Алгебраические текстовые задачи

Пусть количество стертых пар равно а количество стертых троек равно Можно составить систему уравнений: Решая эту систему, получаем

Назовем велосипедистов и со скоростями и соответственно. и могут встречаться только в одной точке и в точке и в точке которые являются серединами сторон большого треугольника. Пусть и встретятся в точке Пусть после этого доедет до точки тогда за это же время доедет до точки В этот момент должен находиться в иначе он с первым никогда не встретится. Но тогда и никогда не встретятся, так как пока делает один круг, делает полтора круга.

Том красил часа минуты, то есть часа. Пусть время совместной работы будет часов. Так как скорость работы Тома а Гека от всей работы в час, то можно написать следующее уравнение:

откуда получается, что Итак, Гек перестал красить в часов минут.

Пусть у Ани было орехов. Тогда стало а у Бори прибавилось. Так как у него число орехов восстановилось, то убыло тоже : орех он съел, значит, отдал. Но тогда и осталось У Ани тоже восстановилось, а убыло значит, и Вася ей дал Итого, у Васи после Бориного деления было орехов. Всего в этот момент орехов было откуда Поэтому вначале у Ани, Бори и Васи было соответственно и орехов. Нетрудно, проверить, что все сходится.

Пусть сломанные часы будут идти в два раза медленнее. При этом количество искомых моментов за одни сутки станет в два раза меньше. Скорость часовой стрелки сломанных часов будет совпадать с часовой стрелкой обычных часов. Минутная же стрелка будет идти в четыре раза медленнее. Тогда искомые моменты это моменты, когда эти минутные стрелки совпадают. За сутки обычная минутная стрелка делает полных оборота, а сломанная — в четыре раза меньше, т. е. оборотов. За сутки обычная минутная стрелка сделает на оборотов больше, поэтому они будут совпадать раз. Тогда искомый ответ

Обозначим количество шестиклассников через Тогда семиклассников а пятиклассников Посчитаем, для каждого класса разница между количеством подаренных подарков и полученных. Так как шестиклассники подарили на один подарок больше, чем получили, а всего их то они получили в сумме на подарков больше, чем подарили. Так как семиклассники подарили на два подарка больше, чем получили, а всего их то они получили в сумме на подарков больше, чем получили. Так как пятиклассники подарили на пять подарков меньше, чем получили, а всего их то пятиклассники получили на подарков больше, чем подарили. При этом подарки дети дарили только друг другу, значит, суммарное количество подаренных подарков равно суммарному количеству полученных. Таким образом, откуда Значит, семиклассников

Мама получила столько же цветочков, сколько принесли вместе Иван и Петр. Это значит, что Дмитрий подарил маме столько же цветочков, сколько Иван и Петр вместе подарили тете. Отсюда следует, что Иван подарил тете цветочков.

Всего в году или дней, что составляет полных недели и еще или дня. Так как за неделю Винни съедает кг меда, то за полных недели Винни съел килограмма меда. Значит, еще за один или два дня он должен съесть кг меда. Такое возможно, только если остался один день, в который Винни съел кг меда. Значит, этим «лишним» днем было воскресенье, и именно воскресеньем и закончился этот невисокосный год. Тогда первым днем нового года будет понедельник.

Пусть от B до C поезд шел часов. Тогда на весь путь от A до D он потратил часов. Поэтому минимальное время достигается при максимальном Поскольку от A до B поезд шёл не меньше часа, то Вариант возможен, если от A до B поезд шёл со скоростью км/ч, а от B до C — со скоростью км/ч, и от C до D — со скоростью км/ч. Отсюда — ответ.

Допустим, что в один день со сканером продано мониторов и принтеров. Тогда в другой день было продано и мониторов и принтеров соответственно. Если — цена принтера, учитывая, что принтер на дороже сканера то цена равна сканера а цена монитора равна а из условия задачи следует, что

Число может принимать одно из трех значений: или Рассмотрим по очереди каждое из них.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть тогда

Так как следовательно,

Единственное целое число которое удовлетворяет этому неравенству, равно

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

В случае

Так как то

Очевидно, что никакое целое число при не удовлетворяет получившемуся неравенству.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

При получим

Так как то

Т.е. при неравенство не выполняется ни при каких целых

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Таким образом, описанная в условии задачи ситуация может осуществиться только при Значит, в один день со сканером продано принтеров и ни одного монитора.

Пусть — объём всего добытого газа. Тогда — объёмы добытого газа каждой из компаний “Новатэк”, “Роснефть”, “ЛУКОЙЛ” и “Газпром нефть” соответственно. Тогда

Соответственно

Обозначим скорость Карима в км/ч через тогда первоначальная скорость Алины равна Скорость, с которой Алина обгоняет Карима, равна а после увеличения скорости Чтобы обогнать Карима один раз, Алине нужно пробежать ровно на один круг больше. Тогда длина одного круга равна откуда км/ч, а длина круга равна  км.

Объём коробки равен кубических сантиметров. Из разложения легко видеть, что подойдут стороны для которых площадь равна см Докажем, что длины именно такие. Одна из них кратна но меньше то есть должна быть равна аналогично вторая равна а третья неизбежно равна

Пусть брюки без скидки стоят рублей, а рубашка без скидки стоит рублей. Тогда Пётр заплатил за покупку рублей, а Иван, купивший всё без скидки, заплатил рублей. Запишем уравнением то, что Иван заплатил в полотора раза больше и получим: . Это равносильно уравению , что в свою очередь есть . Умножив обе части на получаем, что и рубашка должна быть в два раза дороже, чем брюки.

Также в качестве ответа подойдёт предъявление конкретных стоимостей рубашки и брюк, например и рублей, с обоснованием того, что при таких ценах условию задачи будет выполнено — Пётр заплатит рублей, а Иван — рублей.

Добавляя по 3 бряки и мряки, мы увеличиваем разницу в стоимости между мряками и бряками на 21 рубль. Значит, одна мряка дороже одной бряки на 7 рублей. Тогда семь мряк дороже девяти бряк на рублей.

Пусть изначально на доске было чисел, тогда их сумма была равна , получаем систему

Откуда имеем единственное решение .

Пусть человек изучают английский язык, – немецкий язык, а – оба языка. Тогда Известно, что и

Следовательно,

Тогда наибольшее а достигается при

Пусть сторона квадрата равна .

При минимальной длине прямоугольника и максимальной площади поля мы находим максимальное :

При максимальной длине прямоугольника и минимальной площади поля мы находим минимальное :

Размеры должны составлять целое число метров, поэтому с учётом получаем

При стороне площадь равна , при стороне площадь равна

Если Петя выберет числа то, как бы ни разбивал эти числа Вася, в паре с числом будет число Их произведение будет равно а остальные будут не больше него. Тогда на доске окажется число

Покажем, как Васе для любых Петиных чисел получить на доске число, не большее Перенумеруем числа в порядке невозрастания: Разобьём числа на пары следующим образом: в паре с Тогда произведениями чисел в парах будут

Покажем, что при Действительно, из неравенств следует, что поэтому

Аналогично из неравенств следует, что

Поэтому

где Поскольку по неравенству о средних для двух чисел получаем неравенство Осталось доказать, что при Это неравенство можно переписать в виде и обе скобки в последней формуле неотрицательны.

Осталось доказать, что Поскольку имеем

и, аналогично,

Следовательно,

Мы докажем, что существуют даже числа удовлетворяющие следующим (более сильным) условиям:

(1) при всех

(2)

(3) отношение любых двух из чисел является степенью двойки (с целым показателем).

Заметим, что доказываемое утверждение не изменится, если какое-то из чисел (а с ним и соответствующее ) умножить на некоторую степень двойки. Умножим каждое из чисел на степень двойки так, чтобы все полученные числа лежали в промежутке

Не умаляя общности можно считать, что Покажем теперь, что одна из следующих последовательностей удовлетворяет всем трём условиям:

Поскольку для любых и выполнено неравенство каждая из последовательностей удовлетворяет Кроме того, каждая из последовательностей, очевидно, удовлетворяет Осталось показать, что хотя бы одна из них удовлетворяет Для этого заметим, что произведение всех чисел во всех последовательностях равно

Следовательно, произведение чисел хотя бы в одной из последовательностей не превосходит что и требовалось.