Тема АЛГЕБРА

Алгебраические текстовые задачи

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Алгебраические текстовые задачи

Различные подсчеты без составления уравнения

Составление уравнений

Задачи на проценты

Задачи на дроби

Задачи на работу

Задачи на движение: алгебраический подход

Среднее арифметическое в текстовых задачах

Среднее геометрическое и гармоническое в текстовых задачах

Задачи с неравенствами

Конструктивы в алгебре

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 361#38886Максимум баллов за задание: 7

За лето однокомнатная квартира подорожала на $21%$ , двухкомнатная — на $11%$ , а суммарная стоимость квартир — на $15%$ . Во сколько раз однокомнатная квартира дешевле двухкомнатной? Если это количество нецелое, отделяйте дробную часть запятой.

Источники: Школьный этап - 2016, Москва, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пускай однокомнатная квартира стоит a рублей, а двухкомнатная стоит b рублей. Как записывается условие задачи?

Подсказка 2

1,21a+1,11b=1,15(a+b). Что получится после приведения подобных слагаемых?

Подсказка 3

0,06a=0,04b. Умножив обе части на 100, получим, что 6a=4b. Посчитайте отношение b/a и радуйтесь!

Показать ответ и решение

Пусть однокомнатная квартира стоила $a$ рублей, а двухкомнатная — $b$ рублей. Тогда условие задачи можно записать как: $1,21a +1,11b =1,15(a+ b)$ . Приведя подобные слагаемые получаем, что $0,06a= 0,04b$ или же: $1,5a =b$ . Это означает, что однокомнатная квартира в $1,5$ раза дешевле.

Ответ: 1,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 362#40729Максимум баллов за задание: 7

В контейнер упакованы комплектующие изделия трех типов. Стоимость и вес одного изделия составляют $400$ тыс. руб. и $12$ кг для первого типа, $500$ тыс. руб. и $16$ кг для второго типа, $600$ тыс. руб. и $15$ кг для третьего типа. Общий вес комплектующих равен $326$ кг. Определить минимальную и максимальную возможную суммарную стоимость находящихся в контейнере изделий.

Источники: Муницип - 2016, 11 класс

Показать ответ и решение

Первый тип стоит $100 3$ тыс. руб. за кг, второй тип стоит $125- 4$ тыс. руб. за кг, третий тип стоит $40$ тыс. руб. за кг. Значит, если мы хотим максимизировать сумму, то последних должно быть как можно больше. Пусть при этом $a$ деталей первого типа, $b$ — второго типа и $c$ — третьего. Тогда имеем $12a +16b+ 15c= 326$ . Отсюда $b≡3 12a +16b+15c= 326≡3 2$ . Значит, $b≥ 2.$

Если $b= 2,$ то $12a+ 15c=294.$ Отсюда $2a≡5 4$ , и значит, $a≥ 2$ . Так как изделия третьего типа самые выгодные, то их должно быть как можно больше. Тогда сумма получится $2 ⋅400+ 2⋅500 +18⋅600= 12600$

Если $b≥5$ , то есть хотя бы $5$ изделия второго типа, а стоимость каждого оставшегося килограмма не больше $40$ , поэтому общая сумма не больше, чем $5⋅500+(325− 5 ⋅16)⋅40= 12300$ . Значит, максимальная сумма равна $12600.$

Теперь найдем минимальную сумму. В ней должно быть как можно больше изделий второго типа.

$3c≡4 2$ , поэтому $c≡4 2$ .

Если $c= 2$ , то $12a+ 16b=296$ . Отсюда $3a+ 4b=74$ и $3a≡4 2$ . Значит, $a≥ 2$ . Так как изделия второго типа самые невыгодные, значит их должно быть как можно больше. Отсюда минимальная сумма при $c =2$ равна $2⋅400+ 17⋅500 +2⋅600= 10500$ .

Если $c≥ 6$ , то каждый оставшийся килограмм стоит хотя бы $1245-$ , а минимальная сумма в этом случае равна $6⋅600+ 1254 (326 − 6⋅15)= 10975$ .

Ответ:

$10500$ тыс. руб. и $12600$ тыс. руб.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 363#44156Максимум баллов за задание: 7

Два мальчика в течение нескольких часов ходили кругами вокруг здания, оба по часовой стрелке, каждый с постоянной скоростью. Более быстрый проходил один круг за $5$ минут, более медленный — за некоторое целое число минут. При этом время между встречами тоже равнялось некоторому целому числу минут, причём оно было не меньше $12$ . За какое время более медленный мальчик проходил полный круг?

Источники: ПВГ-2016, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Воспользуемся частой идеей про задачи на круговое движение - выразим скорость их сближения через разность скоростей. Для этого нам понадобится время встречи, а еще время обхода круга каждым из них. Одно из них мы знаем, оставшиеся два неизвестных можем обозначить за t и t'.

Подсказка 2!

2) Итак, мы получим уравнение S/t = S/5 - S/t'. Заметим, что так как t' - целое, мы могли бы найти все подходящие t'!

Подсказка 3!

3) Для этого нужно сократить на S и получить несколько вариантов для t'. Останется только их разобрать!

Показать ответ и решение

Время между их встречами равно $t≥ 12$ , а время обхода круга для второго $t > 5 1$ . Запишем скорость сближения через разность их скоростей ( $S$ — длина круга)

S S S t-= 5 − t1 =⇒ 5t1 = (t1− 5)⋅t

Заметим, что $Н ОД(t1,t1− 5)∈{1,5}$ , потому $t1− 5∈{1,5,25}$ , чтобы $5t1$ было ему кратно. Если $t1− 5= 1,t1 = 6$ , то имеем $t= 30$ . Иначе $t1 ≥10$ . В этом случае первый хотя бы в два раза быстрее и время между встречами будет не более $10$ минут, поскольку за это время первый пройдёт два круга, а второй не более одного. Отсюда наш ответ единственный возможный.

Ответ:

$6$ минут

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 364#44157Максимум баллов за задание: 7

Для бригады маляров-учеников была запланирована окраска $360$ кв.м. стен. Перед началом работы один из учеников заболел, и вместо него работал мастер, производительность которого в $3$ раза больше производительности каждого из учеников. Поэтому каждый из учеников в действительности покрасил на $6$ кв.м. меньше, чем планировалось. Все ученики и мастер работали одинаковое время. Сколько учеников работало?

Источники: ПВГ 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Давайте посмотрим, если всего учеников x, а покрасить надо было 360, то каждый должен был покрасить по 360/x, а покрасил 360/x - 6.

Подсказка 2!

2) Как бы нам записать, сколько покрасил мастер? Так как его производительность была в три раза больше, давайте считать, что добавление мастера это то же самое, что добавить трех учеников вместо одного! Попробуйте в таком случае записать уравнение на то, сколько в итоге было покрашено детьми и мастером!

Показать ответ и решение

Мастер работает в три раза быстрее, поэтому в суммарной производительности его можно считать за троих учеников.

Если всего учеников изначально было $n$ , то каждый планировал покрасить $360- n$ , а по факту покрасил $360 n − 6$ . Мастер красил вместе с ними как три ученика, а ещё один ученик заболел, поэтому суммарно они покрасили $(360 ) (n+ 3− 1)⋅ n − 6 =360$ . Осталось решить полученное уравнение

(60 ) (n+ 2) n-− 1 = 60

60+ 120− 2− n= 60 n

n2+ 2n− 120= 0

n =10

Изначально было $n =10$ учеников, но так как один заболел, то всего работало $9$ .

Ответ:

$9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 365#66352Максимум баллов за задание: 7

В школе учатся $1200$ школьников, у каждого из которых каждый день по пять уроков. Любой учитель этой школы проводит в день $4$ урока. Сколько учителей работает в школе, если в каждом классе ровно $30$ учеников?

Источники: Миссия выполнима - 2016, 9.3 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посчитаем количество классов в школе, чтобы понять, сколько всего нужно провести уроков.

Подсказка 2

А теперь обозначьте за x количество учителей и составьте уравнение.

Показать ответ и решение

Пусть учителей $x,$ тогда они могут провести $4x$ уроков в день. Школьникам же требуется $1200⋅5= 200 30$ уроков, где первое число означает число классов, которым нужно проводить уроки. Отсюда $200 =4x ⇐ ⇒ x =50.$

Ответ:

$50$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 366#73703Максимум баллов за задание: 7

Дана бесконечно возрастающая арифметическая прогрессия. Первые её несколько членов сложили и сумму объявили первым членом новой последовательности, затем сложили следующие несколько членов исходной прогрессии и сумму объявили вторым членом новой последовательности, и так далее. Могла ли новая последовательность оказаться геометрической прогрессией?

Подсказки к задаче

Подсказка

Попробуем разбить натуральные числа по степеням какого-то небольшого натурального числа. Как тогда будут выглядеть суммы подряд идущих чисел?

Показать ответ и решение

Пример 1

1 n 1 n+1 n 1,2 +3+ 4,5+...+13,...,2(3 + 1)+...+ 2(3 − 1),...= 1,9,81,...,9

Пример 2

3,5+ 7,...,(2n+ 1)+...+ (2n+1 − 1),...=3,12,...,3⋅4n−1,...

Ответ:

Могла

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 367#74604Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике отметили шесть ячеек: в вершинах и в серединах сторон. Шесть последовательных натуральных чисел от 10 до 15 вписаны в эти ячейки таким образом, что суммы трех чисел на каждой из сторон равны. Какое максимальное значение может принимать эта сумма?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте предположим, что сумма на каждой стороне равна S. Запишите уравнения с этими суммами и сложите их все) Что можно заметить?

Подсказка 2

С одной стороны будет сумма всех ячеек + сумма всех вершин треугольника (т.к. они в двух суммах участвовали каждая), а с другой - 3S. Попробуйте с помощью этого оценить S, ведь мы точно знаем сумму всех чисел)

Подсказка 3

Да, S ≤ 25 + (15+14+13)/3 = 39! Осталось привести пример)

Показать ответ и решение

Пусть $a,b,c,d,e,f$ — указанные числа, записанные в порядке их следования в кругах при обходе по часовой стрелке и числа a, c, e располагаются в вершинах треугольника. Если $S$ — рассматриваемая сумма, то имеем:

( |{ a+ b+ c=S, |( c+ d+ e=S, e+ f + a= S.

Складывая все уравнения системы, получаем: $(a+ b+ c+d +e+ f)+ a+c+ e= 3S,$ где $a+ b+c+ d+ e+f = 75,$ то есть:

a+-c+e- 75+ a+ c+e =3S ⇔ S = 25+ 3 .

Следовательно, число $S$ не может быть больше числа $15+14+13 25+ 3 = 39.$

Приведем пример, когда $39$ достигается.

$PIC$

Ответ: 39

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 368#83946Максимум баллов за задание: 7

Том Сойер, Сид Сойер и Гек Финн красили забор. Вначале Том красил один в течение времени, за которое Сид и Гек, работая вместе, могли бы покрасить половину забора. Затем красил один Сид в течение времени, за которое Том и Гек, работая вместе, могли бы покрасить $5 4$ всего забора. Потом красил один Гек в течение времени, за которое Том и Сид работая вместе, могли бы покрасить четверть всего забора. В результате забор был покрашен. Во сколько раз быстрее они окончили бы работу, если бы с самого начала все время работали вместе? (Предполагается, что скорость работы каждого мальчика постоянна.)

Показать ответ и решение

Обозначим через 1 всю работу по окраске забора, через $x,y$ и $z$ производительность Тома, Сида и Гека соответственно, а через $t,t ,t 1 2 3$ — промежутки времени, в которых Том, Сид и Гек соответственно работали по одному. Тогда, по условию,

1 5 1 (y+ z)t1 = 2, (x+ z)t2 = 4, (x+ y)t3 = 4, xt1+ yt2+ zt3 =1.

При этом найти нужно

t +t +t 1--12--3-=(x+ y+ z)(t1+t2+ t3)= x+y+z

1 5 1 xt1+ (y+ z)t1+yt2+ (x+ z)t2+ zt3+ (x+ y)t3 = 1+ 2 + 4 + 4 =3

Ответ: в 3 раза

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 369#94457Максимум баллов за задание: 7

На доске написаны десять чисел (среди которых могут быть равные) таких, что среднее арифметическое любых трёх из этих чисел тоже написано на доске. Доказать, что все эти числа равны между собой.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, среднее арифметическое любых трёх чисел тоже записано на доске, довольно сильное заявление. А можем ли мы выбрать 3 числа так, чтобы точно определить, какое из чисел будет их средним арифметическим?

Подсказка 2

Можно упорядочить все числа - допустим это a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a₁₀, и выбрать 3 числа, идущие подряд - где тогда должно быть их среднее арифметическое?

Подсказка 3

Конечно, это число, стоящее посередине! А значит, можно записать много уравнений и поработать с ними, или присмотреться ещё к написанному равенству: если привести подобные слагаемые, что можно сказать об этих трёх числах, что они образуют?

Подсказка 4

Арифметическую прогрессию! А что будет с числом справа или слева от тройки, будет ли оно в той же прогрессии? Тогда какой вид имеют все числа на доске? Точно ли все средние арифметические записаны?

Подсказка 5

Получили, что все числа имеют вид a₁ + n ⋅ d, где d - разность прогрессии. Попробуйте теперь рассмотреть тройку не подряд идущих чисел - записано ли её среднее арифметическое на доске?

Показать доказательство

Предположим противное. Упорядочим данные числа и обозначим их за $a ,a,a ,...,a , 1 2 3 10$ что $a ≤a ≤ a ≤ ...≤ a . 1 2 3 10$ Заметим, что если мы рассматриваем тройку вида $ai,ai+1,ai+2,$ то в силу соображения, что среднее арифметическое чисел лежит между их минимумом и максимумом, среднее арифметическое данной тройки будет равно $ai+1.$

Рассмотрим сначала тройку $a1,a2,a3 :$

a1+ a2+a3 ----3---- =a2

a1 +a3 = 2a2

a1+ a3 --2---= a2

Следовательно, $a1,a2$ и $a3$ образуют арифметическую прогрессию. При этом если её разность нулевая, т.е. эти числа равны, то, рассматривая тройки вида $ai,ai+1,ai+2,$ мы получим, что все числа равны, поэтому данная прогрессия имеет ненулевую разность.

Аналогично рассмотрев тройку $a2,a3,a4,$ показываем, что эти числа тоже образуют арифметическую прогрессию. Пусть $a1,a2,a3$ и $a4$ — это арифметическая прогрессия с ненулевой положительной разностью $d,$ тогда $a2 = a1+ d$ и $a4 =a1+ 3d.$ Рассмотрим тройку $a1,a2,a4 :$

a1+a2+-a4 a1+-a1+-d+a1+-3d 3a1+-4d- 4 3 = 3 = 3 = a1+ 3d

Но такого числа нет на доске, противоречие.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 370#97447Максимум баллов за задание: 7

Егоров решил открыть накопительный вклад для покупки автомобиля стоимостью $900000$ руб. Начальная сумма вклада равна $300000$ руб. Через месяц и далее ежемесячно Егоров планирует пополнять свой вклад на $15000$ руб. Банк начисляет ежемесячно проценты по ставке $12%$ годовых. Начисленные за месяц проценты перечисляются на вклад, и в следующем месяце на них также начисляются проценты. Через какое наименьшее число месяцев на вкладе будет сумма достаточная для покупки автомобиля?

Источники: Миссия выполнима 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если банк начисляет ежемесячно проценты по ставке 12% годовых, сколько процентов в месяц будет добавляться у Егорова? Введем обозначения и посчитаем сумму в первые месяцы.

Подсказка 2

Сумма для пополнения через n месяцев будет считаться по формуле геометрической прогрессии, а для первоначальной суммы?

Подсказка 3

С первоначальной суммой еще проще — каждый месяц она домножается на 1,01. Осталось составить неравенство и найти наименьшее целое n.

Показать ответ и решение

Пусть $S n$ - сумма вклада через $n$ месяцев после начисления процентов и после внесения дополнительных взносов $D$ ( 15000 руб.). Так как в месяц банк начисляет $1%$ , то

S1 =300000(1+ 0,01)+D, S2 =S1(1+ 0,01)+ D = (S0(1+0,01)+ D)(1+ 0,01)+D = S0(1+ 0,01)2 +D (1+ (1+0,01)) S3 =S2(1+ 0,01) =(S0(1 +0,01)2+D (1 +0,01)+ D)(1+ 0,01)+ D = = S0(1+ 0,01)3+ D ((1+ 0,01)2 +(1+ 0,01)+ 1) .........................................(................... ) Sn = S0(1+ 0,01)n +D (1+ 0,01)n− 1+(1+ 0,01)n−2+ ...+ (1 +0,01)+ 1

По формуле суммы $n$ членов геометрической прогрессии получаем

1,01n− 1 1,01n − 1 (1 +0,01)n−1+(1+ 0,01)n−2+ ...+ (1+0,01)+ 1= -1,01− 1-=--0,01--

Следовательно, $Sn = S0(1+ 0,01)n +D 1,001n,0−1-1$ . Искомое число месяцев удовлетворяет неравенству

300000⋅1,01n+ 150001,01n−-1 ≥900000 ⇔ 0,01 ⇔ 3⋅1,01n+15(1,01n− 1)≥9 ⇔ ⇔ 18 ⋅1,01n ≥24⇔ 1,01n ≥ 24-⇔ n≥ 28,91 18

Таким образом, достаточная для покупки автомобиля сумма будет на вкладе через 29 месяцев.

Ответ: 29

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 371#97448Максимум баллов за задание: 7

Несколько бизнесменов решили открыть фирму и делить всю прибыль на равные части. Одного из бизнесменов назначили директором. Однажды этот директор фирмы перевел часть прибыли со счета фирмы на свой собственный счет. Эта часть денег была втрое больше, чем часть каждого из остальных, если бы они разделили остаток прибыли между собой поровну. После этого директор покинул фирму. Следующий директор фирмы, один из оставшихся бизнесменов, сразу же поступил точно также, как и предыдущий и т. д. В конце концов, предпоследний директор фирмы перевел на свой собственный счет часть прибыли, которая также была в три раза больше, чем осталось у последнего бизнесмена. В результате этих распределений доходов последний бизнесмен получил денег в $190$ раз меньше, чем первый директор фирмы. Сколько бизнесменов открыли эту фирму?

Источники: Миссия выполнима 2016

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть dᵢ — прибыль i-ого директора, а всего их было n. Мы можем выразить dᵢ через прибыль других директоров!

Подсказка 2

Теперь посмотрим на прибыль (i-1)-ого директора и подставим вместо dᵢ полученное после первой подсказки равенство. Можем ли мы выразить dᵢ₋₁/dᵢ через n и i?

Подсказка 3

Да, действительно dᵢ₋₁/dᵢ = (n - i + 3)/(n - i + 1). Отсюда выразим d₁/dₙ, а это нам известно по условию.

Показать ответ и решение

Пусть $n$ — количество бизнесменов и $d i$ — прибыль $i$ -го директора, $i=1,...,n$ . По условию $d = 3di+1+di+2+...+dn- i n− i$ . Тогда

di+1+di+2+...+dn- di−1 = 3di+di+1+...+dn-=33----n−i-----+-di+1+-...+-dn= n− i+1 n − i+ 1 = 3(n−-i+3)(n(di−+ i1)(+n−di+i2++1)...+-dn)

Таким образом,

di−1-= n−-i+3,i= 2,...,n di n− i+1

Перемножая эти равенства, получим

d1 d1 d2 dn−1 dn = d2 ⋅ d3-⋅...⋅-dn-=

= nn-+−1 1 ⋅nn−-2 ⋅...⋅ 42 ⋅ 31 = (n+21)n

По условию $dd1n = 190$ , то есть $(n+ 1)n = 380$ , откуда $n= 19$ .

Ответ: 19

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 372#97686Максимум баллов за задание: 7

Петя в три раза старше Ани, а Аня на $8$ лет младше Пети. Определите, сколько лет каждому.

В качестве ответа введите через пробел сначала возраст Ани, затем возраст Пети.

Показать ответ и решение

Возраст Пети в три раза больше возраста Ани. Это значит, что разница возрастов Пети и Ани составляет два возраста Ани, а по условию эта разница равна восьми годам. Значит, возраст Ани в два раза меньше: $8:2= 4$ года. Петя в три раза старше, значит, ему $3⋅4= 12$ лет.

Ответ: 4 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 373#31504Максимум баллов за задание: 7

В прошлом году Миша купил смартфон, который стоил целое четырёхзначное число рублей. Зайдя в магазин в этом году, он заметил, что цена смартфона выросла на $20%$ и при этом состоит из тех же цифр, но в обратном порядке. Какую сумму Миша потратил на смартфон?

Источники: ММО-2015, 11.2, автор - М.А.Евдокимов. (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначьте первоначальную стоимость смартфона переменной и попробуйте порассуждать о делимости. Числа а и 1.2а — целые, что можно о них сказать?

Подсказка 2

Попробуйте дальше порассуждать о числах, которые задают стоимость смартфона: какой может быть последняя цифра такого числа? А в каких пределах лежит эта цена?

Подсказка 3

Внимательные рассуждения по первым двум пунктам должны были помочь вам установить первую и последнюю цифру нашей цены. Самое время записать наши цены в десятичной форме!Помните, их разность тоже должна быть целой — может быть и её выразим?

Подсказка 4

Теперь мы можем сделать вывод о двух оставшихся числах и их делимости на 9. Остался лишь небольшой перебор и задача решена!

Показать ответ и решение

Пусть изначальная сумма была равна $a$ . Значит число $1.2a$ и $0.2a$ целое. Отсюда $a= 0.2a⋅5$ делится на 5. Если последняя цифра числа $a$ равна 0, то число $1.2a$ не более чем трехзначное?! Значит, последняя цифра $a$ равно 5. Тогда $6000> 1.2a≥ 5000$ и $5000> a> 4000$ и поэтому первая цифра $a$ равна 4.

Если $a= 4000+ 100a2+ 10a3 +5$ , то $1,2a =5000+100a3+ 10a2+ 4$ и $0,2a= 999+ 90a2− 90a3 = 999 +90(a2− a3)$ . Раз $a= 0.2a⋅5$ , то оно делится на 9. Сумма первой и последней цифры делится на 9. Значит, нам нужно перебрать все целые четырехзначные числа с первой цифрой 4, последней 5 и делящиеся на 9. Значит, они должны давать остаток 45 при делении на 90. Значит, нам нужно постепенно увеличивать на 90 число 4095.

$a =4095$ . Тогда $1.2a= 4914$ ?!
$a =4185$ . Тогда $1.2a= 5022$ ?!
$a =4275$ . Тогда $1.2a= 5130$ ?!

Заметим, что когда $a$ увеличивается на 90, то $1.2a$ увеличивается на 108. При этом мы хотим, чтобы у числа $1.2a$ последняя цифра была 4. Значит, нам на самом деле нужно число 4095 увеличивать на 450 (чтобы последняя цифра у $1.2a$ оставалась 4).

$a =4095$ . Тогда $1.2a= 4914$ ?!
$a =4545$ . Тогда $1.2a= 5454$ и этот вариант подходит.
$a =4995$ . Тогда $1.2a= 5994$ и этот вариант подходит.

Ответ:

$4545$ или $4995$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 374#41297Максимум баллов за задание: 7

Ученику дано число $x:$ это обыкновенная дробь со знаменателем $9.$ Ученик вычислил три новых числа $2x,4x$ и $5x,$ каждое из этих трёх чисел округлил до ближайшего целого и результаты округлений сложил. Получилось $120.$ Найдите $x.$ (Число округляется в меньшую сторону, если его дробная часть меньше $1∕2,$ и в большую, если дробная часть больше либо равна $1∕2.)$

Источники: Курчатов-2015, 11.1 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте сначала понять между какими двумя целыми числами заключен х. Для этого решите уравнение без округления.

Подсказка 2

Вы получили, что 10<x<11. То есть нам осталось перебрать 8 вариантов. При этом если подставить 11 вместо х, то получится значение более близкое к тому, что нам требуется , чем если подставить 10. Что это может значить?

Подсказка 3

Это значит, что искомая дробь ближе к 11 чем к 10. Значит перебор надо начинать сверху(при этом, если мы уже получили решение, не значит, что дальше по перебору не будет еще одного). Осталось перебрать и получить ответ.

Показать ответ и решение

Давайте число $a$ после округления обозначать $R (a).$ Будем пользоваться тем, что если $a≤ b,$ то и $R(a)≤ R(b).$

Докажем, что

7 109 <x <11.

Пусть $S = R(2x)+ R(4x)+R(5x).$

Если $7 x≤ 10 9,$ то

( 5) ( 1) ( 8) S ≤ R 219 + R 439 +R 539 =22+ 43+54 =119< 120

Если $x≥ 11,$ то

S ≥R (22)+R (44)+R (55)= 121 >120

В указанном интервале есть только одно число со знаменателем $9$ — это $1089.$ Оно подходит:

( ) ( ) ( ) S = R 217 + R 435 + R 544 = 22 +44+ 54= 120 9 9 9

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Более естественно другое решение: показать, что $10< x< 11,$ а дальше просто перебрать все числа со знаменателем $9$ между ними. Если всё сделано верно, то это тоже полное решение.

Ответ:

$98 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 375#42929Максимум баллов за задание: 7

Петя купил одно пирожное, два кекса и три бублика, Аня купила три пирожных и бублик, а Коля купил шесть кексов. Все они заплатили за покупки одинаковые суммы денег. Лена купила два пирожных и два бублика. А сколько кексов она могла бы купить на ту же потраченную ей сумму?

Источники: Муницип - 2015, Москва, 7.3

Показать ответ и решение

Пусть пирожное, кекс и бублик стоят $a,b$ и $c$ соответственно. Тогда $a+2b+ 3c= 3a +c= 6b$ , а Лена потратила $2a+ 2c$ . Заметим, что

4(a+ c)+2b= (a+2b+ 3c)+ (3a +c)= 6b+6b= 12b =⇒ 2(a +c)= 5b

Откуда следует, что Лена могла бы купить $5$ кексов за те же деньги.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 376#44155Максимум баллов за задание: 7

Из пунктов $A$ и $B$ навстречу друг другу выехали одновременно два автобуса, которые встретились $2$ февраля в $12:00.$ Найдите дату и время начала движения автобусов, если их скорости на всём пути постоянные, и один из них прибыл $3$ февраля в $04:00$ в пункт $B$ , а другой прибыл $3$ февраля в $13 :00$ в пункт $A$ .

Источники: ПВГ-2015, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Задачи с датами и временем часто пытаются запутать, давайте попробуем достать из условия то, что мы знаем. После встречи один из автобусов ехал 16 часов, а второй - 25. А время, которое они ехали до встречи мы не знаем, но оно одинаковое! Попробуйте составить уравнение.

Подсказка 2!

2) Верно, мы можем сказать, что 16/t = t/25. (так как каждый из автобусов либо от А до встречи либо от В до стречи проехал за t, а оставшуюся часть за 16 или 25).

Показать ответ и решение

Первый после встречи ехал ещё $16$ часов, а второй — $25$ . Пусть до встречи они ехали $t$ часов, тогда $25= -t t 16$ , как отношение их скоростей (для каждого из двух участков, время езды каждого по которым мы знаем), отсюда $t= 20$ часам и выехали автобусы $1$ февраля в $16:00.$

Ответ:

$1$ февраля, $16:00$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 377#44158Максимум баллов за задание: 7

Для перевозки $60$ тонн песка автомобилю потребовалось сделать некоторое количество рейсов, а для перевозки $120$ тонн песка оказалось необходимо на $5$ рейсов больше. На всех рейсах, кроме, может быть, последнего в каждой из этих двух перевозок, автомобиль загружается полностью. Определите все возможные значения грузоподъёмности этого автомобиля (то есть наибольшей массы груза, которую автомобиль может перевезти за один раз).

Источники: ПВГ-2015, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Начнем составлять уравнение! Пусть у нас грузоподъемность это t, а рейсов в первом случае (перевозка 60 тонн) будет k. Запишите тогда, что мы исходя из этого можем понять про t и k?

Подсказка 2!

2) Вот что: t(k-1) < 60 <= t(k), так как у нас не хватило k-1 рейса, а k рейсов хватило! Попробуйте теперь записать аналогичное условие для второго случая перевозки 120 тонн.

Подсказка 3!

3) Теперь давайте разделим оба уравнения на t! И попробуем понять, каким может быть в таком случае).

Показать ответ и решение

Пусть грузоподъёмность равна $t$ (тонн/рейсов), а для перевозки $60$ тонн понадобилось сделать $k$ рейсов, тогда в тоннах имеем

{ t(k − 1)< 60≤ tk { 2(k− 1) <2⋅ 60 ≤2k ⇐⇒ 120 t t(k +4)< 120 ≤t(k+5) k +4 < t ≤ k+ 5

Отсюда также выполнены неравенства

{ 2(k− 1)< 120≤ k+5 { 2(k− 1)<k +5 k+ 4< 120t≤ 2k =⇒ k +4 <2k ⇐ ⇒ 4 <k <7 t

При $k= 5$

{ 4t<60≤ 5t [ 40) 9t<120≤ 10t ⇐ ⇒ t∈ 12, 3

При $k= 6$

{ [ ) 5t< 60 ≤6t ⇐ ⇒ t∈ 120,12 10t<120≤ 11t 11

Ответ:

$[120;40) 11 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 378#68088Максимум баллов за задание: 7

В контейнере находятся изделия нескольких типов из пяти возможных: весом 1 кг, 2 кг, 3 кг, 5 кг и 10 кг. Суммарный вес изделий в контейнере равен 100 кг. Известно, что если выбрать из контейнера по одному изделию каждого из имеющихся в нём типов, то их суммарный вес будет равен 15 кг. Количество самых тяжёлых из находящихся в контейнере изделий на 5 больше, чем количество всех остальных изделий в нём. Определите, какие типы изделий и в каком количестве находятся в контейнере.

Источники: ПВГ-2015, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такс, давайте подумаем про второе условие, а именно, что суммарный вес различных изделий равен 15! А какое условие должно выполняться, чтобы при сложении некоторых из чисел 1, 2, 3, 5, 10 получить 15?

Подсказка 2

Верно, 10 точно есть в нашей сумме! Иначе сумма будет не больше чем 11. Если одно из чисел равно 10, то чему могут равняться другие в нашем наборе?

Подсказка 3

Да, это либо число 5, либо числа 2 и 3! Но может ли выполняться первое условие, что сумма всех наших чисел равна 100, если числа в наборе только 10 и 5? А если 2, 3, и 10?

Подсказка 4

Поскольку десяток на 5 больше, чем других чисел в наборе, то можно явно составить уравнения. Для первого случая: 5x + 10(x+5) = 100; для второго случая: 2x + 3y + 10(x+y+5)=100. Могут ли оба случая выполняться?

Подсказка 5

Первый случай выполняться не может в силу натуральности x, а второй случай может выполняться, нужно лишь найти нужные x и y, а также показать, что других нет!

Показать ответ и решение

Набор по одному изделию каждого вида общим весом $15$ кг можно составить из этих предметов только двумя способами:

10 кг и 5 кг. Пусть $x$ — количество изделий массой 5 кг, по условию самых тяжелых изделий (массой 10 кг) — на 5 штук больше, т.е. $x +5$ . Получим:
$5x+ 10(x +5)= 100$
$15x= 50$ — не имеет целочисленных решений. Значит этот случай невозможен.
10 кг, 2 кг и 3 кг. Пусть $x$ — количество изделий массой 2 кг, $y$ — количество изделий массой 3 кг. Тогда по условию $x +y+ 5$ — количество изделий массой 10 кг. Получим:
$10(x+y +5)+ 2x +3y =100$
$12x+ 13y =50$
$13y = 50− 12x$ справа разность двух четных чисел, следовательно $y$ может быть только четным и натуральным.
При $y = 2$ имеем:
$26= 50− 12x =⇒ x= 2$ (изделий по 2 кг)
$x +y+ 5= 9$ (изделий по 10 кг).
При $y = 4,6,8$ и т.д. получается $13y >50$ , т.е. решение $y = 2$ — единственное.

Ответ:

$2$ изделия по $2$ кг, $2$ изделия по $3$ кг, $9$ изделий по $10$ кг

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 379#70351Максимум баллов за задание: 7

Набор разновесов содержит по одной гире каждого из весов $1,3,5,7,9...$ граммов. Для натурального $n> 1$ докажите, что количество способов набрать этими гирями $n$ граммов не больше, чем количество способов набрать $n+ 1$ грамм.

Источники: СпбОШ - 2015, задача 11.3(см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так-с, давайте введём несколько переменных, зависящих от n. Пусть a(n) — количество способов собрать вес n без гири в 1 г, a b(n) — количество способов собрать вес n с гирей в 1 г.

Подсказка 2

Хмммм, что же теперь делать. Интуитивно кажется, что собрать n + 1 грамм легче, чем собрать n грамм. Попробуем это доказать строго. Для строгого обоснования данного факта нам нужна индукция.

Подсказка 3

Применив мат. индукцию, мы получили, что a(n + 1) ≥ a(n), а также b(n + 1) ≥ b(n). Кажется, остаётся просто сложить 2 получившихся неравенства!

Показать доказательство

Пусть имеется $a n$ способов выбрать $n$ граммов без использования гири в $1$ г и $b n$ способов набрать $n$ граммов с использованием гири в $1$ г.

Добавив к каждому из способов первой группы гирю в $1$ г, мы получим суммарный вес $n +1$ граммов. Значит, $bn+1 ≥an$ (способов выбрать $n$ граммов без единицы может быть равно нулю, поэтому знак больше или равно).

С другой стороны, если для каждого способа набрать $n$ граммов с использованием гири в $1$ г мы уберём эту гирю и заменим самую большую использованную гирю в этом способе на ту, которая весит на $2$ г больше, снова получится суммарный вес $n+ 1$ граммов.

Следовательно, $an+1 ≥bn$ (при нечётном $n$ появляется ещё один способ взять гири вне этого алгоритма, поэтому знак больше или равно).

Сложив полученные два неравенства, имеем требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 380#77210Максимум баллов за задание: 7

В зоопарк прибыли несколько пар особей, у каждой из которых от 1 до 10 детёнышей. Ветеринар выбирал одного детёныша, одну самку и самца из трёх разных семей и проводил осмотр. У него было 3630 способов выбрать нужную тройку животных. Сколько всего детёнышей могло прибыть в зоопарк?

Источники: Всеросс., 2015, РЭ, 11.2(см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Пусть в зоопарк было $p$ пар особей и $d$ детёнышей. Тогда каждый детёныш состоял в $(p − 1)(p− 2)$ тройках: самку можно было выбрать из одной из $p − 1$ пар особей, а после её выбора самца можно было выбрать из одной $p− 2$ оставшихся пар. Значит, общее количество троек равно

d(p− 1)(p− 2)= 3630.

Поскольку $d≤ 10p,$ получаем $3630 ≤10p3,$ то есть $p3 ≥ 363> 73.$ Значит, $p ≥8.$

Число $3630= 2⋅3⋅5⋅112$ имеет два делителя $p− 1$ и $p− 2,$ отличающиеся на $1.$ Если один из этих делителей делится на $11,$ то другой даёт остаток $1$ или $10$ при делении на $11.$ Тогда он взаимно прост с $11,$ а значит, делит $2⋅3⋅5= 30$ и при этом не меньше $10.$ Нетрудно видеть, что этим делителем может быть только $10;$ тогда $p − 2 =10,p− 1 =11 и d= 3630 :110= 33.$