Тема АЛГЕБРА

Алгебраические текстовые задачи

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Алгебраические текстовые задачи

Различные подсчеты без составления уравнения

Составление уравнений

Задачи на проценты

Задачи на дроби

Задачи на работу

Задачи на движение: алгебраический подход

Среднее арифметическое в текстовых задачах

Среднее геометрическое и гармоническое в текстовых задачах

Задачи с неравенствами

Конструктивы в алгебре

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 281#121822Максимум баллов за задание: 7

Дано несколько вещественных чисел, по модулю не превосходящих $1.$ Сумма всех чисел равна $S.$ Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел так, чтобы при некотором натуральном $n <100$ сумма выбранных чисел отличалась от $nS- 100$ не более чем на $-1- 100.$

Источники: Высшая проба - 2020, 11.5(см. olymp.hse.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим данные k чисел за x₁, x₂, ... , x_k. Давайте, например, поймем, что нам дает условие на модуль.

Подсказка 2

Можно без ограничения общности считать, что сумма чисел у нас положительная. Хорошо, нас просят выбрать несколько чисел, а какие это могут быть числа? Важен ли нам их порядок?

Подсказка 3

Нам ведь могут от примера к примеру мешать числа, как угодно, давайте тогда для удобства рассматривать подряд идущие. Как можно переформулировать условие задачи? Какие числа мы ищем?

Подсказка 5

У нас n - натуральное, давайте рассмотрим наименьшие индексы m_1, m_2, ... , m_99, такие, что x₁ + x₂ + ... + xₘ_₁ ≥ S/100, x₁ + x₂ + ... + xₘ_₂ ≥ 2*S/100 и так далее. Как они могут нам помочь в оценке? Может, нам чего-то еще не хватает? Вспомните, что мы хотим доказать.

Подсказка 6

Доопределим разность суммы каждой последовательности и соответствующей ей оценки: aᵢ = x₁ + x₂ + ... + xᵢ - i*S/100. Кстати, все ли они определены? А можем ли мы как-то оценить величину каждой aᵢ?

Подсказка 7

mᵢ и aᵢ определены, так как по крайней мере для k при любом i выполняется x₁ + x₂ + ... + x_k = S ≥ i*S/100. Давайте формально доопределим m₀ = 0 и a₀ = 0. Выбранные нами индексы были первыми для своего условия, а также все xᵢ по модулю не превосходят 1, следовательно, значения aᵢ лежат в отрезке [0;1]. А можем ли мы сжать этот отрезок для удобства и попробовать оценить разницу между какими-нибудь aᵢ и aⱼ, где i ≠ j? Какое неравенство мы хотим получить по условию задачи?

Подсказка 8

Преобразуйте неравенство и подумайте, какое n можно взять, чтобы получившаяся последовательность была искомой.

Подсказка 9

Несколько ранее мы предположили, что отрезок величин aᵢ можно сжать для получения искомой оценки, а если для некоторого i a_i попадает в отрезанный кусок? Какое множество чисел может быть искомым?

Подсказка 10

Подумайте, как доказать, что в таком случае набор чисел x₁, x₂, ... , x_(m_i-1) нам подойдет.

Показать доказательство

Обозначим данные $k$ чисел через $x,x ,...,x . 1 2 k$ Без ограничения общности будем считать, что $S ≥ 0.$ Если это не так, то будем доказывать утверждение задачи для чисел $yi = −xi$ с положительной суммой. Из него будет следовать утверждение исходной задачи.

Докажем, что среди данных чисел существует набор из подряд идущих, удовлетворяющих неравенству из условия. То есть найдутся такие натуральные $s$ и $t$ $(1≤ s≤ t≤k),$ что подмножество $xs,xs+1,...,xt$ — искомое.

Обозначим через $m1$ первый индекс, для которого

S x1+x2+ ...+ xm1 ≥ 100,

через $m2$ — первый индекс, для которого

x1+x2+ ...+ xm2 ≥-2S-, 100

и так далее:

x1+ x2+...+xmi ≥-iS- 100

по всем $i$ от $1$ до $99.$ Рассмотрим также разности

a = x +x +...+ x − -iS- i 1 2 mi 100

Заметим, что $m i$ и $a i$ определены, поскольку по крайней мере для $k$ выполняется неравенство

x1+ x2 +...+ xk = S ≥-iS- 100

для любого $i.$ Формально доопределим: $m0 = 0$ и $a0 = 0.$ Заметим теперь, что так как выбранные нами индексы были первыми для своего условия и так как все числа $xi$ по модулю не превосходят $1,$ то все $ai$ лежат на отрезке $[0;1].$

Предположим, все $ai$ лежат на отрезке $[0;1− 1100].$ Тогда, так как чисел $ai$ всего $100$ (для $i$ от $0$ до $99),$ найдутся два индекса $i$ и $j,$ для которых $|ai− aj|≤ -1. 100$ Без ограничения общности $j >i.$ Тогда $mj ≥ mi$ по определению чисел $mi.$ Получаем:

| | ||(x + x + ...+ x )− (x +x + ...+ x )+ jS-− iS||≤ -1- | 1 2 mi 1 2 mj 100 100| 100

или, что то же самое,

|| (j− i)S|| 1 ||xmi +xmi+1+ ...+ xmj −--100--||≤ 100.

Заметим, что можно взять $n =j− i,$ поскольку $j− i> 0$ и $j− i≤ j <100.$ Тем самым, числа $xmi,xmi+1,...,xmj$ — искомые.

Пусть теперь для некоторого $i$ разность $ai$ попала на полуинтервал $(1 −1100,1].$ Докажем, что в этом случае подмножество $x1,...,xmi−1$ — искомое. Для этого достаточно показать, что

iS-− -1-< x1 +...+xmi−1 ≤-iS-. 100 100 100

Второе неравенство следует из определения $mi;$ ведь $mi$ — это первый индекс, для которого сумма стала не меньше $-iS-. 100$ Первое неравенство равносильно следующему: $x1+...+xmi−1− iS-> −-1. 100 100$ Но

x1+...+xmi−1− -iS-= ai− xmi 100

и это больше $− 1100,$ так как $ai > 1− 1100$ и $xmi ≤ 1.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 282#123017Максимум баллов за задание: 7

У Юры есть $n$ карточек, на которых написаны числа от $1$ до $n.$ После того, как Юра потерял одну из них, сумма чисел на оставшихся оказалась равна $5600.$ Какое число написано на потерянной карточке?

Показать ответ и решение

Сумма чисел на всех карточках Юры равна сумме чисел от 1 до $n,$ что равно

n-(n-+1) 2

Пусть на потерянной карточке было число $x,$ тогда:

n(n+ 1) ---2---− x= 5600

n(n+-1)= x+ 5600 2

Так как $x$ — это одно из чисел на карточках, то $1≤ x≤ n,$ откуда:

5601≤ n(n+-1) 2

Если $n≤ 105,$ то

n(n+-1)≤ 105(105+-1)-=5565< 5601 2 2

Таким образом, $n≥ 106.$ С другой стороны:

n(n+-1)≤ 5600+ n 2

2 n − n − 11200≤0

Дискриминант уравнения $n2− n− 11200 =0$ равен $D = 1+ 4⋅11200= 44801,$ то есть корни равны $√----- x1 = 1−-44801- 2$ и $1+ √44801- x2 =----2---.$ Неравенство не верно для всех чисел, больших $x2,$ при этом заметим, что $44801< 46225= 2152,$ откуда

√----- x2 = 1+-44801-< 1+-215-= 107 2 2

Значит, при $n≥ 107$ неравенство неверно, то есть $n< 107.$

Получается, $n =106,$ сумма чисел на всех карточках равна $106(106+1)-=5671, 2$ а на потерянной карточке написано число $5671− 5600= 71.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 283#124040Максимум баллов за задание: 7

Мальчик едет на самокате от одной автобусной остановки до другой и смотрит в зеркало, не появился ли сзади автобус. Как только мальчик замечает автобус, он может изменить направление движения. При каком наибольшем расстоянии между остановками мальчик гарантированно не упустит автобус, если он знает, что едет со скоростью, втрое меньшей скорости автобуса, и способен увидеть автобус на расстоянии не более $2$ км?

Источники: ММО - 2020, второй день, 11.1 (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы решить задачу, нужно понять, каким образом мальчик может попасть на автобус. Очевидно, что либо вернувшись на остановку, из которой выехал, либо доехав до следующей.

Подсказка 2

Отсюда возникают логичные вопросы. На каком расстоянии мальчик должен находиться от остановки, с которой он выехал, чтобы успеть доехать обратно к приезду автобуса? Аналогичный вопрос для следующей остановки.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если мальчик отъедет от остановки не более чем на $500$ м, то он успеет вернуться к приезду автобуса, который за это время проедет до остановки не более $1500$ м. Если мальчик отъедет от остановки на расстояние, большее $500$ м, то вернуться на неё до приезда автобуса он уже не успеет, значит, чтобы не упустить автобус, он должен продолжить движение до следующей остановки.

Если мальчик заметит автобус, когда до второй остановки останется не более $1$ км, то он сможет продолжить движение и оказаться на остановке не позднее автобуса, который за это время проедет не более $3$ км. Таким образом, наибольшее расстоянии между остановками, при котором мальчик гарантированно не упустит автобус, равно $1,5$ км.

Второе решение.

Если мальчик с того момента, как он заметил автобус, проехал расстояние $x,$ то автобус проехал расстояние $3x.$ Предположим, что мальчик поехал навстречу автобусу и приехал на остановку одновременно с автобусом, тогда

3x +x =2

Cледовательно, мальчик проехал $0,5$ км до остановки, поэтому если расстояние до этой остановки будет больше $0,5$ км, то мальчик на неё не успеет.

Если он продолжил ехать в том же направлении, что ехал изначально, и приехал на остановку одновременно с автобусом, то

3x − x =2

Cледовательно, мальчик проехал $1$ км, поэтому если расстояние до этой остановки будет больше $1$ км, то мальчик на неё не успеет. Таким образом расстояние между остановками не должно превышать $1,5$ км.

Ответ:

$1,5$ км

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 284#124050Максимум баллов за задание: 7

Во время собеседования при приеме на работу в разных IT-компаниях любят задавать разные тестовые нестандартные задачи для проверки творческих способностей кандидата на работу. Одна из таких популярных тестовых задач следующая (см. рисунок):

$PIC$

Точки $A$ и $B$ двигаются на встречу друг-другу (обычно говорят о двух «путниках») со скоростями $a$ и $b$ соответственно, а между ними все время «летает» со скоростью $v (v >a$ и $v >b)$ еще одна точка (обычно говорят о «мухе», которая летает с носа одного путника на нос другого путника без задержек на носу ни одного из путников). Начальное расстояние между точками $A$ и $B$ равно $S.$ Вопрос: какое расстояние пролетит точка-муха от момента начала движения точек-путников до момента их встречи?

Так вот, в этой задаче вам сначала надо ответить на вопрос, сформулированный в тестовой задаче: какое расстояние пролетит точка-муха от момента начала движения точек-путников до момента их встречи? Далее, вам надо ответить на следующий вопрос (и доказать ответ!): конечное или бесконечное число полетов между точкам-путниками совершит точка-муха от момента начала движения до момента встречи точек-путников?

И, наконец, вам надо ответить на еще один вопрос. Пусть в начальный момент точка-муха находилась в точке $A.$ Какое суммарное расстояние пролетит точка-муха, когда движется от $A$ до $B?$ А какое суммарное расстояние пролетит точка-муха, когда движется от $B$ до $A?$

Источники: Иннополис - 2020, 11.5 (см. lk-dovuz.innopolis.university)

Подсказки к задаче

Вопрос 1, подсказка 1

Сначала можно вычислить время, которое будет летать точка-муха, а потом уже найти расстояние.

Вопрос 2, подсказка 1

Предположим, что точка-муха совершила конечное число полетов, тогда мы либо докажем это, либо получим противоречие.

Вопрос 2, подсказка 2

Попробуйте рассмотреть последний полет точки-мухи.

Вопрос 2, подсказка 3

Пусть последний полет был от точки А. Какие будут скорости у точки А и у точки-мухи?

Вопрос 2, подсказка 4

У точки-мухи будет скорость v, у точки А — a. Какая из этих точек прилетит раньше в точку встречи точек-путников?

Вопрос 2, подсказка 5

Сравните скорости a и v, опираясь на условие, и проведите аналогичные рассуждения в случае, если последний полет точки-мухи происходит от точки B.

Вопрос 3, подсказка 1

Давайте попробуем составить формулы расстояний перелетов в общем виде. Для этого можно посчитать расстояния в конкретных ситуациях.

Вопрос 3, подсказка 2

В некоторый момент времени точка-муха находится в точке А, пусть в этот момент расстояние между A и B равно p₀. Через какое время точка-муха окажется в точке B?

Вопрос 3, подсказка 3

t₁ = p₀ / (v + b). Какое расстояние при этом пролетит точка-муха?

Вопрос 3, подсказка 4

w₁ = t₁v = p₀v / (v + b). Чему будет равно расстояние между точками A и B после полета?

Вопрос 3, подсказка 5

p₁ = p₀ - t₁(a + b) = p₀ ⋅ (v - a) / (v + b). Через какое время точка-муха вновь окажется в точке А?

Вопрос 3, подсказка 6

t₂ = p₁ / (v + a) = p₀ ⋅ (v - a) / ((v + a)⋅(v + b)). Какое расстояние она пролетит от B к A?

Вопрос 3, подсказка 7

w₂ = t₂v = p₀ ⋅ (v - a) ⋅ v / ((v + a)⋅(v + b)). Какое расстояние между точками A и B после этого?

Вопрос 3, подсказка 8

p₂ = p₁ - t₂(a + b) = p₀ ⋅ (v - a)(v - b) / ((v + a)(v + b)). Посмотрите на полученные результаты и попробуйте записать в общем виде формулы для расстояний между точками A и B до и после k-го перелета.

Вопрос 3, подсказка 9

Теперь вспомним, что мы хотим найти. Запишите формулы для расстояний, которые будет пролетать точка-муха.

Вопрос 3, подсказка 10

Рассмотрим случай, когда точка-муха летит от A к B. Заметьте, что расстояния, которые будет пролетать точка-муха, образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Вопрос 3, подсказка 11

Ее суммой и будет суммарное расстоние, которое пролетит точка-муха от A до B. Чтобы найти суммарное расстояние, которое пролетит точка-муха от B к A, для начала посчитайте общее расстояние, которое пролетит точка-муха.

Показать ответ и решение

Первый вопрос.

Общее время движения точек-путников

S t= a+-b,

поэтому расстояние, которое пролетит точка-муха за это время

l= vt= aS+vb

Второй вопрос.

Давайте предположим, что точка-муха совершит некоторое конечное число полетов между точками-путниками. Тогда либо мы докажем это, либо прийдем к противоречию и получим, что полетов было бесконечное количество.

Рассмотрим последний полет точки-мухи между точками-путниками. Если это был полет от точки $A,$ движущейся направо со скоростью $a,$ то, так как это был последний полет, точка-муха тоже летит направо со скоростью $v$ и прилетает в точку встречи точек-путников не раньше точки $A,$ то есть скорость точки-мухи $v,$ которая не больше скорости $a.$

Получаем противоречие с тем, что $v > a.$ Аналогично получаем противоречие в случае, если последний полет точки-мухи происходит от точки $B.$ Следовательно, предположение о конечном числе полетов неверно.

Третий вопрос.

Пусть в некоторый момент времени точка-муха находится в точке $A$ и в это время расстояние между точками $A$ и $B$ равно $p0 >0.$ Тогда точка-муха окажется в точке $B$ спустя время

-p0- t1 = v+ b,

при этом точка-муха пролетит расстояние

w1 =t1v = p0v v+ b

в направлении от $A$ к $B,$ а расстояние между точками $A$ и $B$ после полета будет равно

p1 = p0− t1(a+b)= p0− p0(a+-b)= p0(v−-a)= p0⋅ v−-a v+ b v +b v+ b

Точка-муха вновь окажется в точке $A$ спустя время

-p1- -p0(v-− a)- t2 = v+ a = (v+ a)(v+ b)

Она пролетит в направлении от $B$ к $A$

w2 =t2v =-p0(v−-a)v- (v +a)(v +b)

После этого расстояние между точками $A$ и $B$ будет равно

p0(v−-a) p0(v−-a)(a+-b)- p0(v−-a)(v−-b)- (v−-a)(v−-b) p2 =p1− t2(a+ b)= v+ b − (v+ a)(v+ b) = (v+ a)(v+ b) =p0⋅(v+ a)(v+ b)

Следовательно, для любого $k≥ 1$ мы имеем: расстояние между точками $A$ и $B$ после $k- ого$ перелета

от $A$ до $B$ равно
$( ) S ⋅ v− a-⋅ (v−-a)(v− b) k−1 v+b (v+ a)(v+b)$
от $B$ до $A$ равно
$( ) S⋅ (v−-a)(v−-b) k (v+ a)(v+ b)$

Теперь заметим, что для любого $k ≥ 1$ расстояние между точками перед $k-ым$ перелетом

от $A$ до $B$ равно
$((v− a)(v− b))k−1 S⋅ (v+-a)(v+-b)$
от $B$ до $A$ равно
$v− a ((v−-a)(v− b))k−1 S ⋅v− b ⋅ (v+ a)(v+b)$

Тогда для любого $k≥ 1$ расстояние, которое пролетит точка-муха в $k-ый$ раз,

от $A$ до $B$ равно
$( )k− 1 W2k−1 = S⋅-v-⋅ (v−-a)(v−-b) v+ b (v+ a)(v+ b)$
от $B$ до $A$ равно
$( )k−1 W2k = S ⋅-v-⋅ v−-a⋅ (v−-a)(v−-b) v+b v+ a (v+ a)(v+ b)$

$W2k−1$ — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом

-v-- S ⋅v+ b

и знаменателем

(v− a)(v− b) (v+-a)(v+-b)

Сумма прогрессии равна

S⋅--v- ⋅----1------= S(v-+a)- v +b 1− (v(v−+aa)()(vv−+b)b)- 2(a +b)

Это и есть суммарное расстояние, которое пролетит точка-муха, когда движется от $A$ до $B.$

Так как общее расстояние, которое пролетит точка-муха, равно

-Sv-, a +b

то, следовательно, суммарное расстояние, которое пролетит точка-муха, когда движется от $B$ к $A,$ равно

-Sv-− S(v+-a)= S(v-− a)- a+ b 2(a+ b) 2(a +b)

Ответ:

1) $-Sv-; a +b$ 2) Бесконечное; 3) $S(v-− a) 2(a +b)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 285#126021Максимум баллов за задание: 7

Поверхность коробки размером $3× 4× 5$ разбита на 94 квадрата размером $1×1.$ В квадратах, принадлежащих одной грани, написаны одинаковые натуральные числа. На параллельной ей грани коробки эти числа повторяются (на каждой паре параллельных граней числа, вообще говоря, разные). Муравей Гоша совершает путешествия по поверхности коробки, соблюдая следующие правила: 1) маршрут начинается в центре любого из указанных квадратов, заканчивается в нем же и представляет собой замкнутую ломаную, лежащую в плоскости, перпендикулярной одному из ребер коробки; 2) Гоша никогда не меняет направление движения по маршруту; 3) сумма чисел по всем квадратам, встречающимся на пути Гоши, не зависит от маршрута и равна 2880. Какие числа написаны на гранях коробки?

Источники: Росатом - 2020, 11.3 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть в квадратах граней AA₁B₁B, AA₁D₁D, ABCD и параллельных им записаны числа x, y, z соответственно. тогда AB = 3, AD = 5, AA₁ = 4. Рассмотрим грань AA₁D₁D и выберем в ней произвольный квадрат с центром M₁. Пусть M₁ — начало маршрута Гоши. Каким условиям должен удовлетворять маршрут?

Подсказка 2

Посмотрим на условие (1). Сколько таких плоскостей мы может взять?

Подсказка 3

Таких плоскостей будет 2. Одна параллельна ABCD, вторая — AA₁B₁B. К тому же, они должны проходить через точку M₁. Тогда пути — это ломаные пересечений плоскостей с поверхностью коробки. Чему равны суммы чисел на этих маршрутах?

Подсказка 4

Для первого пути (лежащего в плоскости, параллельной ABCD) — σ₁ = 2(5y + 3x), для второго — σ₂ = 2(4y + 3z). Как можно воспользоваться 3 условием?

Подсказка 5

По 3 условию, все суммы чисел, расположенных в квадратах на пути Гоши, равны. В σ₁ и σ₂ используются 3 переменные — x, y и z. Попробуйте получить еще одно уравнение.

Подсказка 6

Возьмите квадрат из грани DD₁C₁C, пусть его центром будет M₂. Рассмотрите маршрут, лежащий в плоскости, параллельной AA₁D₁D.

Подсказка 7

Сумма чисел на пути будет равна σ₃ = 2(4y + 5z). Тогда из условия (3) σ₁ = σ₂ = σ₃.

Подсказка 8

Получим, что x = 5t, y = 9t, z = 8t, где t ∈ ℤ. Что мы ещ` знаем из условия?

Подсказка 9

Сумма чисел равна 2880. Тогда можем найти t.

Показать ответ и решение

Пусть в квадратных гранях $AA B B, 1 1$ $AA D D, 1 1$ $ABCD$ и параллельных им записаны числа $x,y,z$ соответственно. Тогда $AB = 3,$ $AD = 5,$ $AA1 =4.$

Рассмотрим грань $AA1D1D,$ выберем в ней произвольный квадрат, его центр назовем $M1.$ Будем считать, что $M1$ — начало маршрута Гоши.

$PIC$

По условиям $(1)$ и $(2),$ будет существовать 2 допустимых маршрута с началом в $M1.$

Первый маршрут — ломаная пересечения поверхности коробки с плоскостью, проходящей через точку $M1,$ параллельная основанию $ABCD.$ Сумма чисел, расположенных в квадратах на пути Гоши по этому маршруту, равна

σ1 = 2(5y+ 3x)

Второй маршрут — ломаная пересечения поверхности коробки и плоскости, проходящей через $M1$ и параллельной грани $AA1B1B.$ Сумма чисел, расположенных в квадратах на пути Гоши по этому маршруту, равна

σ2 = 2(4y+ 3z)

Возьмем произвольный квадрат, расположенный на грани $DD1C1C,$ обозначим его центр за $M2.$ Рассмотрим соответствующий ему маршрут, полученный пересечением поверхности коробки с плоскостью, параллельной грани $AA1D1D.$ Сумма чисел на этом пути

σ3 = 2(4y+ 5z)

По условию, $σ =σ = σ 1 2 3$

{ 2(4x+ 5z)= 2(4y +3z) 2(4x+ 5z)= 2(3x +5y)

{ 2x − 2y+ z = 0 x − 5y+ 5z = 0

Получим, что

9x= 5y

Тогда

(| x= 5t { y = 9t , где t∈ℤ |( z = 8t

По условию,

2(4x +5z)= 2880

Подставим $x$ и $z :$

2(20t+40t)= 2880

t= 24

Тогда $x = 120,$ $y = 216,$ $z = 192.$

Ответ:

120, 192, 216

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 286#31286Максимум баллов за задание: 7

Все 11-классники спецшколы разделены на три отдельные категории: экономисты, историки и филологи. На каждых двоих филологов приходится 3 человека, считающихся экономистами или историками, а на каждых пятерых экономистов приходится 7 человек, считающихся историками или филологами. Найдите количество историков, если 11-классников в школе не более 100.

Источники: ПВГ-2019, 11.1 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Введем переменные для количеств экономистов (x), историков (y) и филологов (z), и составим уравнения.
"На каждых двоих филологов приходится 3 человека, считающихся экономистами или историками" - значит, отношение числа филологов к суммарному числу экономистов и историков равно 2/3.

Подсказка 2

Уравнения составлены, но у нас три неизвестные и два уравнения - однозначно найти все не получится. Хочется выразить все переменные через одну, например, через z.

Подсказка 3

Все переменные - целые. Значит, мы можем воспользоваться делимостью! Действительно, если 11z = 24y и 25z = 24x, то z должно делиться на 24. Вспомним условие: школьников всего <= 100. Какие ограничения оно накладывает?

Подсказка 4

Из условия следует, что x + y + z <= 100. Осталось доказать, что при слишком больших z (z >= 48) это условие не будет выполняться.

Показать ответ и решение

Пусть экономистов, историков и филологов соответственно $x$ , $y$ и $z$ , тогда:

{ -z-= 2 { 3z = 2x+ 2y { 11z = 24y x+xy 35 =⇒ =⇒ z+y = 7 5z = 7x− 5y 25z = 24x

Все числа натуральные, потому $z$ кратно 24. Если $z ≥48$ , то $y ≥ 22,x ≥50$ , откуда сумма больше 100, а иначе $z = 24,y =11,x= 25$ .

Ответ:

$11$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 287#38874Максимум баллов за задание: 7

У Кощея Бессмертного есть $11$ больших сундуков. В некоторых из них лежит по $8$ средних сундуков. А в некоторых средних лежит по $8$ маленьких сундуков. В сундуках больше ничего не лежит. Всего у Кощея $102$ пустых сундука. Сколько всего сундуков у Кощея?

Источники: Школьный этап - 2020, Москва, 7.6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неудобно считать конечный результат процесса, поэтому попробуем последовательно) Как изменяется количество пустых сундуков при добавлении внутрь восьми?

Подсказка 2

На 8-1(почему?). А изначально у нас было 11 пустых. Сколько тогда операций добавления сделано и сколько тогда сундуков стало?)

Показать ответ и решение

Будем класть одни сундуки внутрь других по очереди. Изначально у нас было $11$ пустых сундуков. За одну операцию добавления $8$ средних или $8$ маленьких сундуков внутрь другого, количество пустых сундуков увелчивается на $8− 1 =7$ штук. А значит, мы сделали $102−11 7 =13$ операций добавления сундуков и в итоге их стало $11+ 8⋅13= 102 +13= 115$ .

Ответ: 115

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 288#39313Максимум баллов за задание: 7

На уроке физкультуры весь класс выстроился по росту (у всех детей разный рост). Дима заметил, что людей, которые выше него, в четыре раза больше, чем людей, которые ниже него. А Лёня заметил, что людей, которые выше него, в три раза меньше, чем людей, которые ниже него. Сколько всего человек в классе, если известно, что их не больше $30$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Задача с неизвестными, значит удобнее всего записать уравнения по условию) Какие выводы можно сделать из них? Подумаем, а как нам может помочь условие "не больше 30"?

Подсказка 2

Если x - количество людей меньше Димы, то 4x человек выше него, тогда в классе 4x+1 человек. Сделаем то же самое с Лёней, и у нас появятся две записи количества человек в классе. Осталось лишь понять, как нам могут помочь 4 и 5 в их записи ;) Помним про условие, что их не больше 30!

Показать ответ и решение

Пусть в классе $x$ человек, которые ниже Димы. Тогда выше него $4x$ человек и ещё сам Дима, то есть всего в классе $5x+1$ . Пусть в классе $y$ человек, которые выше Лёни. Тогда ниже него $3y$ человек и ещё сам Лёня, то есть всего в классе $4y+ 1$ . Получается, что количество детей в классе без одного человека делится на $4$ и на $5$ , то есть на $20$ . Такое число в нужном диапазоне есть только одно — $20$ . Тогда всего детей в классе $21$ .

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 289#41589Максимум баллов за задание: 7

У бабушки два клубка шерсти: большой и маленький. Из большого она может связать либо свитер и три носка, либо пять одинаковых шапочек. А из маленького — либо половину свитера, либо две шапочки. (При этом в обоих случаях вся шерсть будет израсходована.) Какое наибольшее число носков может связать бабушка, используя оба клубка?

Источники: Муницип - 2019, Свердловская область, 6.3

Показать ответ и решение

Способ 1. На половину свитера идёт столько же шерсти, сколько и на 2 шапочки, значит на свитер уходит столько же шерсти, как и на 4 шапочки. Тогда 4 шапочки и три носка требуют столько же шерсти, как и 5 шапочек. Поэтому одна шапочка равносильна трём носкам. Всего можно связать $5 +2 =7$ шапочек или 21 носков.

Способ 2. Пусть на носок, шапочку и свитер уходит соответственно $x,y$ и $z$ шерсти (не важно, в каких единицах взяты неизвестные). Тогда шерсти у бабушки $3x+$ $z = 5y$ в первом клубке и $0,5z =2y−$ во втором. Требуется выразить сумму $5y+ 2y$ через $x.$ Выразим из второго уравнения $z$ и подставим результат в первое: $3x+4y =5y$ , откуда $y = 3x.$ Тогда $5y+ 2y = 7y = 21x$ , то есть из всей шерсти можно связать 21 носков.

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 290#42076Максимум баллов за задание: 7

Пункты $A,B,C,D$ расположены в вершинах прямоугольника $ABCD$ , его стороны и диагонали $AC$ и $BD −$ дороги. Первая машина проехала за час по маршруту $B → C → A → D$ , а вторая проехала за час по маршруту $D → B → C → A$ . Через сколько минут машины встретятся, если они одновременно выедут из пункта $C :$ первая по маршруту $C → B → D$ , вторая — по маршруту $C → A → D → B$ , а встреча произойдет на дороге $BD?$ (Скорости обеих машин постоянны). В ответ укажите число минут.

Источники: Муницип - 2019, Московская область, 7.2

Показать ответ и решение

Диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину и длиннее любой его стороны. За один час вместе обе машины проехали бы трижды сторону $BC$ и трижды диагональ, так как одна проезжает за час две стороны, равные $BC$ , и одну диагональ, а вторая проезжает за час две диагонали, и одну сторону, равную $BC.$ Значит, за треть часа, то есть за 20 минут вместе машины проедут одну сторону, равную $BC$ , и одну — равную диагонали. А весь описанный маршрут до встречи на $BD$ они проедут за вдвое больший промежуток времени.

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 291#42928Максимум баллов за задание: 7

Школьники едят шоколад из новогодних подарков. Каждая шоколадка состоит из 12 долек. Выяснилось, что если каждая девочка съест по 7 долек, а каждый мальчик по 2, то трех шоколадок не хватит. Если же взять четыре шоколадки, то каждой девочке хватит по 8 долек, а каждому мальчику по 4 дольки, и еще останется. Сколько среди этих школьников мальчиков и девочек? Введите в ответ числа через пробел (сколько мальчиков, сколько девочек).

Источники: Муницип - 2019, Республика Мария Эл, 7.3

Показать ответ и решение

Пусть мальчиков $x$ , а девочек $y$ . Тогда $2x+ 7y > 3⋅12 =36$ , а также $4x +8y < 4⋅12= 48$ . Вычтем одно неравенство из другого, получим $2x+ y < 12$ , при этом $2x +7y > 36$ , откуда $6y >25$ (равенства быть не может, поскольку $2x+ y ≤ 11,2x+ 7y ≥37$ ), то есть $y ≥5$ . При этом $8y <48 =⇒ y < 6$ , значит, $y =5$ . В силу $2x+ 7y >36$ выполнено $x> 0$ , а из $4x+ 8y < 48$ следует $x <2$ , откуда $x =1$ .

Ответ: 1 5

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 292#42930Максимум баллов за задание: 7

На середине дороги от Васиного дома до школы стоит светофор. В понедельник Вася попал на зелёный сигнал светофора. Во вторник он шёл с той же скоростью, но простоял на светофоре 5 минут, а после этого увеличил скорость вдвое. И в понедельник, и во вторник он потратил на путь от дома до школы одинаковое время.

Найдите это время. В ответ внесите число минут.

Источники: Муницип - 2019, Тульская область, 7.1

Показать ответ и решение

Первую половину пути Вася шёл с одинаковой скоростью и потратил на неё $t$ минут. На вторую половину в первый раз он потратил $t$ , а во второй — $t 2$ минут или на пять минут меньше, откуда $t 2t=t+ 2 + 5 =⇒ t=10$ минут, а всё время в пути в каждой случае равнялось $2t= 20$ минут.

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 293#42933Максимум баллов за задание: 7

Винни-Пух и Пятачок одновременно пошли друг к другу в гости по одной и той же дороге. Пройдя со своей обычной скоростью до высокой сосны, Пятачок вдруг вспомнил, что забыл у себя дома подарок для своего лучшего друга Винни-Пуха и побежал назад со скоростью вдвое большей своей обычной. Прибежав домой, Пятачок тут же увидел подарок, схватил его и, не теряя времени, отправился к Винни-Пуху со своей обычной скоростью и встретился с ним у высокой сосны. Во сколько раз высокая сосна растет дальше от домика Винни-Пуха, чем от домика Пятачка, если обычная скорость Винни-Пуха в полтора раза больше скорости Пятачка и весь путь Винни-Пух шел со своей обычной скоростью?

В ответ внесите число в виде десятичной дроби, дробную часть отделяйте запятой.

Источники: Муницип - 2019, Калужская область, 7.2

Показать ответ и решение

Пусть Пятачок тратит на путь до сосны со своей обычной скоростью время $t 1$ , а на путь от сосны до дома Винни-Пуха — время $t 2$ . Тогда Винни-Пух потратил на дорогу время $-t2 2 1.5 = 3t2$ , а Пятачок $5 2.5t1 = 2t1$ (два раза с обычной скоростью и один с в два раза быстрее). Отсюда $2 5 3t2 = 2t1$ и $t2 15 t1 = 4$ . Осталось заметить, что данное отношение является нужным нам отношением расстояний до сосны от каждого дома (достаточно каждое время умножить на скороть Пятачка).

Ответ: 3,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 294#47235Максимум баллов за задание: 7

Из поселка на станцию по одной дороге одновременно отправились дачник А пешком и мотоцикл с пассажиром - дачником Б. Не доехав до станции, мотоциклист высадил пассажира и сразу поехал обратно к поселку, а дачник Б пошел к станции пешком. Встретив дачника А, мотоциклист посадил его к себе и привез на станцию. В результате оба дачника прибыли на станцию одновременно. Какую часть пути от поселка до станции дачник А проехал на мотоцикле, если дачники шли с одинаковой скоростью, в $9$ раз меньшей скорости мотоцикла?

Источники: Ломоносов-2019, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если дачники отправились и прибыли одновременно, могли ли они проехать на мотоцикле разную долю пути?

Подсказка 2

Подумайте, сколько проехал мотоциклист прежде, чем забрал дачника А? Для удобства, можно ввести переменную на долю пути, которую прошел дачник самостоятельно.

Подсказка 3

А что можем сказать о времени, затраченном на путь мотоциклистом и дачником А до их встречи? Составьте уравнения, используя условие на скорости и найденные расстояния и вычислите все нужные величины!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть расстояние от посёлка до станции равно $1$ . Если какой-то из дачников ехал на мотоцикле дольше другого, то он должен был преодолеть большее расстояние (меньше перемещаясь пешком), поскольку их скорости пешком равны. Значит, дачники ехали на мотоцикле (и шли пешком) одинаковое время. Пусть каждый прошёл $x$ , тогда мотоциклист высадил дачника Б в точке $1− x$ , считая от посёлка, а затем забрал дачника А в точке $x$ , проехав до неё $1− x− x= 1− 2x$ . Отсюда суммарно до встречи с дачником А мотоцикл проехал расстояние $1− x+ 1− 2x =2 − 3x$ , за это время сам дачник прошёл $x$ . Из условия на скорости выполнено соотношение

1 2− 3x= 9⋅x ⇐⇒ x= 6

Отсюда на мотоцикле каждый дачник проехал $56$ пути.

Второе решение.

$PIC$

Пусть расстояние от посёлка до станции равно $1.$ Будем решать задачу графически. Условие про скорость в девять раз больше будет означать в 9 раз больший коэффициент наклона. Пусть первый дачник следовал по маршруту $ABC$ , мотоциклист — по $ABDC$ , второй дачник — по $ADC$ . Из равных скоростей дачников следует, что $AD ∥BC$ , из одинаковой скорости мотоциклиста $AB ∥CD$ , значит, $ABCD$ — параллелограмм, откуда мотоциклист проехал с каждым дачником одно и то же расстояние и каждый дачник прошёл одно и то же расстояние. Пусть каждый дачник шёл пешком часть пути $r∈[0,1]$ , тогда мотоциклист вёз каждого из них часть $1− r$ , при этом кусочек $m0$ является частью пути $1− r− r= 1− 2r$ . Тогда пока второй дачник шёл $r$ , мотоциклист проехал $m0 +m1$ , получаем соотношение

1 m1 + m0 = 1− r+ 1− 2r= 2− 3r= 9⋅r⇐⇒ r =6

Ответ:

$5 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 295#67156Максимум баллов за задание: 7

Ученикам на входе в школу разрешалось брать из коробки любое количество карандашей. Позже выяснилось, что не менее $60%$ карандашей, полученных любой группой из десяти человек, оказывались у одного ученика из этой группы. Докажите, что в школе есть ученик, забравший более $58%$ карандашей, взятых всеми школьниками из коробки.

Источники: Росатом-19, 11.3 (см. mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно доказать, что существует ученик, который взял достаточно много карандашей. Также есть условие про то, что в любой группе из 10 человек есть человек, который взял хотя бы 60 процентов карандашей из их группы. Это наталкивает на мысль упорядочить учеников по убыванию кол-ва взятых ими карандашей и доказывать что-то про ученика, который взял больше всех!

Подсказка 2

Давайте попробуем записать условие про группу из 10 человек, которые идут подряд по убыванию после нашего упорядочивания) Выйдет что-то вида x_k/(x_k + x_{k+1}+..+x_{k+9}) >= 0,6. Во что это можно преобразовать, чтобы получить оценку x_k через другой один x?

Подсказка 3

Например, можно получить что x_k >= 27/2 * x_{k+9}! Мы понимаем, что мы умеем оценивать x_1 через первые 10 иксов. А можем ли мы оценить теперь сумму вообще всех иксов через сумму первых десяти иксов?

Подсказка 4

Можем! С помощью нашего полученного неравенства) Остаётся только использовать обе эти оценки, чтобы получить оценку x_1 через сумму всех иксов, и станет понятно, что задача решилась!

Показать доказательство

Пусть ученики школы упорядочены по убыванию числа взятых ими карандашей: ученик под номером $k$ взял из коробки $x k$ карандашей и

x1 ≥ x2 ≥ ...≥ xk ≥xk+1 ≥ ...

По условию для любого $k$ выполняется неравенство. Преобразуем его

-------xk-------- xk+ xk+1 +...+ xk+9 ≥ 0,6

(1− 0,6)xk ≥0,6(xk+1+ ...+ xk+9)

3 3 27 xk ≥ 2(xk+1+...+xk+9)≥ 2(xk+9 +...+xk+9)= 2-xk+9

То есть $xk+9 ≤ 227xk$ для любого $k.$ Тогда для любого $n$

x2 +x3+ ...+ xn = (x2+ x3+ ...+ x10)+ (x11+ x12+ ...+ x19)+

( ( )2 ) + ...≤ (x2 +x3+ ...+ x10)⋅ 1+ -2 + 2- +... 27 27

По условию

x1 ≥ 0,6(x1+ x2 +...+ x10)

0,4x1 ≥ 0,6(x2+ ...+x10)

2 x2+ ...+ x10 ≤ 3x1

Суммируя прогрессию, получим неравенство.

27 27 2 18 x2+ x3+...+xn ≤25 (x2+ x3+ ...+x10)≤ 25 ⋅3x1 = 25x1 =⇒

=⇒ x1+ x2+ x3+...+xn ≤ 4235x1

Если в школе $n$ учеников, то

x1 ≥ 25-(x1+ x2+ x3+...+xn)> 43

> 0,58 ⋅(x + x +x +...+ x ) 1 2 3 n

Итого, ученик под номером $1$ забрал более $58%$ карандашей.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 296#67534Максимум баллов за задание: 7

Все 11-классники спецшколы разделены на три отдельные категории: физики, химики и биологи. На каждых двоих биологов приходится 5 человек, считающихся физиками или химиками, а на каждых троих физиков приходится 7 человек, считающихся химиками или биологами. Найдите количество химиков, если 11-классников в школе не более 100.

Источники: ПВГ-2019, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть x, y, z — количество учеников в категории: биологии, химики, физики. Перепишите условие задачи в данных терминах.

Подсказка 2

Можно подобрать значения и убедиться, что одиннадцатиклассников в школе не более 100.

Показать ответ и решение

Пусть $x,y,z$ — количество учеников в категории: биологии, химики, физики. Тогда по условию задачи получим систему уравнений:

({ 5x= 2(y+z) ( 7z = 3(x+y)

( { 5x − 2y = 2z ( 7z =3x+ 3y

( { 5x− 14z3-+2x= 2z|⋅3 ( 7z y = 3 − x|⋅21

({ 21x= 20z ( 21y = 49z− 20z = 29z

({ 21x= 20z ( 21y = 29z.

Это значит, что минимальные значения могут быть только: $x= 20,y = 29,z =21.$

Ответ:

$29$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 297#68089Максимум баллов за задание: 7

1 января 1019 года количество золотых монет у купца Ивана относилось к количеству золотых монет у купца Петра как $3:7$ . Каждый день 1019 года, начиная со 2 января, у одного из них количество золотых монет увеличивалось (у Ивана — ровно на 7 монет, у Петра — ровно на 3 монеты), а у второго оставалось неизменным. Укажите ближайшую дату, когда отношение количества монет у Ивана к количеству монет у Петра снова может стать $3:7.$

Источники: Миссия выполнима - 2019, 11 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте записать то отношение, которое нам дали в задаче математически. Как в таком случае можно записать прибавление по 7 монет для одного человека и по 3 монеты для другого человека?

Подсказка 2

Да, если Вы сделали всё правильно и привели подобный слагаемые, то должно было получиться равенство вида 49k = 9m, где k, m — целые неотрицательные числа! Осталось понять, при каких k и m это может выполняться.

Подсказка 3

Конечно, так как их сумма должны быть минимальной(исходя из вопроса задачи), то сами k и m должны быть минимально возможными! Возможно, быстрее понять правильный ответ поможет факт: НОД(49; 9) = 1

Показать ответ и решение

Пусть $3n$ и $7n$ — первоначальное количество монет у Ивана и Петра соответственно.

Через некоторое время количество монет у Ивана будет $3n+ 7k$ , а у Петра $7n +3m$ . При этом $7(3n +7k)= 3(7n+ 3m)$ .

Следовательно, $49k =9m$ .

Нужно определить при какой наименьшей сумме $k+ m$ это возможно.

Так как $m$ должно делиться на $49$ , а $k$ — на $9$ , то наименьшая сумма $k+ m$ равна $58$ .

Итак, отношение количества монет у Ивана к количеству монет у Петра снова может стать $3:7$ только через $58$ дней, то есть $28$ февраля $1019$ года.

Ответ:

$28$ февраля $1019$ года

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 298#77821Максимум баллов за задание: 7

В школе имеется три кружка: по математике, по физике и по информатике. Директор как-то заметил, что среди участников кружка по математике ровно $1 6$ часть ходит ещё и на кружок по физике, а $1 8$ часть – на кружок по информатике; среди участников кружка по физике ровно $1 3$ часть ходит ещё и на кружок по математике, а ровно $1 5$ – на кружок по информатике; наконец, среди участников кружка по информатике ровно $1 7$ часть ходит на кружок по математике. А какая часть участников кружка по информатике ходит на кружок по физике?

Источники: ОММО - 2019, 11.9

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тут самое важное не запутаться в вычислениях. Для этого удобно будет обозначить кол-во информатиков за x. Как можно теперь выразить кол-во человек например в кружке по математике?

Подсказка 2

Из кол-ва людей, которые ходят в два кружка, мы умеем получать кол-во людей в самом кружке! Вот как здесь поступим: раз x на информатике, то x/7 на инфе и на математике. А тогда, 8x/7 - кол-во человек на математике, потому что x/7 должно быть 1/8 от этого кол-ва! Проделайте аналогичные действия со всеми кружками и получите нужную долю)

Показать ответ и решение

Пусть участников кружка по информатике $x;$ тогда детей, которые ходят одновременно на кружок по математике и информатике $x; 7$ тогда участников кружка по математике $8x- 7 ,$ а детей, которые ходят одновременно на кружок по математике и по физике $−$ $4x 21;$ тогда участников кружка по физике $4x 7 ,$ а детей, которые ходят одновременно на кружок по информатике и по физике $−$ $4x 35.$

Ответ:

$-4 35$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 299#83167Максимум баллов за задание: 7

В детском саду есть большая коробка с шариками трех цветов: красного, синего и зеленого. Всего в коробке 100 шариков. Однажды Паша достал из коробки 30 красных, 10 синих и 20 зеленых шариков, поиграл с ними, пять шариков потерял, а остальные вернул обратно в коробку. На следующий день Саша достал из коробки 8 красных, 18 синих и 48 зеленых шариков. Можно ли хотя бы про один потерянный Пашей шарик определить, какого он был цвета?

Источники: КМО - 2019, первая задача первого дня для 8-9 классов, автор Белов Д.А. (cmo.adygmath.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что максимум доставали 30 красных, 20 синих и 50 зелёных шариков. Поскольку 30+20+50=100, в коробке изначально было как раз 30 красных, 20 синих и 50 зелёных шаров. Если потерянный шарик был синим или зелёным, значит, до его потери шариков соответствующего цвета было бы на 1 больше, что невозможно. Значит, потерян красный.

Ответ: красный

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 300#89253Максимум баллов за задание: 7

Петя и Вася участвовали в выборах на должность президента шахматного клуба. К полудню у Пети было $25%$ голосов, а у Васи — $45%$ . После полудня на голосование приходили только друзья Пети (и, соответственно, голосовали только за него). В итоге у Васи осталось только $27%$ голосов. Сколько процентов голосов набрал Петя?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, что же делать с такой текстовой задачей? Постараться составить уравнение! Обозначим за x количество проголосовавших до полудня, а за y — количество проголосовавших после полудня. Далее надо составить уравнение, воспользовавшись условием задачи.

Подсказка 2

Найдем тогда отношение x : y. Получилось, что 2x = 3y. Теперь мы можем без проблем посчитать отношение, которое нас просят найти.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — количество проголосовавших до полудня, а $y$ —– количество проголосовавших после. Тогда за Васю проголосовало $0,45x$ человек, что составляет $27%$ от $x+ y$ . Таким образом, получаем равенство $0,45x =0,27(x+ y)$ , откуда $2x= 3y$ . Согласно условию, Петя набрал голосов $0,25x+ y$ , вычислим, какую долю от $x+ y$ составляет это количество:

0,25x+ y 0,25+ y -x-+y--= -1+-yx-= x

= 14 +-23= 11 =55% 1+ 23 20

Ответ:

$55%$

Следующая подтема