Алгебраические текстовые задачи

Решение. Пусть в компании было человек, тогда через 7 лет возраст каждого из них увеличился на 7 лет, значит, сумма их возрастов увеличилась на лет. Следовательно, средний возраст компании увеличился на лет.

Если каждую оценку умножить на 8, то и сумма этих оценок также увеличится в 8 раз. Количество оценок не изменилось, поэтому средний балл также увеличился в 8 раз.

Пусть после ухода одного баскетболиста осталось баскетболистов со средним ростом Тогда по условию откуда см.

Пусть первые полчаса пешеход шёл со скоростью 6 км/ч, вторые полчаса со скоростью 4 км/ч, третьи полчаса опять со скоростью 6 км/ч и так далее. На любом отрезке длиной 1 час пешеход ровно половину времени будет идти со скоростью 6 км/ч, а оставшееся время со скоростью 4 км/ч. Тогда средняя скорость пешехода за это время равна 5 км/ч. Но за всё время его средняя скорость равна

Пусть Джон сначала играл в команде, средний рост которой больше, чем рост Джона, тогда после его перехода средний рост команды увеличился. Если Джон перешёл в команду, где средний рост был меньше его роста, то после перехода средний рост этой команды увеличился.

Предположим, что это не так, тогда среди этих ста чисел есть наименьшее число а (возможно, что не единственное). Пусть и — числа, соседние с , тогда Так как или , то либо одно из чисел или меньше, чем , либо Первый случай противоречит нашему предположению, значит, эти три числа равны. Проведя аналогичное рассуждение для чисел и , получим, что соседние с ними числа также равны , и так далее, пока не рассмотрим все данные числа.

Пусть лодка прошла по течению реки км и столько же против течения, то есть весь путь, пройденный лодкой, равен км. Время движения лодки по течению равно часов, а против течения — часов, значит, общее время движения равно

Чтобы найти среднюю скорость, нужно весь путь поделить на всё время:

Удивительно, но после сокращения получилось среднее гармоническое! Досчитав до ответа, получаем среднюю скорость 17,5 км/ч.

Пусть от момента рассвета до встречи прошло часов. Время, затраченное пешеходами на каждом из участков и , обратно пропорционально их скоростям, поэтому , то есть рассвет был в 6 часов.

Решая пропорцию , мы получили, что время движения путников до встречи — среднее геометрическое двух заданных значений времени!

Пусть страниц в час - искомая скорость, а в половине книги содержится страниц, тогда время работы первого ч, время работы второго - ч, а предполагаемое время печатания книги - ч. Приравнивая это время, получим Тогда страниц в час).

Пусть — расстояние между местом назначения и расположением велосипедиста, а — требуемая скорость. Тогда расстояние велосипедист с одной стороны проедет за время , а с другой — за . Приравнивая и сокращая на , получаем уравнение

откуда километров в час.

Пусть Алёна ехала в поезде часов. Тогда часов Алёна разговаривала по телефону. То есть телефон потерял долю заряда, равную . Также понятно, что при оставшейся части пути телефон потерял долю заряда, равную . Тогда имеем уравнение

Пусть — объем бутыли. Тогда скорость заполнения бутыли из крана Труса равна , Балбеса — , Бывалого — . Тогда при одновременном наполнении бутыль наполниться за время . Тогда процент сока равен

Пусть всего было детей и — число конфет, которое съел -ый ребенок, — число конфет, которое съел -ой ребенок, — число конфет, которое съел -ый ребенок. Пусть также — число конфет, которое съели все дети вместе. Тогда из условия задачи следует, что

Следовательно, все дети съели равное число конфет, а именно Но тогда число всех съеденных конфет равно

А из уравнения получаем, что Получаем систему:

Получили уравнение с двумя неизвестными, которые принимают только натуральные значения, причем Так как — простое число, то числа и равны и Так как то а Отсюда

Следовательно, всего съедено: конфета.

Пусть в роду было мужчин. Посчитаем число людей в роду двумя способами. С одной стороны, они делятся на мужчин и женщин, то есть их . С другой стороны, они делятся на сыновей Ильи Муромца и на детей мужчин рода. Отцов в роду было , поэтому детей , то есть всего . Приравнивая, получим уравнение , откуда . А всего в роду человек.

Заметим, что сумма всех девяти чисел в таблице равна 333. С другой стороны, если рассмотреть сумму чисел по двум диагоналям и по средним строке и столбцу, то получится сумма всех чисел в таблице и еще утроенное число в центральной клетке. Вся эта сумма равна 444. Тогда утроенное число в центральной клетке равно 111, то есть центральное число равно 37.

Если бы все предметы мебели были табуретками, ножек было . На самом деле же их было , поэтому табуреток должны оказаться стульями.

Скорость Коли составляет от скорости Леши. В момент, когда Саша финишировал, Леша пробежал м, а Коля м. Следовательно, расстояние между Сашей и Колей было м.

В табличках ДОМ МОДЫ, ВХОД и В ДЫМОХОД отделим буквы, образующие слово ВЫХОД, тогда от первых двух табличек останется Д, О, М, М, О, Д, а от третьей — Д, М, О. Заметим, что ДОМ МОДЫ и ВХОД отличается от В ДЫМОХОД на буквы Д, О, М, а по времени — на минут. Значит, на изготовление букв Д, О, М уходит мин. Теперь мы знаем, что при изготовлении В ДЫМОХОД минут ушло на изготовление букв Д, М, О, т.е. оставшиеся минут понадобилось на изготовление букв В, Ы, Х, О, Д.

Если дано число , можно составить следующее уравнение: . Отсюда . Значит, .

Изначально у Димы всего наклейка. Значит, в результате обменов у него прибавилось наклейки. За раз количество наклеек увеличивается на , то есть обменов было .