Алгебраические текстовые задачи

Поскольку расстояние между пешеходом и велосипедистом увеличилось, за часа они успели встретиться и разъехаться на км. Пусть расстояние между пунктами и равно , и за час пешеход и велосипедист суммарно преодолевают расстояние . Возможны два случая. Если через час после начала движения они еще ни разу не встречались, то в течение второго часа они суммарно сдвинулись на км. Откуда расстояние между и равно км. Если же в течение первого часа они встречались, то км. Тогда км.

Пусть – число семиклассников, – число восьмиклассников; тогда Второе уравнение мы получим, если подсчитаем двумя способами общее количество рукопожатий. С одной стороны, число рукопожатий равно , поскольку от каждого семиклассника «исходит» 8 рукопожатий. С другой стороны, число рукопожатий равно , так как от каждого восьмиклассника «исходит» 7 рукопожатий. Следовательно, Решая полученную систему уравнений, находим: .

Пусть табуреток , а стульев . Тогда всего ног . Посмотрим на это по модулю 6. Тогда . Значит . Если , то . Если , то ?!

Пусть и — длина, ширина и высота соответственно второго куска сыра. Тогда его объём равен По условию объём первого куска сыра равен Следовательно,

a

За время , которое пешеход двигался навстречу машине до встречи у начала моста, он прошёл длины моста. Следовательно, если бы пешеход продолжал идти вперёд, то за время он прошёл бы ещё длины моста и ему осталось бы пройти длины моста, а машина за время подъехала бы к началу моста, и, чтобы догнать пешехода, ей осталось бы проехать мост целиком. Значит, отношение скорости машины к скорости пешехода равно

Пусть с 12:00 до 12:30 группа прошла расстояние . Тогда с 12:30 до 14:00 группа пройдет еще . Штурман же с до 14:00 пробежит обратно до лагеря, а потом в нужном направлении. Итого за одно и то же время штурман пробежал , а группа прошла , откуда скорость штурмана в раз больше скорости группы, а так как группа проходит расстояние за 30 минут, то штурман пробежит расстояние за минут. Тогда в лагерь он прибежит в 12:48.

Мысленно увеличим возраст мамы и Тани на 4 года. Тогда возраст у двух членов семьи будет равен возрасту папы, ещё у двух - половинке возраста папы. Тогда суммарный возраст всех членов семьи равен лет, и он должен быть равен утроенному возрасту папы. Следовательно, папе должно быть лет. Отсюда легко понять, что маме года, Коле года, а Тане лет.

Перед добавлением карандашей можно было считать, что красных столько же, сколько зеленых. А тогда 10 добавленных карандашей — это количество синих. Итак, в момент добавления было по 10 красных, синих и зеленых карандашей.

Пусть между городами А и Б проходит дорог, между городами Б и В — дорог, между городами А и В — дорог. Тогда количество путей из А в Б равно , а количество путей из Б в В равно .

Мы получили систему уравнений , в которой неизвестные натуральные числа, большие 1. Вычитая из первого уравнения второе, получаем: . Нам осталось перебрать все делители 5: 1 и 5. Значит, или .

Для каждого мы находим и , решая исходную систему линейных уравнений. Если , то и . Если , то и .

Количество путей, связывающих города А и В, равно . В первом случае , а во втором — . Значит, искомый ответ равен 26.

Отметим деревню город точку встречи автомобиля и велосипедиста, а также точку где оказался велосипедист в момент возвращения автомобиля в город. Поскольку скорости автомобиля и велосипедиста различаются в раза, то Поскольку автомобиль потратил на перемещения и одинаковое время, то и велосипедист потратил на соответствующие перемещения и одинаковое время. Следовательно,

Поскольку велосипедист потратил на перемещение ровно 35 минут, то на всё перемещение он потратил пропорциональное время: минут.

Введем обозначения: — цена одной акции Дванефти, — цена одной акции Разнефти, — цена одной акции Тринефти; — количество акций в пакете Дванефти, — количество акций в пакете Разнефти. Остальные условия задачи запишем в виде системы уравнений и неравенств:

Необходимо найти переделы изменения величины

Если удастся найти отношения то задача будет решена, так как Определим сначала, при каких условиях процент акций Разнефти в общем лоте будет наименьшим. Для этого если следовательно, значит, Если то следовательно, Тогда,

По условию задачи выбираем тогда наименьший процент

Аналогично найдем наибольший процент: для этого если следовательно, значит, Если то следовательно, Тогда, , Имеем:

По условию задачи выбираем наибольший процент

Мы всегда считаем, что площадь торта равна

Покажем, что при некоторых запросах детей родители не смогут вырезать более требуемых кусков. Выберем число Предположим, что главных детей заказали по куску торта площади (а остальные трое сделали произвольные заказы так, чтобы суммарная площадь заказанных кусков была равна 1). Мысленно разобьём торт на 16 равных квадратов и отметим на торте все 9 вершин этих квадратов, не лежащих на границе торта (см. рисунок ниже). Тогда строго внутри любого квадратного куска площади будет лежать одна из отмеченных точек, то есть можно вырезать не больше девяти таких кусков. Значит, хотя бы шестерым детям желаемых кусков не достанется.

Осталось доказать, что детей всегда смогут получить желаемое. Пусть

— длины сторон кусков, которые хотят получить дети, то есть

Покажем, что из квадрата можно вырезать куски со сторонами

Для этого нам потребуются неравенства

Для доказательства первого неравенства заметим, что

в последнем переходе мы воспользовались неравенством между средним квадратичным и средним арифметическим. Второе неравенство доказывается аналогично:

Из неравенств следует, что можно разрезать торт на горизонтальные полосы высот, не меньших и соответственно, и в -ю полосу уложить квадраты со сторонами и как показано на рисунке ниже.

Например,

Обозначим через км/мин скорость пловца, через км/мин скорость реки. За 10 минут против течения пловец проплывает км. Следовательно, расстояние от точки поворота до точки, в которой пловец догонит плот, равно км. Это расстояние пловец должен преодолеть за мин. Решая уравнение

получим км/мин.

Пусть меньшее из четырёх чисел равно . Тогда большее равно . Равными могут быть три больших или три меньших, откуда получаем два уравнения: и Из первого находим , и на карточках написаны числа Из второго находим , и на карточках написаны числа .

Пусть автомобиль стоил (у.е.), тогда Авдей продал его за , а затем его выставили на продажу за , так что доля равна

Пусть его стороны тогда получаем систему

Получили два случая.

В первом откуда (второй вариант не будем включать из-за симметрии обозначений).

Во втором и

Первое решение. Введём координаты на нашей прямой. Пусть данные отрезки — это нумерацию отрезков выберем так, что Если при некотором то отрезок содержит и потому отрезки и — искомые. Поэтому в дальнейшем мы считаем, что

Рассмотрим отрезков (некоторые из них могут иметь нулевую длину). Рассмотрим кратчайший из них — пусть для определённости это а его длина равна Тогда

и, аналогично,

Поскольку и имеют общую точку, имеем откуда

Итак, длина отрезка не меньше, чем Иначе говоря, часть этого отрезка, лежащая вне имеет длину, не превосходящую Поэтому отрезки и -искомые.

Второе решение. Пусть данные отрезки — это , Как и в предыдущем решении, мы сводим задачу к случаю, когда точки пронумерованы слева направо, и так же пронумерованы точки

При всех отметим на отрезке точку так, что

Таким образом, точка находится не левее точки Значит, найдётся индекс при котором точка находится не левее точки Выберем такой индекс и положим Заметим, что точки лежат на прямой именно в таком порядке слева направо. Тогда

Это и значит, что длина общей части отрезков и не меньше, чем где — длина одного из них.

Замечание. Нетрудно привести пример попарно пересекающихся отрезков одинаковой длины любые два из которых пересекаются по отрезку длины, не превосходящей

Пусть — скорость велосипедиста, — скорость мотоцикла. Тогда из условия “если велосипедист стоит и отдыхает, то мотоциклист проезжает мимо него каждые 32 минуты” следует, что длина трассы , а из второго условия следует, что то есть

Если они едут в одном направлении, то мотоциклист регулярно (хотя и реже) обгоняет велосипедиста каждые Тогда

Это значит за это время мотоцикл проедет от 2 кругов до 2.5 кругов.

Когда они едут навстречу друг другу, то до момента встречи он проезжает не больше половины круга, так как скорость велосипеда меньше. Так как оба места встречи находятся на одном расстоянии от начала и в одной и той же половине круга, то эти места встречи совпадают.

Пусть по дуге от начала место встречи находится на расстоянии Тогда

Отсюда получаем, что

Обозначим .

Оттуда Так как это отношение длины дуги ко всей окружности, то угол, который опирается на эту дугу из центра равен а угол, который опирается на эту дугу из точки на окружности равен По теореме синусов

Пусть — скорость бобра в неподвижной воде, — скорость течения реки (в м/мин). Заполним таблицу, отражающую связь между величинами, описывающими движение:

Поскольку бобёр проплывает одинаковые расстояния по течению реки и против течения то,

Таким образом, собственная скорость бобра в 7 раз больше скорости течения реки.