Тема АЛГЕБРА

Алгебраические текстовые задачи

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Алгебраические текстовые задачи

Различные подсчеты без составления уравнения

Составление уравнений

Задачи на проценты

Задачи на дроби

Задачи на работу

Задачи на движение: алгебраический подход

Среднее арифметическое в текстовых задачах

Среднее геометрическое и гармоническое в текстовых задачах

Задачи с неравенствами

Конструктивы в алгебре

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 261#42214Максимум баллов за задание: 7

Саша, Андрей и Оля выбрали по натуральному числу. Саша умножил своё число на число Оли, а также своё число на число Андрея; эти два произведения отличались друг от друга на 1. Андрей умножил своё число на Сашино и своё на Олино; эти произведения отличались на 25. Наконец, Оля умножила своё число на Сашино и своё на число Андрея. На сколько отличались произведения у Оли? Укажите все ответы и обоснуйте, что других нет.

Источники: Муницип - 2020, Санкт-Петербург, 7.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Два Сашиных произведения отличаются на 1, тогда каким должно быть число Саши, если по условию все числа натуральные?

Подсказка 2

Мы можем вынести число Саши как общий множитель из разности произведений и тогда получим, что произведение двух натуральных чисел равно 1. Значит, каждое число в произведении равно 1. Значит, число Саши равно 1.

Подсказка 3

Теперь мы можем подставить Сашино число в условие для произведений Андрея. Если число Андрея это x, а число Оли это y, тогда условие можно будет записать как x(y-1)=25. Тогда какие значения принимают числа x и y, если мы знаем, что они натуральные и их разность равна 1 из первого условия?

Показать ответ и решение

Пусть числа Саши, Андрея и Оли равны $a,b,c$ соответственно. Тогда по условию $a⋅|b− c|= 1$ , $b⋅|a− c|=25.$ Из первого равенства а $=1$ , и тогда из второго b $(c− 1)= 25.$ Значит, либо $b=1,c= 26($ что противоречит первому равенству, либо $b= 25,c= 2$ (аналогично), либо, наконец, $b=5,c= 6.$ Поэтому у Оли получится $c⋅|a− b|=6⋅4= 24$ .

Ответ: 24

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 262#71929Максимум баллов за задание: 7

Натуральное число назовём $гипотенузным,$ если оно может быть представлено в виде суммы двух квадратов целых неотрицательных чисел. Докажите, что любое натуральное число, большее $10,$ является разностью двух гипотенузных.

Источники: СпбОШ - 2020, задача 11.1(см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала научимся представлять нечетные числа. Пусть есть число 2k + 1. Где такое выражение встречается в контексте квадратов?

Подсказка 2

Верно! Если прибавить к 2k + 1 число k², то получим (k+1)². Попробуйте что-то похожее придумать для четных.

Показать доказательство

Для нечётных чисел подойдет представление

( 2 2) (2 2) 2k+ 1= (k +1) +0 − k +0

а для чётных

( 2 2) ( 2 2) 2k = (k+ 1) + 0 − k +1 .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 263#77818Максимум баллов за задание: 7

Пункты $A$ и $B$ , находящиеся на кольцевой аллее, соединены прямолинейным отрезком шоссе длиной 4 км, являющимся диаметром кольцевой аллеи. Из пункта $A$ из дома по аллее вышел на прогулку пешеход. Через 1 час он обнаружил, что забыл ключи и попросил соседа-велосипедиста поскорее привезти их. Через какое минимальное время он может получить ключи, если скорость велосипедиста на шоссе равна 15 км/ч, на аллее – 20 км/ч, а скорость пешехода – 6 км/ч? Пешеход может идти навстречу велосипедисту.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала поймем, какие у нас в принципе есть возможности для велосипедиста: он может поехать в разные направления по окружности, либо просто по шоссе. Какой случай точно можно убрать?

Подсказка 2

Будем считать, что пешеход пошел против часовой стрелки. Тогда он прошел только 6км, что меньше чем длина дуги полуокружности! Значит, как минимум велосипедисту выгоднее поехать тоже против часовой стрелки, нежели по часовой. А дальше какие есть варианты?

Подсказка 3

Теперь либо пешеход идет навстречу велосипедисту по аллее, либо до пункта B, и велосипедист туда же. Посчитайте, когда это произойдет, и просто сравните числа)

Показать ответ и решение

Для определенности будем считать, что пешеход вышел на прогулку по кольцевой аллее против часовой стрелки. В пункте $A$ у велосипедиста есть три возможности:

1. Поехать по аллее против часовой стрелки

2. Поехать по шоссе

3. Поехать по аллее по часовой стрелке

За 1 час прогулки пешеход прошел 6 километров и не дошел до пункта $B$ $(2π− 6$ км $),$ поэтому третий вариант точно дольше первого и его можно исключить.

В первом случае двигаясь по аллее они должны будут преодолеть расстояние 6 км и в случае, если они будут двигаться навстречу друг другу, необходимое время равно $6 6+20$ ч.

Во втором случае при движении навстречу друг другу через $2π−6 -6--$ ч пешеход достигнет пункта $B,$ а велосипедист ещё будет ехать по шоссе $($ поскольку $415-> 2π−66).$ Тогда велосипедист всё время до встречи будет ехать по шоссе и скорость сближения пешехода и велосипедиста всё время будет составлять $15+ 6= 21$ км/ч. Значит, они встретятся через $2π2−12$ ч.

Сравним числа, полученные в 1 и 2 случаях:

3-> 0,23> 0,21> 2⋅3,15−-2 > 2π-− 2 13 21 21

Следовательно, ответ достигается во 2-м случае.

Ответ:

через $2π−-2 21$ часа

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 264#79746Максимум баллов за задание: 7

На доске написаны функции: $x+1,x2+ 1,x3+ 1,x4+ 1.$ Разрешается дописывать на доску новые функции, получаемые из написанных на доске с помощью операций вычитания и умножения. Покажите, как получить ненулевую функцию, которая при положительных значениях аргумента принимает неотрицательные значения, а при отрицательных значениях аргумента — неположительные значения.

Источники: Всеросс., 2020, РЭ, 11.6(см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Например, подходит $(x4+1)(x+1)− (x4 +1)= x(x4+ 1).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 265#80501Максимум баллов за задание: 7

В бассейне, на соседних дорожках тренируются два пловца Петя и Костя. Петя проплывает дорожку 50 м за две минуты, Костя — за три. Вначале тренировки оба находились на линии старта у края дорожки, спустя 60 мин тренировка закончилась. Сколько раз за это время, включая начало, они находились на одинаковом расстоянии от линии старта?

Источники: Росатом - 2020, 11.1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, есть ли какая-то периодичность в их движениях за эти 60 минут? Быть может, через некоторое время ситуация повторится?

Подсказка 2

Будет ли момент времени, когда они оба вернутся к старту?

Подсказка 3

Именно, они вернутся на старт ровно через 12 минут! Тогда нужно внимательно разобрать, между какими минутами произойдут их встречи в первые 12 минут ;)

Показать ответ и решение

За 12 минут и Петя, и Костя возвращаются в начало дорожки. Заметим, что если они находятся на одинаковом расстоянии от линии старта, то именно в этот момент они меняются местами.

За один проплыв бассейна Петя встречается с Костей ровно один раз. Значит, за первые 12 минут они встретятся на старте, между 2 и 4 минутой, между 4 и 6 минутой, $...$ , между 8 и 10 минутой, а на 12 минуте вместе приплывут к старту. Значит, за 60 минут они $4⋅5$ раз встретятся в середине дорожке и 6 раз (но 0, 12, 24, 36, 48 и 60 минуте) на старте.

Ответ: 26

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 266#84144Максимум баллов за задание: 7

В некотором регионе $60%$ работающих — бюджетники, и их зарплата в среднем на $20%$ ниже средней зарплаты по этому региону. На сколько процентов должна повыситься зарплата бюджетников, чтобы сравняться со средней зарплатой всех работающих?

Источники: Миссия выполнима - 2020, 11 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем выразить зарплату бюджетников через количество всех работающих и их среднюю зарплату. Какую долю от всех денег получают бюджетники?

Подсказка 2

Правильно, нужно 0.6 умножить на 0.8 — именно такую долю получают бюджетники. Тогда какую долю от средней зарплаты по всем работникам получают не бюджетники?

Подсказка 3

Итак, мы знаем, какую долю от средней зарплаты получают не бюджетники, тогда теперь нужно в процентах от доли бюджетников выразить разность между их долей средней зарплаты и долей не бюджетников, и мы получим ответ!

Показать ответ и решение

Пусть $n$ - число всех работающих, $s−$ их средняя зарплата. Тогда число бюджетников равно $0,6n$ , а их средняя зарплата равна $0,8s$ . Зарплата всех бюджетников равна $0,6n⋅0,8s= 0,48ns$ . Средняя зарплата остальных $0,4n$ работающих равна

ns− 0,48ns --0,4n----=1,3s.

Чтобы зарплата бюджетников стала равной зарплате всех работающих в данном регионе, необходимо чтобы она выросла с $0,8s$ до $1,3s$ , то есть на

1,3s-− 0,8s ⋅100% =62,5%. 0,8s

Ответ:

на $62,5%$ .

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 267#90885Максимум баллов за задание: 7

В Курчатовской школе за каждой партой сидит ровно 2 человека. Известно, что ровно у $70%$ мальчиков сосед по парте – мальчик, а ровно у $40%$ девочек – девочка. Во сколько раз мальчиков больше чем девочек?

Источники: Курчатов - 2020, 11.1 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем, какой процент мальчиков сидит за одной партой с мальчиком. Тогда сколько мальчиков сидит с девочкой?

Подсказка 2

Верно, 30%. Аналогично, 60% девочек сидит с мальчиками. Пусть количество мальчиков x, а девочек — y. Выразите через эти переменные количество мальчиков, сидящих с девочками, и количество девочек, сидящих с мальчиками. Что можно сказать про эти числа?

Подсказка 3

Верно, они равны! Теперь можно преобразовать равенство и найти ответ!

Показать ответ и решение

Пусть количество мальчиков $x$ , а девочек – $y$ . Заметим, что $30%$ мальчиков сидит за партами с девочками и $60%$ девочек сидят за партами с мальчиками. Так как за каждой партой сидит ровно 2 человека, то $0,3x =0,6y$ , откуда $x= 2y.$ Таким образом, мальчиков в 2 раза больше, чем девочек.

Ответ: в 2 раза

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 268#90896Максимум баллов за задание: 7

Велотрек имеет форму окружности. Из его диаметрально противоположных точек одновременно стартуют два велосипедиста, которые двигаются против часовой стрелки с постоянными скоростями. Сколько полных кругов проедет каждый велосипедист до того момента как они поравняются первый раз после старта, если отношение их скоростей равно $32 31$ .

Источники: ПВГ - 2020, 11.2 (pvg.mk.ru))

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим скорость более медленного за v, а длину за S. С какой скоростью они приближаются друг к другу?

Подсказка 2

Они приближаются друг к другу со скоростью 32v/21 - v. А каким расстояние между ними было изначально?

Подсказка 3

Изначально расстояние между ними было S/2, а должно стать нулём.

Показать ответ и решение

Пусть $S$ — длина круга, а $v$ — скорость более медленного. Тогда они встретятся через $-S2---= 31S- 3231v−v 2v$ времени. За это время медленный проедет 15 с половиной кругов, а быстрый 16.

Ответ: медленный проедет 15 с половиной кругов, а быстрый 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 269#98154Максимум баллов за задание: 7

В доме 720 квартир. Однокомнатные квартиры составляют более $12%,$ но менее $13%$ от общего числа квартир. $60%$ от оставшихся были двухкомнатные квартиры, остальные — трехкомнатные. Определите, какое количество процентов от общего числа квартир этого дома составили двухкомнатные квартиры.

Источники: Газпром - 2020, 11.2 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, можно ли всё выразить через одну переменную. Как будет выглядеть количество однокомнатных квартир?

Подсказка 2

Однокомнатные квартиры будут заданы через неравенство. Если перебирать варианты не хочется, обратимся к выражению двухкомнатных квартир через переменную и поставим ограничение.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — суммарное количество двухкомнатных и трехкомнатных квартир, тогда количество однокомнатных квартир $(720 − x).$

По условию задачи количество двухкомнатных квартир — $0,6x,$ количество трехкомнатных квартир — $0,4x$ , количество однокомнатных квартир заключено в интервале от $0,12⋅720$ до $0,13⋅720,$ то есть

0,12⋅720< 720 − x <0,13 ⋅720

86,4< 720 − x <93,6

626,4< x< 633,6

Число $0,6x$ — число двухкомнатных квартир — целое. Следовательно, оно должно делиться на $5.$ Но в интервале $626,4< x< 633,6$ одно целое число, которое делится на $5$ — это $630$ , так что $x= 630.$ Тогда количество двухкомнатных квартир $0,6 ⋅630= 378,$ что составляет $52,5%$ от общего числа квартир.

Ответ:

$52,5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 270#102483Максимум баллов за задание: 7

Автомобили Нива и Тойота едут по кольцевой трассе испытательного полигона, четверть которой проходит по грунтовой дороге, а оставшаяся часть — по асфальтовой. Скорость Нивы на грунтовой дороге равна 80 км/ч, а на асфальтовой — 90 км /ч. Скорость Тойоты на грунтовой дороге равна 40 км/ч, а на асфальтовой — 120 км/ч. Автомобили одновременно стартуют в начале грунтовой части трассы и сначала едут по этой грунтовой части. На каком по счёту круге один из автомобилей впервые обгонит другой?

Источники: Ломоносов - 2020, 11.6 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам в условии даны все скорости, а ещё мы можем за S обозначить длину грунтовой части. Давайте тогда попробуем посчитать, кто же кого обгонит и на какой части трассы мог произойти обгон?

Подсказка 2

Мы можем выразить через S время, за которое обе машины проезжают один круг. Давайте порассуждаем, могла ли машина, которая на данном участке едет медленнее, обогнать соперника?

Подсказка 3

Именно Нива совершит обгон на грунтовом участке дороги! Тогда имеет смысл рассмотреть период первого обгона и посчитать, кому же сколько пришлось ехать до данной точки.

Подсказка 4

Пусть к моменту первого обгона Тойота проедет n целых кругов + S*x по грунтовой части, причем 0 < x < 1. Осталось понять, сколько же времени пригодилось машинам, чтобы добраться до этого момента, и воспользоваться условием!

Показать ответ и решение

Пусть $S$ км — длина грунтовой части трассы, тогда $3S$ км — длина асфальтовой части. Нива проезжает один круг за

S- 3S 11S 80 + 90 = 240 ч ,

а Тойота — за

S 3S 12S 11S 40 + 120 = 240 > 240 ч

Поскольку автомобили начинают движение по грунтовой дороге, где скорость Нивы выше, Нива изначально выйдёт вперёд и впоследствии совершит обгон, причём обгон может произойти только на грунтовой дороге, где скорость Нивы выше. Пусть к моменту первого обгона Тойоты Нивой Тойота проедет $n$ целых кругов и ещё расстояние $S⋅x$ , где $0< x< 1$ (если $x= 1$ , обгона не произойдёт: автомобили поравняются, но после выезда на асфальтовую дорогу Тойота поедет быстрее Нивы). Тогда к моменту обгона время Тойоты в пути будет равно $122S40-⋅n+ S4⋅x0-$ , а время Нивы будет равно

11S ⋅(n+ 1)+ S⋅x- 240 80

Поскольку автомобили стартуют одновременно, получаем уравнение

12S ⋅n+ S⋅x-= 11S-⋅(n +1)+ S⋅x, 240 40 240 80

откуда

12n+ 6x= 11n +11+ 3x

n +3x= 11

Поскольку $0< x< 1$ , отсюда следует, что $n =9$ или $n= 10$ . Значит, к моменту первого обгона Тойота проедет 9 полных кругов и перейдёт на 10-й, а Нива проедет 10 полных кругов и перейдет на 11-й.

Ответ:

Нива на своём $11−$ м круге обгонит Тойоту на её $10−$ м круге

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 271#103077Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что существуют такие последовательности натуральных чисел $a n$ и $b , n$ что одновременно выполнены следующие условия:

- последовательности $an$ и $bn$ являются неубывающими;

- последовательности $-1 -1 -1 An =a1 +a2 +...+ an$ и $1- 1- -1 Bn = b1 + b2 +...+ bn$ неограниченно возрастают;

- последовательность $---1--- ---1--- ---1---- Cn = max(a1,b1) + max(a2,b2) + ...+ max(an,bn)$ ограничена.

Источники: Курчатов - 2020, 11.6 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем строить последовательности а и b вокруг последовательности С. Пусть каждый k-тый член в ней равен 2 в степени (-k) — такая последовательность, конечно, ограничена. Как теперь собрать такие последовательности а и b, чтобы max(aₙ, bₙ)=cₙ?

Подсказка 2

Вспомним про раскраски! Разобьём натуральный ряд на цветные отрезки, и для каждого цвета одно число (аₙ или bₙ) равно 2^n, а второе число должно быть меньше него. Как бы это реализовать?

Подсказка 3

Для каждого числа "не на своём цвете" будем брать 2 и возводить в самое маленькое число на этом отрезке! То есть, если красный отрезок начинается с числа k, то (не умаляя общности) аₙ равен 2^n, а bₙ равен 2^k (для синих отрезков аналогично с точностью наоборот). Тогда мы действительно можем составить нашу последовательность c, а так же обе последовательности а и b будут неубывающими. Но как сделать так, чтобы и последовательности А и В были неограниченно возрастающими? Хорошо бы было, если бы на каждом красном отрезке сумма обратных значений b не была слишком маленькой...

Подсказка 4

Конечно! Пусть длина каждого отрезка, начинающегося на k, равна 2^k! Тогда сумма обратных на каждом отрезке равна единице, и последовательности будут не ограничены сверху!

Показать доказательство

Рассмотрим последовательность $c = 2k k$ . Ясно, что все суммы

1 1 1 Cn = c1 + c2 + ...+ cn

ограничены. Будем строить исходные последовательности $an$ и $bn$ так, чтобы $max(an,bn)=cn$ . Последовательно разобьём натуральный ряд на отрезки подряд идущих чисел так, что если отрезок начинается с числа $k$ , то его длина равна $ck$ . После этого раскрасим все эти отрезки поочередно в красный и синий цвета.

Теперь зададим последовательность $an$ следующим образом:

- если $n$ - красное число, то положим $an$ равным числу $cn$ ;

- если $n$ - синее число, то положим $an$ равным $ck$ , где $k$ - первое число отрезка, содержащего $n$ .

Последовательность $bn$ зададим аналогично, но инвертируя цвета:

- если $n$ - синее число, то положим $bn$ равным числу $cn$ ;

- если $n$ - красное число, то положим $bn$ равным $ck$ , где $k$ - первое число отрезка, содержащего $n$ .

Заметим, что для каждого синего отрезка сумма обратных значений последовательности $an$ на нём равна $1,$ поэтому последовательность сумм $1a1 + 1a2 + ...+ 1an$ не ограничена сверху. Аналогично, для последовательности $bn$ сумма обратных значений на каждом красном отрезке равна $1,$ поэтому последовательность сумм $b1+ 1b-+ ...+ 1bn- 1 2$ не ограничена сверху.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 272#103186Максимум баллов за задание: 7

Существует ли множество натуральных чисел $A,$ для которого выполнены следующие свойства: всевозможные суммы двух элементов из $A$ уникальны (т.е. не бывает двух различных пар элементов, у которых суммы одинаковы), и при этом среди этих сумм можно найти $2020$ подряд идущих натуральных чисел.

Источники: Турнир Ломоносова - 2020, 11.5 (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если вы обратились к подсказкам, то скорее всего вы устали от безрезультатных попыток доказать, что не существует. Дак вот, эта задача — конструктив. Нужно придумать пример)

Подсказка 2

Чтобы придумывалось легче, попробуйте сначала взять несколько переменных и как-нибудь выразите все числа множества через них, чтобы соблюдалось условие. Потом подберёте конкретные значения.

Подсказка 3

Также для упрощения стоит придумывать такие выражения, чтобы все суммы имели понятный вид, или один из небольшого количества вариантов понятных видов.

Подсказка 4

Чтобы добиться различности, давайте попробуем некоторые переменные приравнять к степени некоторого числа х от 1 до k-ой. Другие переменные определим как c - x + ..., c - x² + ..., c - x³ + ... и так далее. Что нужно поставить вместо точек, чтобы пример стал рабочим? И не забудьте его работоспособность доказать!

Показать ответ и решение

Приведём явный пример.

Рассмотрим числа вида

2 2 3 3 a1 = x,b1 =c− x+ 1,a2 =x ,b2 =c− x + 2,a3 = x ,b3 = c− x + 3,...,

k k 2020 2020 ...,ak = x ,bk =c− x + k,...,a2020 = x ,b2020 =c − x + 2020,

где

x= 10,c= 6⋅102020.

Тогда, очевидно, суммы вида

a1 +b1,a2+ b2,...,a2020+ b2020

равны $c+1,c+ 2,...,c+ 2020$ , то есть образуют $2020$ подряд идущих чисел. Осталось доказать, что среди попарных сумм пирведённых чисел нет совпадающих.

Разделим все суммы на три вида: первый вид $an +ak =xn +xk,$ второй вид $an+ bk =c+ xn− xk+ k,$ третий вид $b + b = 2c− xn− xk+ n+ k. n k$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Для начала докажем, что суммы из двух разных видов не равны между собой.

Предположим, что число второго вида и третьего вида равны между собой. Тогда для некоторых $n,k,l,m$ будет выполнено

an+ bk =c+ xn− xk+ k= bn +bk = 2c− xl− xm +l+ m =bl+ bm.

Перенося в этом равенстве все слагаемые без $c$ влево и оставляя справа только $c(2c− c= c),$ заметим, что $c$ больше, чем сумма модулей всех остальных слагаемых, а значит, равенства быть не может. Аналогично доказывается, что числа первого вида не могут быть равны числам второго и третьего видов.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теперь докажем, что суммы из одного вида тоже отличаются друг от друга.

Приведём доказательство для сумм третьего вида, для двух других видов доказательства будут аналогичны.

Пусть есть $n ≥k$ и $m ≥ l$ такие, что пара чисел $(n,k)$ не совпадает с парой $(m,l)$ . Докажем, что не может быть равенства $bn+ bk = bm + bl.$

Действительно, если так, то после подстановки получаем равенство

− xn− xk +n +k =− xm − xl+m + l.

Если $n⁄= m$ , то без ограничения общности можно считать, что $n> m$ , но тогда $xn$ по модулю больше, чем все суммма модулей остальных $7$ слагаемых в равенстве, а значит, равенства быть не может. Если $n= m$ , то после сокращения равных слагаемых остаётся равенство

k l −x + k= −x +l,

причём в этом равенстве $k ⁄=l,$ так как изначальные пары были различны. Но тогда опять же не умаляя общности будет выполнено, что $k >l$ и $− xk$ по модулю будет больше, чем сумма модулей всех остальных членов в уравнении, что невозможно. Следовательно, все суммы третьего вида различны между собой.

Заметим, что при доказательстве того, что попарные суммы различны внутри второго типа нужно отдельно рассмотреть случаи, когда $n =k$ и $m = l,$ они будут образовывать наши подряд идущие числа, а следовательно, все различны. Во всех остальных случаях соображение о том, что какое-то слагаемое по модулю будет больше, чем сумма модулей остальных, по-прежнему работает.

Ответ: Да, существует

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 273#105074Максимум баллов за задание: 7

Газопровод разбит на несколько участков. На каждом участке работает одинаковое число работников. Известно, что число работников находящихся на одном участке, превышает число участков на $12.$ Когда $15$ человек пришли на первый участок, а с остальных участков ушло по $15$ человек, число работников на первом участке стало равным числу работников, оставшихся на всех остальных участках. Определить число участков газопровода.

Источники: Газпром - 2020, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами текстовая задача, а условие прямо намекает на составление уравнения) Но для этого нам нужно ввести переменные! Обозначим за n число участков, а за k — число работников, работающих первоначально на каждом участке. Как тогда записать условие с помощью уравнения?

Подсказка 2

k - n = 12, k + 15 = (n-1)(k+15). Как можно решить такую систему?

Подсказка 3

Выразим n через k и подставим!

Показать ответ и решение

Обозначим за $n$ число участков, а за $k$ — число работников, работающих первоначально на каждом участке. Исходя из условий задачи, получим систему:

( ( |{ k− n= 12 |{ n =k − 12 |( k+ 15 =(n− 1)(k− 15), |( k+ 15= (k− 12− 1)(k− 15) k> 15,n,k∈ N; k >15,n,k ∈N

Решим эту второе уравнение системы.

k +15= (k− 13)(k − 15) 2 k +15= k − 28k +195 k2− 29k+ 180= 0 k1 =9,k2 = 20

Так как по условию $k> 15$ , то $k= 20$ и $n= 8.$ Таким образом, газопровод разбит на $8$ участков.

Ответ:

$8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 274#108272Максимум баллов за задание: 7

Юный хакер желает изменить оценки в электронном журнале. Но при изменении одних оценок изменяются и другие, а именно:

а) если он увеличивает на $2$ количество пятерок, то при этом количество двоек уменьшается на $1;$

б) если он увеличивает на $1$ количество пятерок, то количество двоек увеличивается на $2;$

в) если он уменьшает на $2$ количество пятерок, то количество двоек увеличивается на $1;$

г) если он уменьшает на $1$ количество пятерок, то количество двоек уменьшается на $2.$

Может ли он, совершая такие операции, превратить свои $3$ пятерки и $30$ двоек в $30$ пятерок и $3$ двойки?

Источники: Надежда энергетики - 2020, 11.5 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть всего четыре типа оценок. Попробуем обозначить через n(k) — количество действий каждого типа, где k = 1, 2, 3, 4 (тип действия). Какая система тогда выходит из условия?

Подсказка 2

Верно, из условия получаем два уравнения: 2n(1) + n(2) - 2n(3) - n(4) = 27 и -n(1) + 2n(2) + n(3) - 2n(4) = -27. Теперь нужно понять, могут ли эти условия выполняться вместе. Если бы числа n(1), n(2), n(3), n(4) были любыми вещественными, то пример легко бы строился. Но у нас они целые! Могут ли эти условия выполняться при условии, что n(k) — целые?

Подсказка 3

Попробуем из уравнения исключить как можно больше переменных сложением. Например, второе уравнение можно умножить на два и сложить с первым! Что тогда получится?

Показать ответ и решение

Обозначим через $n (i=1,2,3,4) i$ количество действий каждого из четырёх возможных типов. Требуется решить систему (первое уравнение соответствует изменению количества пятерок, второе — двоек)

{ 2n1+ n2− 2n3 − n4 = 30− 3= 27 − n1 +2n2+ n3− 2n4 =3 − 30= −27

Умножим второе уравнение на два и сложим с первым.

5n2− 5n4 = −27

5(n2− n4)= −27

Согласно условию, величина $m = n2− n4$ является целым числом. Однако уравнение $5m = −27$ не имеет решения в целых числах.

Ответ: Не может

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 275#108449Максимум баллов за задание: 7

Приведите пример различных натуральных чисел $a< b< c< d$ таких, что $c2 =$ $ab+ ad+ bd.$

Источники: Изумруд - 2020, 11.1 (см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем подставить какое-то значение вместо, например, а. При этом нам выгодно, чтобы выражение справа разбивалось на произведение каких-то множителей. Какое а берём?

Подсказка 2

Пусть а = 1. Теперь рассмотрим левую и правую часть по каким-то модулям, чтобв отбросить точно не подходящие варианты. Каких модулей нам хватит, чтобы легко подобрать подходящие значения?

Подсказка 3

Смотрим остатки по модулям 3, 4 и 5. Отсюда берем какие-то подходящие b, c и d, получаются несколько наборов, можем выбрать любой.

Показать ответ и решение

Рассмотрим числа 1, 4, 8, 12. Так как

2 8 = 4+ 12+ 4⋅12,

то этот набор чисел удовлетворяет условию.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

В задаче требуется только пример, попробуем прийти к нему. $a$ — наименьшее из используемых натуральных чисел, пусть $a= 1.$ Добавим к каждой части по единице, тогда уравнение выглядит как

2 c +1= b+ d+ bd+ 1= (b+1)⋅(d+1).

Теперь рассмотрим делимость на $3.$ $c2+1 ≡±1 (mod 3),$ тогда

({b⁄≡ 2 (mod 3) ( , d⁄≡ 2 (mod 3)

иначе правая часть будет делиться на $3.$

Рассмотрим аналогично делимость на $4.$

[ c2+ 1≡ 1 (mod 4) c2+ 1≡ 2 (mod 4)

Тогда

( { b⁄≡ 3 (mod 4) ( d⁄≡ 3 (mod 4)

иначе правая часть будет делиться на $4.$

Получим минимально возможное $b= 4,$ то есть $c2+ 1= 4+ d+ 4d +1= 5⋅(d+ 1)$ и $c2+ 1≡0 (mod 5).$

Тогда $c ≡2 (mod 5)$ или $c ≡3 (mod 5)$ . В первом случае получаем $c= 7$ и $49= 4+d+ 4d,$ $d= 9.$

Во втором случае: $c= 8$ и $64= 4+ d+ 4d,$ $d =12.$

Оба примера подходят, могут быть и другие подходящие под условие наборы.

Ответ:

Например, подходят числа $a= 1b= 4c =8 d= 12. , , ,$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 276#109870Максимум баллов за задание: 7

В $2052$ г. в марте воскресений больше, чем понедельников. На какой день недели выпадет $1$ июня $2052$ г.?

Источники: Звезда - 2020, 11.1 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если воскресений больше понедельников, то можем точно сказать, на какой день недели выдался последний мартовский день в 2052 году.

Подсказка 2

Определили день недели у 31 марта, тогда ровно через 4 недели и через 8 недель будет тот же день недели, а там и до 1 июня недалеко:)

Показать ответ и решение

За воскресеньем идёт понедельник. Если в каком-то месяце воскресений оказалось больше, чем понедельников, то последний день месяца — воскресенье. Итак, $31$ марта $2052$ г. — воскресенье. Воскресенье выпадает также на $28$ апреля и $26$ мая, а $1$ июня будет суббота.

Ответ: На субботу

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 277#109925Максимум баллов за задание: 7

На доске написаны четыре различных положительных числа. Известно, что это $sinx,cosx,tg x$ и $y ⁄= ctgx,$ но неизвестно, в каком порядке. Всегда ли можно определить, где именно какое число?

Источники: ИТМО - 2020, 11.3 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно было бы доказать, что сделать этого невозможно?

Подсказка 2

Верно! Хотелось бы найти такие x и z, что для них получится одинаковый набор указанных тригонометрических функций и числа y, но в разном порядке. Например, sin(x) = cos(z). Какие различные тригонометрические функции для x и z можно было бы уравнять?

Подсказка 3

Попробуем сделать так, чтобы выполнялись равенства sin(z) = tg(x), cos(x) = tg(z). А каким можно взять y?

Подсказка 4

Верно! Будем строить y = cos(z) = √(1-tg²(x)). Из наших условий получается, что необходимо выполнение равенства cos(x) = tg(x)/√(1-tg²(x)). Что из этого равенства выходит?

Подсказка 5

Точно! Получается, что sin²(x) должен быть 1 - 1/√2 или 1/2. Осталось проверить, что найденные числа подходят!

Показать ответ и решение

Докажем существование таких чисел $x$ и $z,$ что

∘ ----2-- sinz =tgx,cosz = y = 1− tg x

и, кроме того,

--tgx--- cosx= tgz = ∘1− tg2x

Тогда на доске находятся, во-первых, числа $sin x,cosx$ и $tg x,$ а во-вторых, $sinz,cosz,tgz$ и невозможно определить, где какое число.

Решаем уравнение:

cosx= ∘--tgx2-- 1− tg x

∘ ----2-- 2 1− tg x cos x= sinx.

Возведя уравнение в квадрат и раскрыв тангенс, получаем

(cos2x− sin2x)cos2x =sin2x.

Обозначив $sin2x =t$ получаем

(1− 2t)(1− t)=t

1− 4t+ 2t2 = 0.

Это уравнение имеет подходящий корень $1√- 1 1− 2 ⁄= 2.$ Осталось убедиться, что при таком значении $2 sin x$ все четыре числа различны. Это правда, так как числа из одной пары $sin x,$ $cosx,$ или $sinz,cosz$ совпадают при квадрате синуса равном $1 2;$ совпадение чисел из разных пар означает равенство и вторых числел тоже, откуда тангенс угла равен его синусу или косинусу, что также не выполняется при найденном значении. Кроме того, все эти числа меньше единицы, поэтому котангенса среди них нет.

Можно также просто вычислить эти числа, это $∘√---- ∘---√--∘ ∘----∘---∘---- 2− 1, 2 − 2, 1∕2, 1− 1∕2.$

Замечание. Более простые варианты, при которых мы не можем однозначно распределить числа, не подходят из-за запрета равенства чисел или запрета наличия котангенса. В силу симметрии у задачи есть второе решение, в котором $x$ и $z$ меняются местами.

Ответ: Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 278#115104Максимум баллов за задание: 7

Провод длиной $d$ метров разрезали на два куска. Можно ли из образовавшихся двух частей провода вырезать куски длиной $1,2,3,6$ и $12$ метров, если

а) $d= 25;$

б) $d= 24,99?$

Источники: КФУ - 2020, 11.1 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1, пункт (а)

Один из двух кусков не короче 12,5 метров. Кусок какой длины можно от него отпилить?

Подсказка 2, пункт (а)

Верно! Кусок длины 12 метров. Тогда остается еще 2 куска, с суммарной длиной 13 метров (12 метров уже отложили). А можно ли теперь из этих двух кусков подобным образом отпилить нужные куски?

Подсказка 1, пункт (б)

Попробуем доказать, что это невозможно. Для этого нужно показать, что можно изначально разрезать провод на два куска так, чтобы вырезать нужные куски было невозможно. Какие длины могли бы иметь эти куски?

Подсказка 2, пункт (б)

Можно ли сделать так, чтобы из одного из исходных кусков нельзя было отрезать ни одного требуемого куска провода?

Подсказка 3, пункт (б)

Можно! Достаточно сделать так, чтобы его длина была меньше 1 метра. Тогда нужные куски будут вырезаться только из второго куска. А как сделать так, чтобы из второго куска их точно нельзя было вырезать?

Подсказка 4, пункт (б)

Верно! Нужно сделать так, чтобы суммарная длина требуемых кусков была больше второго куска исходного провода. Как этого добиться?

Показать ответ и решение

a) Нужные куски всегда можно получить, например, так. Выберем из образовавшихся частей ту, которая не короче другой (и, значит, не короче $12,5$ метров), вырезаем из неё $12$ -метровый кусок. У нас останется две части, сумма длин которых равна $13$ м. По крайней мере одна из этих частей будет не короче $6,5;$ вырезаем $6$ -метровый кусок и так далее. Оставаться будут пары частей с суммами длин $7$ м, $4$ м и $2$ м, а вырезаться куски длиной $3$ м, $2$ м и $1$ м соответственно.

б) Если провод длиной $l= 24,99$ метров разрезали, например, на части с длинами $0,995$ м и $23,995$ м, то получить требуемые куски нельзя. В самом деле, из куска 0,995 м невозможно вырезать ни одного требуемого куска, а из куска $23,995$ м это сделать не получится, поскольку сумма длин $1+2 +3+ 6+ 12= 24$ больше $23,995.$

Ответ:

а) да

б) нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 279#120842Максимум баллов за задание: 7

Иван Семёнович каждый день выезжает в одно и то же время, едет на работу с одной и той же скоростью и приезжает ровно в $9:00.$ Однажды он проспал и выехал на $40$ мин. позднее обычного. Чтобы не опоздать, Иван Семёнович поехал со скоростью на $60%$ большей, чем обычно и приехал в $8:35.$ На сколько процентов он должен был увеличить обычную скорость, чтобы приехать ровно в $9 :00?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть он едет со скоростью v километров в минуту и тратит t минут на дорогу. Перепишите условие задачи в данных терминах.

Подсказка 2

Не забывайте, что скорость должна быть положительной. Пусть ему надо было увеличить скорость на k процентов, как ее тогда можно записать?

Показать ответ и решение

Пусть Иван Семёнович обычно едет со скоростью $v$ километров в минуту и тратит $t$ минут на дорогу. Тогда расстояние до его работы равно $vt$ километров.

В день, когда он проспал, он выехал из дома на $40$ минут позже, а приехал на место на $25$ минут раньше, таким образом, время его пути уменьшилось на $65$ минут и стало равно $t− 65$ минут. А его скорость в тот день была равна $1,6v.$ Тогда расстояние до его работы равно $1,6v(t− 65)$ километров. Получается,

vt= 1,6v(t− 65)

v(t− 1,6t+ 1,6⋅65)= 0

Итак, $v ⁄=0,$ так как скорость положительна, поэтому $t= 520 3$ минут.

Пусть ему нужно было увеличить свою обычную скорость на $k$ процентов, чтобы приехать ровно в $9:00.$ В этом случае время его пути будет равно $t− 40$ минут, а скорость — $100-+k- 100 ⋅v$ километров в минуту. Отсюда:

100 +k vt= -100--⋅v (t− 40)

( 100+ k 100+k ) v t− -100-t+ -100--⋅40 = 0

k-- 100+-k 100 ⋅t− 100 ⋅40= 0

4000 4000 k =t−-40 = 520---= 30 3 − 40

Итак, Ивану Семёновичу нужно было увеличить свою скорость на $30%.$

Ответ:

$30%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 280#121817Максимум баллов за задание: 7

На доске написана система из $12$ различных уравнений с $6$ неизвестными $x ,x ,x,x ,x,x . 1 2 3 4 5 6$ Каждое уравнение имеет вид $xi+ xj +xk =0,$ где $i⁄= j ⁄= k$ (сумма трех различных неизвестных равна нулю). Могло ли оказаться так, что у системы бесконечно много решений?

Источники: Высшая проба - 2020, 11.1(см. olymp.hse.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Эх, вот бы сразу знать ответ, чтобы не пришлось идти не в ту сторону.. Если такого быть не могло, то должно быть красивое доказательство (хотя бы какое-то!), если может, то нужен один пример. С чего легче начать?

Подсказка 2

Давайте попробуем с примера. Если решений бесконечно много, то у них есть какой-то общий вид, причем чем меньше будет различных значений у переменных, тем больше равенств нулю мы сможем составить (если все 6 неизвестных разные, то составить 12 уравнений будет сложнее, чем если у нас будут всего 1-3 различных значений на 6 переменных).

Подсказка 3

Очевидно, что все переменные не могут быть равны между собой (ведь тогда единственным решением будет (0,0,0,0,0,0), а не бесконечное количество, противоречие). Сможем ли составить пример с двумя различными значениями? Получится ли записать такое решение в общем виде?

Подсказка 4

Ответы на предыдущие вопросы положительны. В данной задаче возможны различные примеры, осталось удостовериться, что наберется на найденный набор 12 уравнений, о которых говорится в условии!

Показать ответ и решение

Да, могло. Приведем пример. Пусть $t$ — произвольное действительное число, положим, чтобы выполнялись равенства: