их стало ровно на $1∕k$ меньше от всего строя. Но тоже самое количество людей могло остаться, если бы последнего человека в строю не было. То есть мы получаем не более двух возможных исходов того, сколько людей могло быть в строю до назначения работы.

После последнего поручения в строю осталось $4∕5$ от всего отряда, кроме может быть одного человека. То есть людей могло быть $16⋅5∕4= 20$ или же $19$ (во втором случае из строя выйдут трое человек, кроме условного $20$ -го, которого и так не было). После предпоследнего, в строю осталось $2∕3$ от всего отряда, кроме может быть одного человека. В таком случае, если было $20$ человек, то до ухода их было $20 ⋅3∕2= 30$ или $29$ человек, а если $19$ , то $19⋅3∕2= 28,5$ , но так как число людей должно быть целым, то их могло быть только $28$ . После первого поручения в строю могло остаться $6∕7$ от всего отряда, кроме может одного. То есть людей могло быть $30⋅7∕6= 35$ или $34$ , либо $29⋅7∕6= 33,8(3)$ , то есть $33$ или же $28⋅7∕6 =32,(6)$ , то есть $32$ .

Ответ: 32 33 34 35

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 185#38882Максимум баллов за задание: 7

В ряд выписано $23$ натуральных числа так, что сумма любых трех подряд идущих чисел равна $15$ . При этом сумма всех чисел равна $115$ . Найдите число посередине.

Показать ответ и решение

Посмотрим на два соседних числа. Так как их сумма с левым равна их сумме с правым (по условию равна $15$ ), то числа слева и справа равны. Значит, последовательность имеет вид $x$ , $y$ , $z$ , $x$ , $y$ , $z$ , $...$ , $x$ , $y$ . Полных троек среди $23$ чисел будет $7$ штук, значит, их сумма равна $7 ⋅15 =105$ . Тогда сумма последних двух чисел $x+ y$ равна $115− 105= 10$ . Тогда, так как $x +y+ z = 15$ , имеем $z = 15 − 10= 5$ . Осталось заметить, что посередине будет именно число $z$ , так как именно оно и идет 12-м.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 186#39046Максимум баллов за задание: 7

Алина собирает календарики и для пополнения коллекции время от времени обменивает 1 свой редкий календарик на 4 календарика попроще. Изначально у нее $12$ календариков. Сколько их станет после $22$ обменов?

Показать ответ и решение

За один обмен количество календариков увеличивается на $3$ , поэтому после $22$ обменов их станет на $66$ больше, то есть вместо $12$ их будет $78$ .

Ответ: 78

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 187#39050Максимум баллов за задание: 7

Саша перемножил $1$ четверку и $27$ девяток, а Олег — $55$ троек. У кого из друзей получилось большее число? В ответ внесите имя в именительном падеже с заглавной буквы.

Источники: ВСОШ - 2022, школьный этап, 7 класс

Показать ответ и решение

Так как $9= 3⋅3$ , при перемножении $27$ девяток получится то же самое число, что и при перемножении $54$ троек. Саша умножает это число на $4$ , а Олег — на $3$ , поэтому у Саши получается больше.

Ответ: Саша

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 188#39052Максимум баллов за задание: 7

На часах половина девятого. Чему равен угол между часовой и минутной стрелками? Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

В момент, когда часы показывают половину девятого, минутная стрелка указывает на цифру $6$ , а часовая — на середину дуги между цифрами $8$ и $9$ . Если из центра часов провести два луча к соседним цифрам циферблата, то между ними будет угол $∘ ∘ 360 :12= 30$ . Угол между стрелками часов, когда они показывают половину девятого, в два с половиной раза больше, следовательно, он равен $∘ 75$ .

Ответ: 75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 189#39054Максимум баллов за задание: 7

Сестры Галя и Валя празднуют день рождения в один и тот же день. Шесть лет назад, когда Валя была старше Гали в два раза, их кошка родила котёнка. Сейчас сумма возрастов девочек и котёнка равна 30. А сколько лет Гале сейчас?

Показать ответ и решение

Шесть лет назад сёстрам было суммарно $30− 3⋅6= 12$ лет. Валя была старше Гали в два раза, откуда следует, что Гале было 4 года, а Вале 8. Значит, сейчас Гале 10 лет.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 190#39057Максимум баллов за задание: 7

Саша едет на электросамокате со скоростью равной целому числу километров в час. Известно, что она проезжает $60$ километров за целое число часов. На следующей неделе вышло обновление в прошивке самоката и его скорость снизилась на $5$ км/ч, но Саша всё ещё проезжала $60$ километров за целое число часов. Такая же ситуация продолжалось ещё две недели. С какой скоростью Саша ездила изначально? Предполагается, что Саша всё время ездит с постоянной скоростью.

Показать ответ и решение

Пусть скорость Саши в начале месяца была равна $x$ . По условию $60 x$ — целое число. Также, числа $-60- x−5$ , $-60- x−10$ и $-60-- x−15$ тоже целые. Перебирая всевозможные делители числа $60$ получаем, что это может выполняться только для числа $20$ .

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 191#39373Максимум баллов за задание: 7

Есть $10$ одинаковых куриных стрипсов. Маша ест в $2$ раза быстрее, чем Сабина, поэтому съела свои $5$ стрипсов на $1$ минуту раньше. За какое время съела свои стрипсы Сабина, если известно, что кушать они начали одновременно? Ответ дайте в минутах.

Показать ответ и решение

Если скорость Сабины $v$ , то скорость Маши — это $2v$ . Если время Сабины $t$ , то время Маши — это $t− 1$ . Но съели они поровну, поэтому $2v(t− 1) =vt$ . Раскрывая скобки, получим, что $vt=2v$ , откуда $t=2$ .

Ответ: 2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 192#39387Максимум баллов за задание: 7

В пяти коробках было поровну скрепок. Когда из каждой коробки вытащили по $45$ скрепок, в пяти коробках их стало столько же, сколько было раньше в двух коробках. Сколько скрепок было раньше в каждой коробке?

Показать ответ и решение

Всего вынули $45⋅5= 225$ скрепок. Именно столько скрепок лежит в трёх коробках. Значит, изначально в каждой коробке лежало $225:3= 75$ скрепок.

Ответ: 75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 193#39390Максимум баллов за задание: 7

На линейку $1$ сентября первыми пришли $5$ шестиклассников. Затем, между ними встали пятиклассницы, а затем пришли четвероклассники и встали между уже стоящими ребятами. Сколько школьников выстроилось на линейку?

Показать ответ и решение

Между $5$ шестиклассниками может встать только $4$ пятиклассниц. Значит, на линейке $9$ шестиклассников и пятиклассниц вместе. Между девятью ребятами ровно $8$ промежутков, поэтому между ними встало $8$ четвероклассников. Всего на линейке $17$ детей.

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 194#39394Максимум баллов за задание: 7

Жучка тяжелее кошки в $3$ раза, мышка легче кошки в $10$ раз, репка тяжелее мышки в $60$ раз. Во сколько раз репка тяжелее Жучки?

Показать ответ и решение

Кошка равна $10$ мышкам, а репка — $60$ мышкам. Значит репка в $6$ раз тяжелее кошки. То есть репка равна $6$ кошкам. По условию Жучка равна $3$ кошам. Поэтому репка в $2$ раза тяжелее Жучки.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 195#41767Максимум баллов за задание: 7

Расстояние между городами $A$ и $B$ равно $60$ км. Два поезда выходят одновременно: один — из $A$ в $B$ , другой — из $B$ в $A$ . Поезд, идущий из $A$ в $B$ , пройдя $20$ км, стоит полчаса, затем отправляется дальше и через $4$ минуты встречает поезд, идущий из $B$ в $A$ . Оба поезда прибывают к месту назначения одновременно. Определите скорости поездов.

Показать ответ и решение

Пусть поезд $b$ (из города $B$ ) ехал $t$ минут, откуда его скорость равна $60- t$ (км/мин), тогда поезд $a$ потратил $t− 30$ минут и его скорость $-60- t−30$ . Он потратит на $20$ километров $t 3 − 10$ минут и до места встречи будет добираться $t 3 − 6$ . Поезд $b$ же потратит на дорогу $t 3 + 24$ , а от места встречи будет добираться до $A$ ещё $2t 3 − 24$ минуты. Составим уравнение на равенство пройденных расстояний:

60 (t ) 60 ( 2t ) t−-30-⋅ 3 − 6 =-t ⋅ 3-− 24

t−-18= 2t−-36- ⇐ ⇒ t2− 18t =2t2− 114t+2 ⋅30⋅36 t− 30 t

t2− 150t+ 2⋅30⋅36= 0 =⇒ t∈{24,90}

Поскольку $t≥ 30$ , то нам подойдёт только $t=90$ . Отсюда скорости равны $1$ км/мин и $23$ км/мин.

Ответ:

$1$ км/мин и $2 3$ км/мин

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 196#42934Максимум баллов за задание: 7

В метро города $N$ можно провозить предметы, длина и ширина которых не превосходят $1$ м, а высота не превосходит $150$ см. Можно ли, согласно этим правилам, провезти неразборную удочку длины $206$ см в коробке, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда? Толщиной удочки можно пренебречь, сгибать удочку не разрешается.

Показать ответ и решение

Квадрат диагонали параллелепипеда равен

2 2 2 2 d = a +b + c = 10000+ 10000+ 22500= 42500

Так что длина удочки меньше длины максимальной диагонали разрешенной коробки, потому что

2062 = 42436 <42500

Ответ: да

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 197#70162Максимум баллов за задание: 7

В пяти корзинах лежат яблоки двух сортов так, что в каждой корзине есть яблоки только одного сорта. Известно, что в первой корзине находится 20 яблок, во второй — 30 , в третьей — 40 , в четвёртой — 60, в пятой — 90. После того, как содержимое одной из корзин полностью продали, яблок первого сорта стало в два раза больше, чем яблок второго сорта. Сколько яблок могло быть в проданной корзине? Если ответов несколько, укажите их все через пробел в порядке возрастания.

Источники: ВСОШ - 2022, школьный этап, 9 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если яблок одного сорта в два раза больше, чем другого, то оставшаяся сумма яблок x + 2x = 3x делится на 3. Осталось только понять, сколько яблок какого сорта должно быть по итогу и возможно ли это.

Подсказка 2

Изначально было 240 яблок, что тоже делится на 3. Поэтому в проданной корзине не могло быть яблок, чьё количество не делится на 3, так как разность двух чисел, делящихся на 3, тоже делится на 3!

Подсказка 3

Остались варианты: 30, 60, 90. Однако обязательно надо проверить, что оставшееся количество яблок первого или второго сорта мы сможем набрать, используя оставшиеся корзины, так как в каждой должны лежать яблоки только одного сорта

Подсказка 4

Именно по этой причине в проданной корзине 30 яблок быть не может, так как второго сорта останется (240-30)/3 = 70 штук, и мы не сможем их разложить в коризны на 20, 40, 60, 90. Осталось проверить варианты на 60 и 90 яблок и, если все хорошо, привести примеры

Показать ответ и решение

Конечно, можно для каждой корзины попробовать её убрать и посмотреть, можно ли оставшиеся разбить на две группы, подходящих под условие. Но можно сократить перебор:

Если яблок первого сорта стало в два раза больше яблок второго сорта, то общее количество оставшихся яблок должно делиться на $3$ . Первоначальное количество яблок равно $20+ 30+40+ 60+ 90 =240$ штук. Так как $240$ делится на $3$ , то количество убранных яблок тоже должно делиться на $3$ . Поэтому варианты на $20$ и $40$ яблок не подходят. Если убрали $30$ яблок, то яблок второго сорта должно быть $(240− 30):3= 70$ штук. Но $70$ штук нельзя набрать используя корзины на $20, 40$ и $60$ яблок.

Осталось проверить, что ответы $60$ и $90$ достигаются. Для этого надо предъявить примеры, как могли быть распределены яблоки по группам (сортам), чтобы количество яблок в одной группе было в два раза больше, чем в другой. Действительно:

40 +60= 2(20+ 30),если убрали 90 яблок;

30 +90= 2(20+ 40),если убрали 60 яблок.

Ответ: 60 90

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 198#70165Максимум баллов за задание: 7

Каждый день сладкоежка покупает на одну конфету больше, чем в предыдущий. За одну неделю в понедельник, вторник и среду в сумме он купил 504 конфеты. Сколько конфет он купил за четверг, пятницу и субботу в сумме на той же неделе?

Источники: ВСОШ - 2022, школьный этап, 4 класс

Показать ответ и решение

В четверг куплено на $3$ конфеты больше, чем в понедельник, в пятницу — на $3$ больше, чем во вторник, в субботу — на $3$ больше, чем в среду. Итого, за четверг, пятницу и субботу куплено на $9$ конфет больше, чем за понедельник, вторник и среду, то есть $504+9 =513$ конфет.

Ответ: 513

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 199#70190Максимум баллов за задание: 7

Алина добирается в школу на автобусе. Автобус ходит по расписанию каждые 15 минут. На дорогу до остановки девочка тратит всегда одинаковое число минут. Если она выйдет из дома в 8:20, то будет в школе в 8:57, а если выйдет из дома в 8:21, то опоздает в школу. Уроки начинаются в 9:00. На сколько минут Алина опоздает в школу, если выйдет из дома в 8:23?

Источники: ВСОШ - 2022, школьный этап, 4 класс

Показать ответ и решение

Если после выхода из дома Алина села бы на тот же автобус, то она приехала бы в 8:58 и не опоздала в школу. Значит, она пропустила этот автобус, прождала 15 минут и поехала на следующем, прибыв в школу вместо 8:57 на 15 минут позже (следующий автобус поехал через 15 минут), в 9:12.

Если она выйдет из дома в 8:23, то Алина просто будет ждать автобус на две минуты меньше. В школу она приедет в то же время, в 9:12, с опозданием на 12 минут.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 200#71013Максимум баллов за задание: 7

На вход устройства подается лента с записанными на ней нулями и единицами:

$PIC$

За один такт устройство считывает с ленты с позиций $μ1,μ2,μ3$ (на первом такте $μ1 = 1$ ) три значения $x,y,z$ . Если $x+ y+z ≥2,$ то устройство на новой ленте печатает 1 , иначе — 0 . Затем устройство сдвигается на одну позицию вправо, и процедура повторяется. Найдите разности $d1 = μ2− μ1$ и $d2 = μ3− μ2,$ если известно, что $d1 +d2 ≤ 10,$ а на новой ленте было напечатано следующее: $0001000010111111000111010111011010101001 ...$ (для примера на рисунке изображен случай $d1 = 3,d2 =5).$

Источники: Верченко-2022 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Да, можно и перебрать d_1 и d_2, но это будет долго) Попробуем сократить перебор! Что мы вообще умеем делать? Мы умеем брать конкретные элементы ленты и считать их сумму, если расстояния между ними это d_1 и d_2. Какие "удобные" элементы хочется взять?

Подсказка 2

Рассмотрим систему неравенств, которая соответствует выходных знакам вида 1...1 на расстоянии d_1. С помощью нее мы сможем дать ограничения на элементы, находящиеся на расстоянии d_1. Таким образом мы сможем перебрать и методом "пристального взгляда на ленту" найти d_1. Аналогично с d_2!

Показать ответ и решение

Число возможных вариантов $d 1$ и $d :10+ 9+ ⋅⋅⋅+1 =55 2$ , можно для каждого варианта проверять, что соответствие входных и выходных символов, а можно предложить более быстрый способ, заключающийся в нахождении сначала $d1$ (максимум 10 вариантов), а затем $d2$ . Для этого достаточно заметить следующее.