Тема АЛГЕБРА

Алгебраические текстовые задачи

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Алгебраические текстовые задачи

Различные подсчеты без составления уравнения

Составление уравнений

Задачи на проценты

Задачи на дроби

Задачи на работу

Задачи на движение: алгебраический подход

Среднее арифметическое в текстовых задачах

Среднее геометрическое и гармоническое в текстовых задачах

Задачи с неравенствами

Конструктивы в алгебре

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 381#77216Максимум баллов за задание: 7

Инвестиционная компания вложила равное количество денег в несколько проектов. При этом для каждого проекта в случае успеха вложенный капитал увеличивался на $25%$ , а в случае неудачи фирме возвращалось только четверть вложенных в проект средств. За год фирма увеличила свой капитал на 20 $%.$ Определите, во скольких случаях фирме сопутствовал успех, если средства были вложены не более чем в 25 проектов.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно перевести условие задачи на математический язык, введя несколько переменных и составив уравнения. Что лучше обозначить за неизвестные, чтобы использовать как можно меньше переменных и описать всю известную информацию?

Подсказка 2

Давайте считать, что х — деньги, вкладываемые в один проект, m — число всех проектов, a y — количество успешных проектов.

Подсказка 3

У нас есть ограничение на m, и мы можем выразить начальный капитал фирмы, а также количество денег, которое вернулось с удачных и неудачных проектов. Кроме того, нам известны итоги года, давайте сравним с ними данные значения.

Подсказка 4

В полученном уравнении мы можем сократить на x и выразить количество успешных проектов через общее количество. Но мы помним, что y, m — целые числа, не большие 25, тогда количество успешных проектов выражается однозначно!

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — деньги, вкладываемые в один проект, $m$ — число всех проектов, $1≤ m ≤25$ . Тогда начальный капитал фирмы равен $mx$ . Пусть $y$ — количество успешных проектов, тогда ( $m− y$ ) — количество неуспешных проектов. Из вложенных в неуспешные проекты $(m − y)x$ денег компании вернется

1 4(m− y)x

Из вложенных в успешные проекты $yx$ денег компании вернется

1 5 yx +4 yx = 4yx

По условию задачи, за год фирма увеличила свой капитал на $20%$ , то есть он составил

mx + 1mx = 6mx. 5 5

Получим уравнение:

1(m − y)x+ 5yx = 6mx, m − y +5y = 24m, 4y = 19m, 4 4 5 5 5 y =19m. 20

Среди чисел $1,2,...,25$ только $m =20$ удовлетворяет условию натуральности числа $y$ , поэтому $y =19$ .

Ответ: в 19 случаях

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 382#80604Максимум баллов за задание: 7

Василий выехал из пункта $A$ в пункт $B$ на велосипеде. Проехав треть пути, велосипед Василя сломался. Не теряя времени, Василий пошел пешком обратно в пункт $A$ . В момент поломки из пункта $A$ выехал мотоциклист Михаил. На каком расстоянии от пункта $A$ он встретит Василия, если расстояние между пунктами $A$ и $B$ $4$ км, скорости велосипедиста, мотоциклиста и пешехода постоянны, а Василий доберется до пункта $A$ тогда же, когда Михаил до пункта $B$ ?

Источники: ДВИ - 2015, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте построим график движения, будем рассматривать расстояние от пункта А относительно времени.

Подсказка 2

Строим графики движения обоих велосипедистов и далее вспоминаем про подобие треугольников!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Поскольку Григорий проехал втрое больше до пункта $B$ , чем Василий прошёл до $A$ , то его скорость втрое выше. Тогда на момент встречи он проехал $3 4$ расстояния между ними, откуда расстояние до пункта $A$ на момент встречи будет $1 3 3 ⋅4 ⋅4=1$ (км).

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Ломаная $AYV$ — график движения Василия, а отрезок $XU$ — график движения Михаила $UV =PT = AB =4$ .

$PIC$

Так как треугольник $XY Z$ подобен треугольнику $UV Z$ , то

XZ-= XY-= 1, ZU UV 3

а так как треугольник $XP Z$ подобен треугольнику $UT Z$ , то

PZ- XZ- 1 ZT = ZU = 3.

Значит,

UV 4 P Z =-4- =4 = 1

Ответ: 1 км

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 383#84146Максимум баллов за задание: 7

В организации работает 200 сотрудников. Для изменения административно-правового статуса организации необходимо, чтобы за это проголосовали не менее $2 3$ ее сотрудников. При первом голосовании было принято решение не менять административно-правовой статус. Через год статус организации решили поменять, поскольку число сторонников этого изменения выросло в $12 11$ раза. Сколько сторонников изменения правового статуса было изначально, если общее число сотрудников не менялось?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть х – число изначальных сторонников изменения, как мы можем оценить х с учётом того, что изначально статус компании не изменился?

Подсказка 2

Теперь сторонников стало больше, и статус компании все же поменялся. Какое неравенство мы можем составить?

Подсказка 3

Мы получили две оценки на х, остается лишь учесть, что х – целое число, и получить ответ)

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — число изначальных сторонников изменения. Тогда по условию $x< 2⋅200= 1331, 3 3$ а иначе административно-правовой статус компании изменился бы сразу. Так как $x$ — целое, то $x≤ 133.$

С другой стороны, через год стало $12 11x$ сторонников изменения, и изменение было принято. Тогда получаем неравенство

12 400 11x≥ -3-

То есть $x≥ 11090= 12229.$ Так как, $x$ — целое, то $x ≥123.$

Из условия следует, что $12x 11$ — целое, значит, $x ... 11.$ Таким образом, нужно найти число $x$ , делящееся на $11,$ которое удовлетворяет условию $123≤ x≤ 133.$ Легко видеть, что это единственное число $132.$

Ответ: 132

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 384#38883Максимум баллов за задание: 7

Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает $3$ шага, Маша делает $5$ шагов. Пока Маша делает $3$ шага, Яша делает $5$ шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали $400$ шагов. Сколько шагов сделал папа?

Источники: Школьный этап - 2014, Москва, 6.4

Показать ответ и решение

Пока Маша делает $15$ шагов, папа делает $15:5⋅3= 9$ шагов, а Яша делает $15:3 ⋅5 =25$ шагов. Вместе за это время Маша и Яша сделают $15+25 =40$ шагов. А пока они сделают $400$ шагов, папа сделает тоже в $10$ раз больше шагов, т.е. $90$ шагов.

Ответ: 90

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 385#38884Максимум баллов за задание: 7

Число $a$ на $1$ больше числа $b$ . Могут ли числа $a2$ и $b2$ быть равными? В ответ укажите “да” или “нет”.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если у чисел равны квадраты, то что мы можем сказать про сами числа?

Подсказка 2

Да, эти числа имеют равные модули! Очевидно, что числа разного знака, иначе мы просто получим два числа, из которых одно больше другого на единицу! Поэтому, надо найти такие a и b, что a-1 = -a.

Подсказка 3

Да, в таком случае a = ½, а чему тогда равно b? И правда ли, что такое решение единственное?

Показать ответ и решение

Например, подходят числа $a= 1 2$ и $b= − 1 = a− 1 2$ .

Эти числа получаются, если мы решим систему уравнений, которую можно записать из условия:

({ a= b+ 1 (a2 = b2

Квадраты двух чисел равны тогда и только тогда, когда их модули равны. Это означает, что модуль $a$ равен модулю $b$ , то есть модуль $b+ 1$ равен модулю $b$ . Это может быть только в том случае, если знаки чисел $b$ и $b+ 1$ противоположны. Это означает, что $b+ (b+1)= 0$ , откуда $b= − 12$ — единственное решение.

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 386#41593Максимум баллов за задание: 7

Папа, Маша и Яша идут в школу. Пока папа делает 3 шага, Маша делает 5 шагов. Пока Маша делает 3 шага, Яша делает 5 шагов. Маша и Яша посчитали, что вместе они сделали 400 шагов. Сколько шагов сделал папа? В ответ внесите число.

Источники: Муницип - 2014, Москва, 6.4

Показать ответ и решение

Рассмотрим отрезок пути, на котором Маша делает 3 шага, а Яша 5 шагов. Вместе они делают на таком отрезке 8 шагов. Значит, они прошли $400:8 =50$ таких отрезков. И Маша сделала $50⋅3= 150$ шагов.

Теперь рассмотрим другой отрезок, на котором уже папа делает 3 шага, а Маша – $5$ шагов. Таких отрезков было $150:5= 30$ . Отсюда легко вычислить, сколько шагов сделал папа: $30⋅3= 90$ шагов.

Ответ: 90

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 387#44154Максимум баллов за задание: 7

Общий вес рюкзаков двух туристов за время похода уменьшился на $121% 3$ . При этом вес рюкзака первого туриста уменьшился на $15%$ , а вес рюкзака второго — на $10%$ . Известно также, что в конце похода рюкзак второго туриста весил на 1,2 кг больше, чем рюкзак первого туриста в начале похода. Определите первоначальный вес рюкзаков каждого из туристов.

Источники: ПВГ-2014, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Итак, у нас очень много условий, завязанных на весах двух рюкзаков, давайте составим с ними уравнения! Обозначим веса рюкзаков за х и у...

Подсказка 2!

2) Запишем веса рюкзаков в конце похода? Это 85x/100 и 90y/100. А вот теперь попробуйте записать первое условие о том, что их суммарный вес уменьшился!

Подсказка 3!

3) Да, мы получим, что суммарный вес стал (x+y)*(300-37)/300! Таким образом мы с двух сторон подсчитали, как изменился вес двух рюкзаков суммарный. Осталось только дорешать!

Показать ответ и решение

Пусть изначально веса рюкзаков были $x,y$ для первого и второго соответственно. Тогда после уменьшения они стали $x⋅0.85,y ⋅0.9$ , откуда выполнено

300− 37 85 90 8 7 7 (x+ y)⋅-300--= 100x+ 100y ⇐⇒ x⋅300 = y⋅300 ⇐⇒ 8x= 7y ⇐ ⇒ x = 8y

Также мы знаем, что

9 6 6 7 6 10y = 5 + x= 5 + 8y ⇐ ⇒ y = 5 ⋅40= 48,x= 42

Ответ:

$42,48$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 388#48588Максимум баллов за задание: 7

Два брата родились в один день, но в разные годы. Оказалось, что в $2014$ году каждому из них исполнилось столько лет, какова сумма цифр его года рождения. Определите год рождения каждого из братьев.

Источники: ПВГ-2014, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие два основных случая стоит рассмотреть в этой задаче? Как можно свести ее к перебору, зная что-то про возраст на 2014 год? Как можно оценить возраст, если он равен сумме цифр?

Подсказка 2

Да, можно рассмотреть два случая-если человек родился в 20 веке, и если родился в 21. Что осталось неизвестным? Только последние две цифры рождения. Составьте и решите уравнение, и задача будет решена!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если какой-то из братьев родился в $---- 19xy$ году, то по условию получаем уравнение $1900+ 10x+ y+ (1 +9+ x+ y)= 2014⇔ 11x+ 2y = 104$ . Поскольку $x$ и $y−$ цифры, то решение этого уравнения единственное: $x= 8,y =8$ .

Если же кто-то из братьев родился в $---- 20xy$ году, то аналогично получаем уравнение $11x +2y = 12$ , откуда $x =0,y = 6$ .

Второе решение.

Начнём с $2000,...2013$ годов. Сопоставим год и сумму цифр вручную


Год	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013

Сумма цифр	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	3	4	5	6

Возраст к 2014	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1

И подходит только $2006$ год рождения. Рассмотрим оставшиеся

Пусть брат родился в $197∗$ или ранее в $20$ -м веке (рассматривать $19$ не имеет смысла, поскольку сумма цифр точно не больше $36$ ). Тогда сумма цифр не больше $26$ , хотя возраст к $2014$ будет больше $30$ .
Брат родился в $198∗$ . Тогда сумма цифр возрастает от $18$ до $27$ , а возраст к $2014$ убывает от $34$ до $25$ . Равенство будет в единственном $1988$ .
Брат родился в $199∗$ год. Аналогично сумма цифр растёт от $19$ до $28$ , а возраст к $2014$ убывает от $24$ до $15$ , в силу разной чётности общих точек не будет.

У нас получилось только два подходящих под описание года, значит, в них братья и родились.

Ответ:

$1988,2006$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 389#58040Максимум баллов за задание: 7

В городе $200$ жителей. Часть из них — рыцари, которые всегда говорят правду, остальные — лжецы, которые всегда лгут. Каждый горожанин живет в одном из четырех кварталов (А, Б, В и Г). Каждому задали четыре вопроса: “Вы живете в квартале А?”, “Вы живете в квартале Б?”, “Вы живете в квартале В?”, “Вы живете в квартале Г?”. На первый вопрос утвердительно ответило $105$ жителей, на второй — $45$ , на третий — $85$ и на четвёртый — $65.$ В каком квартале лжецов живет больше, чем рыцарей и на сколько?

Источники: ОММО-2014, задача 9 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем составить уравнения на количество рыцарей и лжецов в каждом квартале. Например, пусть x₁ это количество рыцарей в первом квартале, а у₁ это количество лжецов в нем. И так же сделаем для остальных кварталов. Тогда попробуйте переписать условия по количеству ответов в виде уравнений!

Подсказка 2

У нас должна получиться такие уравнения!
x₁ + y₂ +y₃ + y₄ = 105
x₂+ y₁+y₃+ y₄ = 45
x₃+ y₁+y₂+ y₄ = 85
x₄+ y₁+y₂+ y₃ = 65
Но так как у нас в каждом уравнении почти сумма всех у, попробуйте обозначить у = y₁+y₃+ y₄ + y₂. И подставим это в наши уравнения!

Подсказка 3

Теперь в каждом уравнении встречается xₐ- yₐ. А это как раз то, что нас интересует - разница между лжецами и рыцарями. Давайте сделаем еще одну замену на z₁ = x₁ - y₁ для каждого квартала.

Показать ответ и решение

Первое решение.

На четыре вопроса каждый рыцарь даёт один утвердительный ответ, а лжец — три. Всего было получено $105+ 45 +85+ 65= 300$ утвердительных ответов. Если бы все жители города были рыцарями, в сумме всех утвердительных ответов было бы 200. 100 лишних ответов «да» происходят от вранья лжецов. Таким образом, лжецов $100- 2 =50$ . Пусть в квартале Б живет $k$ рыцарей, тогда $45 − k$ —число утвердительных ответов на второй вопрос, которые дали лжецы. Значит число лжецов, живущих в квартале Б, равно $50− (45− k)= k+5$ . В остальных кварталах число лжецов меньше числа рыцарей.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Пусть $xk$ и $yk$ — количества рыцарей и лжецов в $k$ -м квартале из $4$ соответственно, $x$ — рыцарей всего, $y = 200− x$ — лжецов всего. Тогда

( ( ||||{ x1+ y2+y3+ y4 = 105 ||||{ x1+ y− y1 = 105 x2+ y1+y3+ y4 = 45 =⇒ x2+ y− y2 = 45 ||||( x3+ y1+y2+ y4 = 85 ||||( x3+ y− y3 = 85 x4+ y1+y2+ y3 = 65 x4+ y− y4 = 65

Введём обозначения $zk = yk− xk$ — насколько в $k$ квартале больше лжецов, получим

( ||||{ y = 105+ z1 y = 45 +z2 ||||( y = 85 +z3 y = 65 +z4

В итоге наибольшее $zk$ достигается для $k= 2$ . Далее просуммируем уравнения, получим

4y =300+ y− x ⇐⇒ 3y =300− x= 300− 200+ y ⇐⇒ y = 50

Имеем $(z1,z2,z3,z4)= (− 55,5,− 35,−15)$ . Отсюда лжецов больше только во втором квартале на $5$ .

Ответ:

в квартале Б на $5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 390#70842Максимум баллов за задание: 7

Обозначим через $f(x)$ функцию, которая равна $1$ при любом целом $x$ и равна $0$ при остальных $x.$ Учительница дала задание двоечнику Васе записать функцию $f(x)$ с помощью букв $x,$ целых чисел, знаков сложения, вычитания, умножения, деления и операции взятия целой части. Помогите Васе.

Источники: СпбОШ - 2014, задача 11.1(см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На самом деле нам дали очень много свободы, давайте для начала попытаемся выполнить хотя бы одно из условий.

Подсказка 2

Раз нам нужна функция, которая равна при любом целом x, то понятно, что свободный член берём равный одному.

Подсказка 3

Чтобы остальное компенсировалось при целых x, возьмём сумму целых частей с x и -x. Проверьте, выполняется ли второе условие.

Показать ответ и решение

Например, подойдёт $f(x) =1+ [x]+ [−x].$ Какие рассуждения могут привести к примеру? Раз нам нужна функция, которая равна $1$ при любом целом $x,$ то понятно, что свободный член берём равный одному. И соответственно, чтобы остальное компенсировалось при целых $x$ возьмём сумму целых частей с $x$ и $− x.$ Теперь легко проверить, что второе условие задачи для функции тоже выполняется.

Ответ:

$f(x)= 1+[x]+ [−x]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 391#97444Максимум баллов за задание: 7

При осеннем сборе урожая собрали $200$ ящиков яблок и рассортировали. На консервный завод отправили более $8%,$ но менее $14%$ ящиков от их общего количества. $52%$ от оставшихся ящиков отправили в магазины, а остальные ящики с яблоками — на хранение. Сколько процентов ящиков с яблоками от общего их количества отправили на хранение?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сколько ящиков могли оправить на завод? Давайте оценим это количество y.

Подсказка 2

0.86*200 < y < 0.92 * 200. Так мы сможем понять, сколько же ящиков могли увезти. Давайте обратимся к здравому смыслу. Если в задаче сказано, что 0.52y увезли, то что можно сказать про это число?

Подсказка 3

Оно целое! Осталось понять, при каком y 0.52y будем целым!

Показать ответ и решение

Пусть $y$ — количество ящиков яблок, которые отправили в магазины и на хранение.

Из условия задачи следует

0,86 ⋅200< y < 0,92⋅200

172< y < 184

Итак, возможны следующие варианты:

y =173,174,175,176,177,178,179,180,181,182,183

Поскольку $0,48y$ является целым числом, то $y =175$ , а $0,48y =84$ . На хранение отправили 84 ящиков яблок, то есть $42%$ .

Ответ: 42

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 392#97446Максимум баллов за задание: 7

На собеседовании $39$ претендентам на должность финансового аналитика было предложено пройти три испытания. Первое испытание не прошел $21$ человек, второе — $23$ человека, а третье — $20$ человек. Хотя бы одно из первых двух испытаний не прошел $31$ претендент, из первого и третьего — $30$ претендент, из второго или третьего — $31$ претендент. На работу взяли всех, кто успешно справился со всеми испытаниями. Сколько человек были приняты на работу, если $7$ претендентов не справились ни с одним из испытаний?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас будет очень много неизвестных и уравнений. Надо ввести их таким образом, чтобы не запутаться еще сильнее!

Подсказка 2

Пусть xᵢ — количество кандидатов, не справившихся с i-ым испытанием, xᵢⱼ — не справившихся ни с i-ым, ни j-ым испытаниями, x₁₂₃ — не справившихся ни с одним испытанием.

Подсказка 3

Как в наших обозначениях будут записано количество тех, кто не прошел хотя бы одно из двух первых испытаний? Мы сможем выразить и найти число тех, кто не справился хотя бы с одним испытанием!

Подсказка 4

Число не прошедших хотя бы одно из двух первых испытаний запишем как x₁ + x₂ - x₁₂. Чему будет равно количество тех, кто не справился хотя бы с одним испытанием?

Подсказка 5

Оно будет равно x₁ + x₂ + x₃ - x₁₂ - x₁₃ - x₂₃ + x₁₂₃. Сколько тогда человек приняли на работу?

Показать ответ и решение

Пусть $x i$ — число претендентов, которые не справились с $i$ -ым испытанием, $x ij$ — число претендентов, которые одновременно не справились с $i$ -ым и $j$ -ым испытанием, $x123$ — число претендентов, которые не справились ни с одним из испытаний.

Итак, $x1 = 21,x2 =23,x3 = 20,x123 = 7$ . Число претендентов, которые не справились хотя бы с одним из испытаний, $i$ -ым и $j$ -ым, равно $xi+ xj − xij$ .

Следовательно,

x1+x2− x12 = 31 ⇒ x12 = x1 +x2− 31= 21 +23− 31= 13 x1+x3− x13 = 30 ⇒ x13 =x1+ x3− 30 =21+ 20− 30 =11 x2+x3− x23 = 31 ⇒ x23 = x2 +x3− 31= 23 +20− 31= 12

Число человек, которые не справились хотя бы с одним из испытаний, равно

x1+x2+ x3− x12− x13− x23+ x123 = 21+ 23+20− 13− 11− 12+ 7= 35

следовательно, на работу приняли $39− 35= 4$ человек.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 393#97753Максимум баллов за задание: 7

Жучка тяжелее кошки в $2$ раза, мышка легче кошки в $3$ раза, репка тяжелее мышки в $12$ раз. Во сколько раз репка тяжелее Жучки?

Показать ответ и решение

Кошка весит как 10 мышек, репка как 60 мышек. Значит, репка в 6 раз тяжелее кошки. То есть репка это 6 кошек. Но по условию Жучка весит как 3 кошки, поэтому в итоге репка в 2 раза тяжелее Жучки.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 394#39047Максимум баллов за задание: 7

Однажды дядя Федор взвесил Шарика и Матроскина. Оказалось, что Шарик на $6$ кг тяжелее Матроскина, а Матроскин втрое легче Шарика. Сколько кг весил Матроскин?

Источники: Школьный этап - 2013, Москва, 7.2

Показать ответ и решение

Так как Матроскин втрое легче Шарика, то Матроскин легче Шарика на два своих веса. По условию это равно $6$ кг, т.е. Матроскин весит $6 :2 =3$ кг.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 395#39049Максимум баллов за задание: 7

Мама купила коробку кускового сахара (сахар в кубиках). Дети сначала съели верхний слой — 77 кубиков, затем боковой слой — 55 кубиков, и, наконец, передний слой. Сколько кубиков сахара осталось в коробке? Укажите все возможные варианты через пробел.

Источники: Школьный этап - 2013, Москва, 7.5

Показать ответ и решение

Если размеры коробки в кубиках были $a× b×c$ , то сначала съели слой $a× b$ , потом съели слой $a ×c− 1$ , потом слой $c − 1× b− 1$ . В итоге кубиков осталось $a− 1× b− 1 ×c− 1$ . Заметим, что в таком случае $77= ab$ и $55= a(c− 1)$ , то есть $a$ — это общий делитель чисел $77$ и $55$ . Тогда вариантов два. Если $a= 1$ , то $b= 77$ , $c− 1 =55$ , т.е. осталось $0$ кусков сахара. Если же $a= 11$ , то $b= 7$ , $c− 1 =5$ , т.е. осталось $10⋅6⋅5= 300$ кусков сахара.

Ответ: 0 300

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 396#39051Максимум баллов за задание: 7

В классе драконов устроили веселые старты. Известно, что $3$ прыжка двухголового дракона равны $5$ прыжкам трехголового. Но за то время, когда двухголовый дракон делает $4$ прыжка, трехголовый делает $7$ прыжков. Сколько голов у дракона, который бежит быстрее?

Источники: Школьный этап - 2013, Москва, 6.6

Показать ответ и решение

Рассмотрим время, за которое двухголовый дракон делает $12$ прыжков. За это время трехголовый делает $12:4⋅7= 21$ прыжок. По длине же $12$ прыжков двухголового равны $12:3⋅5= 20$ прыжкам трехголового. Значит, за одно и то же время двухголовый делает $20$ прыжков трехголового, а трехголовый — $21$ свой прыжок. Отсюда трехголовый быстрее.

Ответ: 3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 397#64358Максимум баллов за задание: 7

Из села Покровское до села Успенское ведут две дороги: одна через деревню Ивановка, другая через деревню Павловка — обе длиной в 6 км. Иван и Павел отправились ровно в полдень из Покровского в Успенское, Иван — через Ивановку, Павел — через Павловку. Иван сразу сел на автобус, доехал до Ивановки, а оттуда пошел в Успенское пешком. Павел же пошел до Павловки пешком, дошел до нее в 12:30 — ровно в тот момент, когда Иван прибыл в Успенское, тут же сел в Павловке на автобус и поехал в Успенское, куда приехал в 12:40. Найдите расстояние от Ивановки до Успенского, если известно, что Иван и Павел шли со скоростью 4 км/ч, а автобусы двигались с равными постоянными скоростями.

Источники: ДВИ - 2013, вариант 1 (резервный), задача 5 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрите путь Павла. Что мы можем сказать про расстояния на нем и скорость автобуса?

Подсказка 2

Теперь нам известна скорость автобуса и полное время в пути Ивана! Остается только составить уравнения из этого и найти все интересующие нас величины.

Показать ответ и решение

Павел дошёл до Павловки за 30 минут, потому расстояние до неё равно $2$ км, далее он проехал $4$ км за 10 минут, откуда скорость автобуса равна $24$ км/ч. Пусть Иван шёл $t1$ часов и ехал — $t2$ , отсюда $t1+t2 = 0.5$ и $4t1 +24t2 =6$ , то есть $t2 =0.2,t1 = 0.3$ , откуда длина пути от Ивановки до Успенского равна $4t1 =1.2$ км.

Ответ:

1200 метров

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 398#89257Максимум баллов за задание: 7

На покраску дома жёлтой краски потребовалось больше, чем белой, на $20%$ , а коричневой краски — на $25%$ меньше, чем жёлтой. На сколько процентов коричневой и жёлтой краски суммарно потребовалось больше, чем белой?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Логично, что если мы хотим сравнивать величины, то нужно их выразить через общую переменную. Подумайте, объем краски какого цвета будет удобнее всего здесь обозначить за эту неизвестную.

Подсказка 2

Пусть x – количество белой краски. Сколько тогда было потрачено желтой и коричневой краски, если выражать эти величины тоже через x?

Показать ответ и решение

Пусть $x$ – количество белой краски. Тогда желтой краски потребовалось $6x, 5$ а коричневой $3⋅ 6x= 9x. 4 5 10$ Отношение общего количества коричневой и желтой краски к количеству белой краски равно

( 9x 6x) 210 10 + 5 :x = 100.

Ответ: на 110 %

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 399#31287Максимум баллов за задание: 7

В группу из 17 детей присланы подарки двух видов: каждый подарок первого вида содержит 4 пряника и 9 конфет, а второго — 3 пряника и 11 конфет. Объединив эти подарки, все пряники разделили между детьми поровну. Могло ли случиться при этом, что конфеты разделить поровну не удалось?

Источники: Ломоносов-2012, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть подарков первого типа a, а второго типа - b. Тогда пряников всего 4a + 3b, а конфет - 9a + 11b. И мы также знаем, что все пряники можно распределить на 17 детей. Что это значит на языке остатков?

Подсказка 2

Это означает, что 4a+3b = 0 по модулю 17. Попробуем выразить a через b по модулю 17: 4a = -3b (mod 17). Вот на что теперь можно умножить это выражение, чтобы слева вышло просто a?

Подсказка 3

Можно на -4) Получится -16a = 12b (mod 17), что равносильно a = 12b (mod 17). Теперь осталось подставить это равенство в выражение 9a+11b и найти его по модулю 17)

Показать ответ и решение

Пусть подарков первого вида $x$ , а второго — $y$ , тогда $a =4x+ 3y$ кратно 17, а спрашивают нас про $b=9x +11y$ . Заметим, что $2a+ b= 17(x+ y)$ , то есть $2a+ b ≡170=⇒ b ≡170$ , так что такого случиться не может.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Интересный факт. Задача придумывалась на основе факта, что определитель матрицы

( ) 4 9 3 11

равен $17$ . По условию эта матрица умножается на целочисленный вектор ( $x$ , $y$ ) и получается ( $17m$ , $n$ ), откуда из целочисленности $x$ сразу следует, что $11⋅17n − 3⋅m$ делится на 17.

Ответ:

нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 400#69858Максимум баллов за задание: 7

На первом складе в каждом ящике в среднем по 3 бракованных изделия, а на втором складе — по 6. С первого склада на второй перевезли 50 ящиков, и среднее количество бракованных изделий в ящике на каждом из складов уменьшилось на 1. Сколько всего ящиков на двух складах?

Источники: ОММО-2012, номер 2 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы понимаем, что количество бракованных деталей от перевозки ящиков не поменялось, а значит, данная задача подразумевает подсчет двумя способами количества наших бракованных деталей. Подумайте, как его тут можно реализовать и использовать?

Подсказка 2

Если мы обозначим количество ящиков за m для первого завода и за n для второго, то в первоначальном состоянии у нас было 3m и 6n бракованных деталей. После перевоза ящиков на первом заводе их стало m-50, а на втором n+50, при этом количество бракованных деталей на каждый ящик стало 2 и 5 соответственно. Зная всё это, составьте и решите уравнение.

Показать ответ и решение

Пусть на первом складе было $m$ ящиков, а на втором $n$ . Бракованных деталей при этом имелось в общей сложности $3m$ на первом складе и $6n$ на втором. После того, как ящики перенесли, средние значения стали равны $2$ и $5$ , а ящиков стало $m − 50$ и $n+ 50$ соответственно. Общее число бракованных деталей теперь равно $2(m − 50)+5(n+ 50)$ , но оно осталось прежним, то есть равным $3m + 6n$ . Приравнивая обе величины, получаем $m +n =150$ и это есть общее число ящиков на двух складах вместе.

Ответ: 150

Следующая подтема