Алгебраические текстовые задачи

Обозначим число рабочих на меньшем поле как тогда их количество на большем поле равно а всего в бригаде человека. В условии задачи предполагается, что производительность каждого рабочего одинаковая, обозначим ее Соответственно, производительности каждой части бригад равны и Если площадь малого поля то площадь большого равна Время, затраченное на выполнение всей работы каждой из бригад, соответственно равно

По условию задачи

В силу положительности всех переменных, это неравенство равносильно неравенству

Поэтому следовательно, Ситуация равенства, очевидно, возможна: достаточно взять любые положительные и

Пусть у Алика значков и браслетов, а увеличение происходит в раз. Тогда получаем систему

Складывая эти уравнения и вычитая первое из второго, приводим систему к виду

Исключая получаем

Это уравнение преобразуем к виду

где — натуральные числа.

Случай противоречит условию, что значков больше, чем браслетов. Если же то что невозможно, поскольку по условию в коллекции присутствуют предметы обоих типов. Поэтому возможны два случая:

1.

тогда

2.

тогда

Пусть — ежемесячный доход студента, и — величины стипендии, подработки и помощи родителей соответственно (выраженные, например, в рублях). Ясно, что Тогда по условию и Из первого уравнения из второго тогда то есть, доход студента возрастёт на

Максимум сумма цифр года рождения может равняться минимум — Поэтому Е.А. родился самое раннее в а самое позднее — в Заметим, что если менять только последнюю цифру года рождения, то сумма цифр будет увеличиваться, а возраст — уменьшаться (и наоборот) на одну и ту же величину. Поэтому в каждом десятилетии не более одного подходящего года. Остаётся проверить возможные десятилетия. Если год рождения попадает на нулевые, получаем уравнение То есть что не имеет решения в целых числах. Если год рождения попадает на восьмидесятые, то получаем уравнение или что тоже не имеет решения в целых числах. Наконец, для девяностых получаем уравнение Решая его, получаем, единственный ответ: Поэтому Е.А. родился в году. Значит, в году ему исполнилось года.

Пусть у Дениса изначально было коричневых хамелеонов. Тогда красных хамелеонов было . Из условия задачи получаем уравнение . Откуда получаем . Всего хамелеонов , то есть

Пусть всего было крыс, где по условию. Тогда в первую ночь каждая крыса съела головок сыра. Во вторую ночь каждая крыса съела вдвое меньше, то есть головок сыра. Так как во вторую ночь крыс доедали сыр, суммарно они съели головок сыра. Эта дробь — целое число, а единственный делитель числа превышающий это само число поэтому И тогда всего сыра было съедено

Переместим отрезок в точку то есть будем рассматривать отрезок Обозначим взятые точки Тогда, т.к.

При замене на 0, а на 3 все знаменатели увеличились, а обратные им величины уменьшились.

Тогда

Пусть кулебяка делится на порции объёмом и Тогда при съедании всей кулебяки энергетические затраты составят а при разделении на две порции составят Требуется исследовать отношение этих величин. Для удобства рассмотрим квадрат их отношения

Величина поэтому

Таким образом,

Обозначим стороны прямоугольников через и сторону квадрата через и составим систему уравнений

Выразим из первого уравнения и подставим во второе

Это квадратное относительно уравнение. Оно имеет решение, если его дискриминант неотрицателен. Дискриминант (без учета множителя 2) равен

Отсюда сразу получаем, что и для поиска сторон прямоугольника систему

имеющую единственное решение

В фирме, с которой произошло объединение, отношение числа женщин к числу мужчин равнялось Поэтому можно полагать, что там было женщин и мужчин, где n В результате объединения получилась фирма, среди сотрудников которой, ровно женщин. Поскольку

то число делит и может быть равным Соответствующие значения равны

На первом шаге в группе разместим логарифмы нечетных чисел, а в группе — четных:

Обозначим через суммы чисел в группах и соответственно. Покажем, что Действительно,

Перенесем число из группы в группу а число наоборот — из в Поскольку разность уменьшилась на величину

Если для вновь образованных множеств и разность меняем местами числа и По-прежнему, разность уменьшается на величину

Если разность по процесс перекладывания чисел из одного множества в другое может быть продолжен. Если на каком-то шаге поменяет знак, то и искомое разбиение достигнуто. Это обязательно произойдет за конечное число шагов, поскольку замена множеств и местами приводит к смене знака величины

Рассмотрим любой автобус. Понятно, что его обгоны и встречи с Васей чередуются, притом его первым и последним пересечениями является встреча, значит он обогнал Васю на один раз меньше, чем встретил его на обратном пути. Но тогда общее количество обгонов на меньше общего количества встреч.

Пусть объём работы равен у.е., тогда скорость первой машины равна у.е./мин, скорость второй — За минут совместной работы они обработают Оставшиеся условных единиц вторая машина обработает за минут.

Предположим, что слесарь прав.

Обозначим за скорости наполнения труб, за литров — объём бака. Для полного заполнения бака второй и третьей трубами вместе нужно часов, тогда из первой трубы налито литров. Аналогично подсчитывается объём, налитый из других труб. Тогда справедливо следующее равенство:

Сократим на и рассмотрим следующие очевидные неравенства:

Если их просуммировать, то получим

противоречие. Значит, слесарь не прав.

Пусть ключи пополняют озеро со скоростью литров в день, а слон выпивает литров в день, объём озера — литров. Тогда по условию и Решая эту систему относительно и получим Если слон один, то озеро опустошается со скоростью Тогда он выпьет озеро за дней.

Приведём пример ситуации, когда это возможно. Всего наблюдателя. Первый следит первые десять секунд, второй — с шестой по пятнадцатую секунды, третий — с тринадцатой по двадцать вторую секунды, четвёртый — с двадцать первой по тридцатую. Ящерица пробегала по метру в те промежутки времени, когда за ней следил только один школьник: в секунды с первой по пятую, с одиннадцатой по двенадцатую, с шестнадцатой по двадцатую, с двадцать третьей по тридцатую; и нисколько не пробегала, когда за ней следило сразу два человека: в секунды с шестой по десятую, с тринадцатой по пятнадцатую, с двадцать первой по двадцать вторую. Легко можно убедиться в том, что этот пример подходит.

Сравним доли, которые получили авторы в первом и во втором дележе. Второй автор получил в первом случае и во втором. Так как то увеличиться он не мог. Аналогично для третьего автора, так как то и его гонорар не мог стать больше. Получается, что во втором случае больший гонорар мог получить только первый соавтор. Пусть — сумма гонорара, тогда по условию откуда

Заменим во втором условии Васины орехи на орехи Лёвы и Гены (их столько же). Тогда у двух Ген и Лёвы орехов вдвое больше, чем у Лёвы, т.е. у Лёвы вдвое больше орехов, чем у Гены. Из первого условия теперь видно, что у Васи втрое больше орехов, чем у Гены, а у Васи и Лёвы вместе взятых — в пять раз больше.

За день все фермеры вместе обрабатывают общей площади земель. Значит, -й и -й фермеры за день обрабатывают а за дня они обработали общей площади.

Пусть скорость велосипедиста равна км / мин, скорость автомобиля равна км / мин, а расстояние между пунктами равно км, тогда

Отсюда то есть велосипедист потратил на дорогу минут.

Замечание. Как эта задача выглядит при графическом подходе к решению: