Алгебраические текстовые задачи

Для начала решим задачу в общем виде. Пусть (бусин всего) , сек), и (сек). Рассмотрим столкновение двух бусинок и .

До столкновения бусинки двигались навстречу друг другу. После столкновения — наоборот, удаляются друг от друга.

Так как бусинки по виду одинаковые, то поменяв на правом рисунке буквы и местами, можно интерпретировать столкновение как переход бусинки через бусинку (так как бусинка теперь движется так, будто продолжает движение бусинки ). За один оборот окружности по часовой стрелке образ бусинки совершает столкновение. С учётом относительности движения один оборот совершается за сек. Если число ему кратно, то за время совершается полных оборотов, что сопровождается столкновениями. Итого:

Возвращаясь к замене переменной, получаем ответ:

Заметим, что раз у четверти кукол по четыре косички, то всего ленточек на них потрачено столько же, сколько всего кукол. У половины кукол по одной косичке, то есть на них ушло ленточек в два раза меньше, чем всего кукол. А у четверти кукол по две косички, следовательно на них также ушло ленточек в два раза меньше, чем всего кукол. Получается, что ленточек в два раза больше, чем кукол. То есть у Маши всего 28 кукол.

Пусть одна конфета стоит рублей. Тогда условие говорит о том, что .

Переписав это уравнение, получим, что

Отсюда , но так как за конфеты нужно платить положительную сумму (жаль), то отрицательное значение не подходит, поэтому .

Получается, что на рублей можно купить конфет.

Пусть в турнире участвовало рыцарей. Тогда к концу четвёртого дня сэр Ланселот сразился с участниками, а сэр Тристан с . Оба числа должны быть целыми, а значит, должно делиться на . То есть .

Сумма ростов двух несредних братьев равна м. А сумма всех ростов равна метра. Значит рост среднего брата равен метра.

Пусть изначально цена была . Тогда после поднятия цена стала равна . После уменьшения новая цена стала равна По условию это равно первоначальной цене, поэтому

Обозначим тогда

Пусть изначально людей было . Тогда после первой электрички их осталось , после второй — , а после третьей — . Отсюда

Пусть изначально первый вложил миллионов рублей, а второй миллион рублей. После чего первый вложил ещё миллионов, тогда получим систему

Из второго уравнения миллиона, тогда всего первый вложил миллионов.

Пусть в было лентяев и трудяг, при этом зарплата лентяев была трудяг — Отсюда в зарплата трудяг стала то есть в полтора раза больше. Пусть также оставили долю всех лентяев (остальных уволили), посчитаем среднюю зарплату. Для этого нужно весь поток денег поделить на число сотрудников. В она была

а в стала

где последнее равенство следует из повышения зарплаты в раза.

В итоге то есть лентяев осталось Тогда доля трудяг равна

(a) Один из прямоугольников разбиения должен иметь площадь не меньше, чем , обозначим его стороны за и . По неравенству о среднем арифметическом и средним геометрическом имеем

Значение достигается для разбиения квадрата на одинаковых квадратиков со стороной

По принципу Дирихле в любом разбиении единичного квадрата на прямоугольников найдётся прямоугольник (обозначим его стороны за и ) площади не больше При этом Следовательно, для Функция является квадратичной с отрицательным старшим коэффициентом, поэтому её минимум на отрезке принимается в одном из концов этого отрезка. Соответствующие значения на концах равны Следовательно,

Разбиение квадрата на равных прямоугольников со сторонами и даёт пример

(b) Приведем алгоритм разбиения квадрата на 30 прямоугольников периметра 2. Понятно, что нужно каким-то образом уменьшить разрезаемый квадрат, потому что его стороны слишком большие.

Попробуем отрезать от исходного квадрата "рамку"из четырех прямоугольников. Для этого выберем некоторое число Теперь отрежем от исходного квадрата четыре прямоугольника размером так, чтобы в центре остался квадрат размером

Разобьем теперь центральный квадрат на 26 равных прямоугольников размером

Их периметр равен 2, поэтому получаем уравнение

Таким образом, В итоге получаем следующее разбиение.

Обозначим количество пар мальчик-мальчик через а пар девочка-девочка — через В остальных парах мальчиков и девочек поровну, поэтому разница между количеством девочек и мальчиков равна По условию, эта же разница равна то есть а именно эту разность и требовалось найти.

Пусть — номера альбомов, в которые попали я и я фотографии соответственно, — количество страниц в альбоме. Тогда

Тогда

Из первого неравенства следует, что может быть равно из второго неравенства — Таким образом,

Во-первых, заметим, что выражение

всегда равно нулю. В дальнейшем мы можем использовать 0 , подразумевая, что вместо него должно быть записано именно это выражение.

Выражение

всегда равно Аналогично, теперь мы можем использовать операцию + с двумя аргументами.

Наконец, выражение

всегда равно Теперь легко выписать искомое выражение:

Обозначим данные последовательные натуральные числа через

Заметим, что если некоторое число лежит на отрезке то сумма расстояний от него до данных семи чисел не превосходит (сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна сумма расстояний до и не превосходит сумма расстояний до и также не превосходит расстояние до не превосходит половины длины отрезка между крайними числами, т.е. ). Следовательно, числа и лежат вне отрезка Тогда сумма расстояний от числа до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой

Аналогично, сумма расстояний от числа до каждого из данных чисел равна Получаем систему уравнений

Рассмотрим четыре случая раскрытия модуля.

(a) Оба числа и лежат справа от отрезка Тогда

Ввиду того, что должно быть натуральным числом, этот случай не подходит

(b) Оба числа и лежат слева от отрезка Тогда

(c) Число лежит справа, а — слева от отрезка Тогда

(d) Число лежит справа, а — слева от отрезка Тогда

Итак, возможны три случая:

Пусть - выбитые очки за рассматриваемых серий, в последней из которых Иван выбил 82 очка. Тогда

и

Решая полученную систему, находим и .

Пусть для выполнения условия задачи Ивану необходимо выбить очков. В этом случае получаем

Обозначим первые пять чисел через и Рассмотрим их частичные суммы и Среди них либо есть либо есть две одинаковые по модулю Тогда разница между двумя суммами с одинаковыми остатками по модулю  — тоже сумма нескольких подряд идущих из этих чисел, и она кратна Итак, среди этих чисел можно выделить несколько подряд идущих, сумма которых делится на Поставим между этими числами знаки “” и скобочки вокруг этой суммы, на остальные числа из пятерки просто умножим.

Проведя те же действия для еще двух пятерок, получим произведение чисел, делящееся на Остальные чисел разобьем на пары подряд идущих, если оба числа в паре нечетны, то сложим их, поставим вокруг них скобки и знак умножения перед скобками. Если же хотя бы одно число четно, то перед обоими числами поставим знак умножения. В итоге каждая пара добавит в произведение хотя бы одну двойку, и за четыре пары мы получим четыре двойки. Таким образом, мы получим делимость на

Пусть - объемы малины в одном литре (процентное содержание) растворов в первой, второй и третьей бочках соответственно. Заметим, что . Планы Незнайки означают

Далее из системы, умножая первое уравнение на 5, и вычитая из полученного второе, получаем

Способ 1. Каждый рыбак поймал карасей и щук вместе столько же, сколько всего щук поймано. Суммируя уловы всех рыбаков, получим, что общий улов всех рыбаков (в количестве рыб) равен общему количеству пойманных щук, умноженному на количество рыбаков. С другой стороны, карасей в 10 раз больше, чем щук, поэтому общей улов по числу рыб в 11 раз больше числа щук. Значит, всего рыбаков

Способ 2. Пусть всего рыбаков , и -й рыбак поймал щук и карасей . Тогда для всех . Просуммируем по все эти равенства, получим

Пусть было избирателей, и за данного кандидата отдано голосов. Тогда

и

Если обозначить , то

a) Если , то

Целых решений нет.

б) Если , то

Но если и , то соответствующего значения не существует.

в) Если , то

Значит, и , и все неравенства выполняются.

Пусть отличников до контрольной было человек, а хорошистов — человек. После контрольной отличниками остались человек, а хорошистов стало человек. Так как по условию их стало поровну, полученные числа равны, а значит Отсюда делится на то есть Тогда из этого же равенства Поэтому учащихся в школе Если то учащихся получится больше Значит, и в школе учится человек.