Алгебраические текстовые задачи

Для начала докажем, что продолжителыности операций в операционных I, II и III нельзя определить однозначно. Действительно, несложно проверить, что если продолжительности операций равны или минут, то все условия задачи выполняются. Однако в этих двух вариантах продолжительности операций в операционных I, II и III различны.

Теперь докажем, что продолжительность операции в операционной IV можно однозначно восстановить. Для этого давайте заметим, что суммарная продолжительность операций за 40 и за 30 минут до конца операций выросла на 22 минуты. Это значит, что за 30 минут до конца операции в операционных I, II и III уже шли, иначе суммарная продолжительность увеличилась бы не более чем на 20 минут. Тогда к концу всех операций их суммарная продолжительность составляет минуты. Значит, операция в операционной IV длилась минут.

Цифры чисел с по занимают в этом ряду первые мест. Осталось места. Цифры чисел от до занимают следующие мест. Значит, на месте стоит первая цифра числа то есть цифра

Будем называть точку с рациональными координатами рациональной. Рассмотрим окружность . Докажем, что на ней существует сколь угодно много рациональных точек.

Рассмотрим прямую вида с рациональным . Она проходит через точку окружности, и вторая точка пересечения с окружностью тоже будет рациональной (поскольку квадратное уравнение с рациональными коэффициентами имеет рациональный корень 0 , второй корень также рационален).

Выбирая разные рациональные , отметим на окружности 2021 рациональную точку, включая точки . Через каждую из этих 2021 точек проведём касательную к окружности и отметим точки пересечения соседних касательных, получим описанный 2021-угольник (строго это можно обосновать, например, так: сначала получим описанный квадрат, проведя касательные в четырёх указанных точках, а затем по очереди проведём остальные касательные: каждая будет отсекать от уже имеющегося многоугольника треугольник, примыкающий к вершине).

Заметим, что уравнения касательных имеют рациональные координаты (поскольку касательные перпендикулярны прямым, соединяющим начало координат с рациональными точками касания). Точка пересечения прямых с рациональными координатами рациональна (как единственное решение системы линейных уравнений с рациональными коэффициентами). Значит, вершины нашего 2021-угольника рациональны. Приведём координаты вершин к общему знаменателю и рассмотрим гомотетию с центром в начале координат и коэффициентом . Она переведёт наш 2021-угольник в удовлетворяющий условию задачи.

Обозначим всё расстояние за , а скорости путника, мотоцикла и грузовика за и соответственно (расстояние измеряем в километрах, а скорость в километрах в час). По условию мотоциклист догнал путника за один час. Их скорость сближения равна , а расстояние между ними , поэтому имеет место уравнение

Через полтора часа после начала движения встретились мотоцикл и грузовик. Их скорость сближения равна , а суммарное пройденное ими расстояние равно , поэтому имеет место уравнение

Преобразуем оба уравнения и получим

Вычтем из второго уравнения первое и получим

откуда находим

Следовательно, путник и грузовик встретились через часа после начала движения. Переводя это время в часы и минуты, получаем, что путник и грузовик встретились в 15:48.

Докажем, что подходит Предварительно заметим, что любую пару с ненулевым можно получить так:

Аналогично можно получить любую пару с ненулевым Тогда любую пару с отличными от нуля и можно получить как «сумму» двух рассмотренных выше пар. Пару можно получить как сумму двух пар аналогично можно получить пару а пару — как

Странный результат (вдвоём за большее время персонажи успели выполнить меньше работы) объясняется разным временем, затраченным на ходьбу, ведь скорость «совместной» ходьбы равна меньшей из скоростей путников. Во второй раз Валера работал не более чем часов, значит, на путь они затратили хотя бы часов. Значит, за полтора часа Ольга не успеет даже дойти до дачи и вернуться.

Будем отдельно разбивать чётные числа и нечётные, тогда надо дважды разбить прогрессию без одной точки. Покажем, как это сделать для нечётных: поместим нечётное число в княжество , если кратно , но не кратно . Для чётных аналогично.

Утверждение. Функция высоты задаёт разбиение единственным образом.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Доказательство. Покажем, что для любых соседних вершин и ребро между которыми направлено от к либо либо . Действительно, первый случай реализуется, когда стрелка от от к — это стрелка на границе доминошки, а второй случай сотвествует тому, что это стрелка, которая разделяет доминошку на две половинки.

Рассмотрим те рёбра, разность функций высоты на концах которых равна . Эти рёбра будут образовывать границы доминошек нашего разбиения; напротив, те ребра, разность функций высоты на концах которых равна , будут «закрыты» доминошками. Далее рассмотрим какую-нибудь клетку. Все стрелки на её границе направлены в одном направлении: либо по часовой стрелке, либо против. Поскольку сумма приращений функции высоты при обходе этой клетки равна нулю, это значит, что существует ровно три ребра из четырех, для которых разность значений функции высоты на их концах равна единице, и одно ребро, для которого эта разность равна минус трём; оно и будет закрыто доминошкой. То же самое можно будет сказать и про клетку, смежную с данной по этому ребру. Тем самым все клетки окажутся разбитыми на пары, то есть в итоге из функции высоты действительно однозначно получится замощение нашего прямоугольника.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Будем вести индукцию по величине .

Если , доказывать нечего, т.к. тогда , и, согласно утверждению выше, . В противном случае рассмотрим в замощении функцию , пусть — вершина, в которой эта функция достигает глобального максимума (если таких вершин несколько, выберем любую из них). Заметим, что в этой вершине можно сделать флип. Действительно, рассмотрим квадрат , центром которого является вершина . Тогда или горизонтальные, или вертикальные ребра, выходящее из , должны быть закрыты доминошками разбиения (если из вершины выходит и горизонтальное, и вертикальное ребра, то, сдвинувшись по одному из них, можно увеличить значение , что невозможно, т.к. — точка максимума). Значит, квадрат действительно разбит на две доминошки, и флип возможен.

Сделаем флип с центром в этой точке. Данный флип уменьшит приведеную высоту вершины на а высоты остальных вершин оставит без изменений. Так мы получим новое замощение , для которого . Применяя предположение индукции, получаем требуемое.

Пусть в учреждении было а осталось вакансий. Тогда, если — число работающих, то

Отсюда ясно, что ( ) и ( ) — натуральные числа, меньшие Причём одно из них кратно а другое Перебором устанавливаем, что либо В первом случае а во втором:

Число оставшихся вакансий в обоих случаях равно

Чек на сумму более рублей будем называть большим. Заметим, что при округлении одного чека пекарня теряет не более коп., а при округлении чеков — не более руб. Поэтому чеки были выбраны на общую сумму, не превышавшую руб.

Пусть ровно чеков из выбранных были большими. Тогда при округлении всех чеков пекарня получила бы не меньше, чем рублей. Следовательно, без округления получено не меньше, чем руб. Наибольшее целое, удовлетворяющее неравенству равно И оно, действительно, могло быть реализовано на чеках. Например, при чеках на сумму руб. каждый, чеках на сумму руб. каждый и одном чеке на сумму руб.

Всего пар человек в кружке . За 360 дней в кафе побывало пар (так как каждый день прибавляется по три пары). Так как все пары побывали одинаковое количество раз, это количество равно .

Пусть в заливе объём соли а объём воды в части моря, не включающей залив, объём соли а весь её объём Имеем уравнения

Таким образом, откуда Нам требуется найти отношение Оно равно 13.

Обозначим добычу Васи, Миши и Гриши за соответственно. Тогда, Сложив уравнения, получим откуда

Разделим квадраты на группы так, чтобы количество квадратов в группе было ровно 2 в степени номера группы:

Сумма длин сторон квадратов в -ой группе равна

Квадраты -ой группы помещаются рядом в прямоугольник с высотой и шириной 2020. Помещая эти прямоугольники, содержащие группы квадратов, один на другой, получим прямоугольник шириной 2020 и высотой, равной сумме высот прямоугольников:

то есть в первый квадрат поместились без наложения все квадраты, начиная со второго.

Обозначим объем танкера (а некоторых единицах), а производительности первого, второго и третьего насосов через соответственно. Составим по условиям задачи два уравнения:

Пусть — число часов, за которое в действительности наполнен танкер. Получим третье уравнение: Составим систему уравнений:

Если найдем такие числа и , для которых

то будет справедливо равенство:

Для нахождения чисел и сравним в уравнении

коэффициенты при одинаковых неизвестных. Получим систему:

Решая систему, находим и Следовательно, решая уравнение , получим

Заметим, что для всех вектор содержит четное число единиц, так как

Значит, в рассматриваемой последовательности

все векторы, начиная со второго, имеют четное количество единиц. Количество всех векторов, имеющих четное количество единиц, равно . Поэтому претендентом на самое большое количество различных векторов является последовательность (*), начинающаяся с вектора, содержащего нечетное количество единиц и продолжающаяся всеми векторами с четным количеством единиц. Количество векторов в такой последовательности будет Таким образом,

Для получения оценки рассмотрим отдельно случай когда среди векторов последовательности (*) нет нулевого вектора и когда он есть.

Если в последовательности (*) нет вектора , то она содержит не более векторов и

Пусть теперь последовательность (*) содержит вектор ( ). Рассмотрим два случая.

1) Если — нечетное число, то

и других векторов, переходящих в нулевой нет. При этом не существует векторов таких, что

Таким образом в этом случае последовательность (*) содержит максимум два вектора и

2) Если — четное число, то

и найдутся два вектора

содержащие четное число единиц такие, что

Последовательность (*) не может содержать одновременно векторы и , поэтому в этом случае она содержит не более векторов, так что

Обозначим число японцев через число корейцев — через Тогда число китайцев за столом равно (между каждыми двумя соседними японцами сидит ровно китайцев). Тогда или же Тогда либо либо В любом случае китайцев ровно человека.

Замечание.

По смыслу условия предполагается, что бизнесменов каждой нации за столом больше одного.

Пусть Маша прошла пешком расстояние . Тогда мама и по дороге к школе, и по дороге обратно проехала на меньше, чем обычно. Значит, мама проезжает расстояние за минут. Тогда расстояние она проезжает за минут. Отсюда следует, что мама встретила Машу за минут до того, как обычно приезжает в школу. Значит, их встреча произошла в .

Нам известно, что от объёма первого контейнера составляют объёма второго контейнера. Обозначим объёмы через и , получим равенство

Значит, отношение объёмов составляет .

Иван и Пётр будут на минимальном расстоянии друг от друга в стартовых точках через сек. За это время Иван сделает кругов, а Петр — кругов относительно точки старта. Рассмотрим это движение в системе отсчёта, где Петр неподвижен, тогда Иван сделает круга. Следовательно, через секунд Иван пробежит половину круга. В этот момент они впервые будут на максимальном расстоянии друг от друга.