Алгебраические текстовые задачи

Обозначим количество домашних заданий, выполненных Гарри, через . Так как Гарри сделал на два домашних задания больше Рона, то Рон выполнил задания. Гермиона сделала втрое больше Гарри, значит, Гермиона выполнила домашних заданий. При этом по условию в сумме ребята выполнили домашних заданий. Поэтому, сложив домашние задания, выполненные ребята, мы должны получить . Составим соответствующее уравнение и решим его.

Итак, мы нашли, что . Нас же спрашивают, сколько домашних заданий сделала Гермиона. Как мы уже считали выше, Гермиона выполнила домашних заданий. Подставим найденное значение переменной: . Значит, Гермиона выполнила домашних заданий.

Обозначим количество акромантулов через . Так как всего ребята насчитали голов, то они видели особей, поэтому суммарно акромантулов и соплохвостов . Тогда соплохвостов .

Теперь выразим через количество ног у изучаемых созданий. У акромантулов всего ног, а у соплохвостов ног. Также мы знаем, что всего ребята насчитали ног. Значит, мы можем составить уравнение, приравняв количество ног, посчитанное через , и количество ног, данное в задаче:

Итак, , значит, акромантулов , а соплохвостов .

Обозначим сумму чисел в первой строке через . Выразим через сумму в каждом столбце и каждой строке. После этого воспользуемся тем, что сумма чисел по строкам равна сумме чисел по столбцам (и равна сумме всех чисел в таблице).

Так как сумма чисел в каждой строке на больше, чем в предыдущей, то сумма чисел во второй строке равна , а в третьей — . Таким образом, сумма чисел во всех строках равна .

Теперь по столбцам. Сумма чисел во втором столбце равна . Сумма чисел в первом втрое меньше, то есть равна . Сумма чисел в третьем столбце втрое больше суммы во втором столбце, значит, она равна . Таким образом, сумма всех чисел по столбцам равна .

Приравняем полученные значения суммы чисел по строкам и по столбцам, так как и то, и другое равно сумме всех чисел в таблице. Другими словами, мы двумя способами посчитали сумму всех чисел в таблице, а значит можем записать равенство

Итак, , а через мы как раз и обозначили сумму чисел в первой строке, которую нам нужно найти. Значит, сумма чисел в первой строке равна .

Обозначим количество детей через Так как пожиратели насчитали 30 голов, то всего летит 30 существ, значит, фестралов Посчитаем, сколько у кого ног. У детей всего ног, а у фестралов ног. По условию, всего пожиратели насчитали 82 ноги, поэтому мы получаем равенство

Итак, значит, на битву с Волдемортом отправились 19 юных волшебников.

Обозначим количество человек в одном списке через Пусть в первый день учебы каждый студент сдаст по каждому выбранному им предмету тетрадку с домашним заданием. Посчитаем количество сданных тетрадок двумя способами.

С одной стороны, так как на предметы записались 60, 50 и 40 человек, то и сданных тетрадок по арифмантике будет 60, по УЗМС — 50, а по прорицаниям — 40. В сумме получается сданных тетрадок.

С другой стороны, студенты, записавшиеся на один курс, сдадут по одной тетрадке, и так как таких студентов то и сданных ими тетрадок будет Студенты, записавшиеся на два курса, сдадут по две тетрадки, и так как таких студентов тоже то они сдадут всего тетрадок. Наконец, студентов, записавшихся на все три предмета, сдадут тетрадок. Поэтому всего сданных тетрадок будет

Приравняем посчитанные двумя способами тетрадки.

Итак, значит, в одном списке 25 человек. Именно это число нам и нужно было посчитать в задаче.

Эту задачу можно решить и без уравнения. Действительно: разница в возрасте между Гарри и Хагридом постоянна и равна 54. Значит, если Хагрид вдвое старше Гарри, то Гарри должно быть 54 года, а это случится через 40 лет.

Теперь попробуем составить уравнение, которое поможет решить задачу другим способом. Первым делом необходимо ввести переменную: чаще всего обозначают через то, что спрашивается в задаче. В данном случае, пусть — количество лет, которое должно пройти, чтобы Хагрид стал ровно вдвое старше Гарри. Тогда Гарри исполнится лет, а Хагриду стукнет . По условию возраст Хагрида вдвое больше, так что можно составить уравнение:

Раскрывая скобки, получаем:

Конечно, и эту задачу можно решить без уравнения, но уже совсем не так быстро. А с уравнением — почти ничего не меняется! Пусть — возраст Гарри, тогда миссис Уизли сейчас лет. Через шесть лет Гарри будет , а возраст миссис Уизли составит . Так как второе выражение в три раза больше первого, можно составить уравнение:

Значит, Гарри сейчас 12 лет.

В этой задаче также следует выбрать того из мальчиков, чье количество орехов следует обозначить через . В данном случае, уместно выбрать Гарри, так как через него легко выразить количества орехов у Рона и у Гермионы.

Итак, пусть — количество орехов у Гарри. Тогда по условию у Рона орехов, а у Гермионы их . Составим уравнение:

Прежде чем писать ответ — прочитаем вопрос: требовалось найти количество орехов у каждого из ребят. В данном случае, у Рона будет 3 ореха, а у Гермионы — 2.

Пусть у Гермины лягушек. Тогда у Гарри лягушки, у Рона — А всего по условию у них 38 лягушек. Значит,

Следовательно, у Гермионы 13 лягушек.

Пусть номер первый страницы с рецептом равен Тогда рецепт записан на страницах и Тогда по условию

Таким образом, рецепт философского камня записан в книге на страницах 130, 131, 132, 133 и 134.

Пусть Рон задумал число Проведем операции с Тогда Получаем

Пусть — слагаемые. Тогда

Выразим и через

Заменив и получим:

Вычислим остальные слагаемые:

Пусть написаны числа: , а стерли число (.

Тогда

Значит, правая часть должна делиться на 9. Число 1976 дает остаток 5 при делении на 9, поэтому может быть только 4.

Тогда

Значит, вычеркнули число .

Посчитаем, сколько жира содержится в одном килограмме молока. Так как один килограмм молока составляет , а жир в нем составляет , то массу жира мы найдем, поделив килограмм молока на и умножив на . Сразу переведем килограмм молока для удобства в граммы ( и будем проводить вычисления в граммах:

Итак, в одном килограмме такого молока содержится граммов жира. Лосяшу можно употребить граммов жира. Значит, Лосяшу можно употребить в раз больше молока, чем один килограмм. Таким образом, Лосяш может употребить килограмма молока жирностью .

По условию сказано, что пути были преодолены за часа. Чтобы из получить , нужно умножить их на . Значит, эти часа надо умножить на :

Итак, весь путь занимает часов. Так как из них смешарики уже летели, им осталось лететь часов.

Следующая задача уже требует навыка введения переменных. Не надо пугаться вычислений с буквами, они зачастую даже понятнее, чем вычисления с конкретными числами. Главное рассуждать достаточно общо и не на частных примерах, чтобы ваше решение покрывало все возможные случаи. Именно ради этого мы и вводим переменные, обозначая неизвестные величины буками.

Обозначим меньшее из исходных чисел через . Тогда большее было равно . После увеличения на большее число увеличилось в раз и стало равно . Меньшее число уменьшилось на и стало составлять от исходного, то есть стало равно . Найдем отношение новых чисел: . Значит, большее число больше меньшего в раз.

Обозначим массу молота через , массу костюма через , а массу щита через . Тогда у нас есть два условия: и . Таким образом, мы можем записать неравенство . Из этого следует, что , значит, молот тяжелее щита.

Обозначим массу одного карандаша через , одной тетрадки через , одного ластика через . Перепишем тогда условия задачи: , а также . Тогда мы получаем неравенство , или просто . Поделим на , получим, что . Значит, одна тетрадка тяжелее двух ластиков. Тогда две тетрадки тяжелее четырех ластиков, и тем более тяжелее трех ластиков.

Предположим, что ни у каких двух инопланетян зубов не поровну. Это значит, что у любых двух инопланетян количество зубов различно. Упорядочим их по возрастанию количества зубов. Тогда у первого инопланетянина хотя бы зубов. У второго — уже хотя бы зуб. У третьего — хотя бы зуба, и так далее. Получается, что у инопланетян в сумме хотя бы зубов. Но по условию у них только зуба. Мы пришли к противоречию, значит, у каких-то двух инопланетян зубов поровну.

Рассмотрим Кроша и Ёжика. Раз вдвоем они съели бананов, то хотя бы один из них съел не меньше штук. Действительно, иначе бы каждый из них съел не больше штук, и значит в сумме не больше бананов, противоречие.

Итак, кто-то из Кроша и Ёжика съел хотя бы банана. Бараш съел больше, значит, он съел хотя бы банана. Но на двоих с Муравьем они съели бананов. Если бы Бараш съел больше бананов, то Муравью ничего бы не досталось. Значит, Бараш съел ровно банана, а Муравей — ровно банан.

Замечание. В итоге можно восстановить, что они съели , , и банана, но кто из Кроша и Ёжика съел , а кто — , определить нельзя.