Тема Алгебраические текстовые задачи

Составление уравнений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебраические текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79599

Партию новогодних шаров необходимо сложить в коробки так, чтобы в каждой коробке лежали шарики. Если использовать коробки вместимостью 100 шаров, то ровно одна коробка останется не полностью заполненной. Если взять на 11 коробок больше, но в которые помещается по 70 шаров, то вновь ровно одна коробка останется не полностью заполненной. Если же взять ещё на 5 коробок больше, но вместимостью 60 шаров, то все коробки будут полными. Сколько шаров могло быть в партии?

Источники: ОММО - 2024, задача 3 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что вообще значит, что останется сколько-то коробок? Это значит, что если у нас было N коробок, то N = 100n + r_1, 0 < r_1 < 100, во втором случае - N = 70(n + 11) + r_2, а в третьем N = 60(n + 17). Подумайте, почему именно n + 17 а также, что делать с такой системой.

Подсказка 2

100n + r_1 = 70n + 770 + r_2 = 60n + 1020. Тогда, r_1 = 10k, r_2 = 10t, а значит, 4n + k = n + 77 + t = 102. Значит, n + t = 25, 4n = 102 - k. Как теперь найти n с учетом того, что все переменные должны быть больше 0?

Подсказка 3

Заметим, что 0 < k < 10, так как это кратный 10 остаток по модулю 100, но не равный 0. Значит, 4n = 102 - k > 92 => n >= 24. При этом, n = 25 - t <= 24. Победа!

Показать ответ и решение

Пусть $S$ — число шаров, а $n$ — число заполненных коробок в первом случае. Тогда коробок всего $n+ 1$ . По условию получаем

S = 100n+ r1

где $0 <r1 < 100$

Во втором случае получаем

S = 70(n+ 11)+ r2

где $0 <r2 < 100$

И наконец, в третьем случае получаем

S =60(n+ 17)

так как во втором случае имеем на самом деле $n +12$ коробок — $n +11$ заполненных и одну не полностью заполненную.

100n+ r = 70n +770+ r =60n+ 1020 1 2

40n+ r1 = 10n +770+ r2 =1020

Заметим, что $r1, r2$ делятся на $10$ , то есть

r = 10k, r = 10t 1 2

где $0 <k <10, 0< t< 10.$

4n+ k= n+ 77+ t=102

Из $n+ t= 25$ получаем $n≤ 24.$

Из $4n= 102− k >92$ получаем $n >23$

То есть $n= 24.$ И тогда $S = 61⋅40= 2460.$

Ответ: 2460

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#83305

У Пети в семье, помимо папы, мамы и бабушки, есть ещё братья и сёстры. Средний возраст папы, мамы и бабушки на 15 лет больше среднего возраста детей и на 10 лет больше среднего возраста всех членов семьи. Сколько в семье детей?

Источники: Росатом - 2024, региональный вариант, 11.1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте составим уравнение. Так как речь идёт о среднем возрасте, можно обозначить сумму возрастов взрослых за x, детей - за y, а количество детей через n. Теперь можем составить систему уравнений.

Подсказка 2

Пользоваться дробями нам не очень удобно, а так как ни одна из переменных не равна нулю, можем домножить уравнения на знаменатели дробей. Заметим, что одна из сторон обоих уравнений одинакова. Остаётся только приравнять другие стороны и выразить отсюда n

Показать ответ и решение

Обозначим сумму возрастов папы, мамы и бабушки через $x$ , сумму возрастов детей через $y$ , а количество детей через $n$ . Тогда справедливы следующие равенства:

x y x x+ y 3 = 15 + n,3 = n-+3 +10

Преобразуем равенства:

nx= 3y+45n,nx= 3y+ 30(n+ 3)

Видно, что

45n = 30(n+ 3)

n= 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#84142

Есть коробка с красными, синими, белыми и зелеными шариками. Известно, что красных шариков в $4$ раза меньше, чем синих, белых и зеленых вместе взятых. Кроме того, синих шариков в $6$ раз меньше, чем красных, белых и зеленых шариков вместе взятых. Докажите, что общее количество шариков делится на $35$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если у нас есть х красных шариков, то чему равно общее количество шариков? Какой вывод об этом количестве мы можем сейчас сделать?

Подсказка 2

Оно делится на 5! А если у нас есть у синих шариков, то чему равно общее количество шариков? Какой вывод об этом количестве мы можем сделать?

Подсказка 3

Оно делится на 7! При этом 5 и 7 взаимно простые числа, так что количество шариков должно делиться и на их произведение!

Показать доказательство

Пусть $x$ — число красных шариков. Тогда по условию число синих, белых и зеленых вместе это $4x.$

Из этого следует, что их общее количество — $5x$ — делится на 5.

Пусть $y$ — число синих шариков. Тогда по условию белых, красных и зеленых шариков вместе получится $6y,$ поэтому общее количество — $7y$ — делится на 7.

Числа 5 и 7 взаимно просты, поэтому из делимости на 5 и 7 следует делимость на $5⋅7= 35.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#84145

Дед Мороз раздал детям 47 шоколадок так, что каждая девочка получила на одну шоколадку больше, чем каждый мальчик. Затем дед Мороз раздал тем же детям 74 мармеладки так, что каждый мальчик получил на одну мармеладку больше, чем каждая девочка. Сколько всего было детей?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначьте число полученных каждым мальчиком шоколадок за z, чему тогда равно количество шоколадок, полученных каждой девочкой?

Подсказка 2

Обозначьте число полученных каждым мальчиком мармеладок за w, чему равно в этом случае количество мармеладок, полученных каждой девочкой?

Подсказка 3

Попробуйте найти сколько сладостей получил каждый мальчик и каждая девочка. Для этого сложите количество шоколадок и мармеладок, которое они должны были получить. Что вы можете сказать про получившиеся числа?

Подсказка 4

Сравнив полученные числа, мы приходим к тому, что каждый ребенок независимо от того, мальчик он или девочка, получил одинаковое количество сладостей. Значит если мы обозначим количество детей за х, а количество сладостей, полученных одним ребенком, за у, мы можем выразить чему равно общее количество сладостей полученных всеми детьми. Учтите, что количество детей больше 1, так как у нас есть хотя бы один мальчик и одна девочка. Это пригодится нам в будущем.

Подсказка 5

Теперь мы можем найти общее количество сладостей, сложив количество шоколадок и мармеладок, и приравнять его к значению, полученному в предыдущем пункте с помощью х и у.

Подсказка 6

Мы получили уравнение с двумя переменными и теперь нам нужно его решить. Чтобы найти все возможные подходящие значения разложите общее количество сладостей на произведение простых множителей. Не забывайте, что х и у должны быть целыми, тогда при каких значениях х и у мы получим верное равенство?

Подсказка 7

Остается проверить, что все найденные пары х и у подходят под условие, вспомните, какими могут быть х и у? Все ли найденные пары нам подходят?

Подсказка 8

Поздравляю, вы решили задачу!

Показать ответ и решение

Способ 1.

Пусть было $X$ девочек и $Y$ мальчиков.

Пусть мальчики получили по $S$ шоколадок, тогда девочки получили по $S +1$ шоколадке.

Пусть девочки получили по $M$ мармеладок, тогда мальчики получили по $M + 1$ мармеладке.

Тогда из условия имеем систему уравнений:

( {47 =X ⋅(S +1)+ Y ⋅S (74 =X ⋅M +Y ⋅(M + 1)

Сложив уравнения системы, получим

121 = X ⋅(S +M +1)+ Y ⋅(S+ M + 1) 121= (X + Y)⋅(S+ M + 1)

Отсюда количество $X + Y$ всех детей равно либо 11, либо 121.

Для $X + Y = 121$ исходной системе удовлетворяет пример

X = 47, Y = 74, S = M = 0

Для $X + Y = 11$ исходной системе удовлетворяет пример

X = 3, Y = 8, S = 4, M = 6

Способ 2.

Заметим, что всего раздали количество сладостей, равное

47+ 74= 121

При этом все дети в итоге получили поровну, поэтому если через $x$ обозначить количество детей, а через $y$ — количество сладостей на одного ребенка, то мы получим равенство

xy = 121= 112

Так как $x >1,$ то это возможно в двух случаях:

1) $x =11,$ $y = 11.$ Например, 3 девочки получили по 5 шоколадок и по 6 мармеладок, 8 мальчиков получили по 4 шоколадки и по 7 мармеладок.

2) $x =121,$ $y = 1.$ Например, 47 девочек получили по 1 шоколадке и по 0 мармеладок, 74 мальчика получили по 0 шоколадок и по 1 мармеладке.

Значит, всего детей могло быть 11 или 121.

Ответ: 11 или 121

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90275

Каждый из трех владельцев криптокошельков имеет на своем счету по 10 криптокойнов. Каждый из двух дней ими совершаются по две транзакции: по переводу части криптокойнов со своего криптокошелька на криптокошелек другого владельца и по возврату оставшихся криптокойнов обратно на свой кошелек. У каждого имеется свой секретный ключ $S ∈{1,2,...,28}$ . При совершении транзакции указываются три числа $(X,a,b)$ , где $X$ - число переводимых криптокойнов, $(a,b)$ - электронная подпись перевода.

$PIC$

Электронная подпись находится по правилу: выбираем произвольное $k ∈{1,2,...,28}$ , затем находим $a= r29(2k) ,b= r28(Xa +Sk)$ , где $rN(M )−$ остаток от деления числа $M$ на $N$ . На рисунке указаны совершенные транзакции (пронумерованы числами в кружках) за два дня. Сколько будет криптокойнов у каждого владельца криптокошелька по окончании двух дней?

Источники: Верченко - 2024, 11.2 (см. ikb.mtuci.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Давайте попробуем записать условие кратко, через переменные. Какие уравнения получим?

Подсказка 2:

Запишем уравнения из криптокошелька владельца 1 на 1 день, владельца 1 на 2 день, владельца 2 на 2 день, владельца 3 на 2 день. Какие ещё уравнения можно написать?

Подсказка 3:

Мы знаем, что транзакции 1 и 8 осуществлены одним и тем же владельцем, и в электронной подписи одинаковое. Можем получить из этого уравнение. Для этого вспомните сравнение по модулю. Из каких транзакций можно получить ещё уравнение?

Подсказка 4:

Транзакции 5 и 12! Теперь из полученных уравнений можем найти Y₁ и Y₅. Мы можем найти количество криптокойнов у первого владельца. Какие ещё уравнения можно получить из условия, чтобы решить задачу?

Подсказка 5:

Посмотрим на транзакции 9 и 10. Для них использовались одинаковые k, но с разными знаками. Какие уравнения можно получить из этих транзакций?

Подсказка 6:

Получаем, что Y₄ = 1. Сумма криптокойнов была равна 30 и останется такой же, 30.

Показать ответ и решение

Сначала по рисунку выпишем очевидные соотношения:

X1+ X2 = 10 (1)

Y1+ Y2 = X1+ 3 (2)

8+ Y = X + 5 (3) 4 2

Y5+ Y6 = 12 (4)

Необходимо найти:

Σ1 = Y1+ 8+Y5,Σ2 = Y4,Σ3 = Y2 +Y6

Далее, заметим, что транзакции №1 и №8 осуществлены одним и тем же владельцем владельцем 1. То есть использовался один и тот же секретный ключ $S1$ , при этом использовалось одно и то же значение $k$ в подписи, поэтому

9≡ (18X1 +S1k) (mod28)

1 ≡(18Y2 +S1k) (mod28)

Отсюда получим

8≡ 36≡ (18(X1− Y2)) (mod28)

Следовательно, $X − Y = 2 1 2$ . С учетом (2) имеем: $Y = X − Y + 3= 5 1 1 2$ .

Аналогичное свойство замечаем у транзакций №5 и №12:

18≡ (27⋅3+ S3k) (mod28)

20≡ (27Y + Sk) (mod28) 6 3

Отсюда получим

−2 =54≡ (27 (3− Y6)) (mod28)

Следовательно

3− Y6 = 2,Y6 = 1

С учетом (4) имеем: $Y5 = 11$ и уже находится $Σ1 =5 +8+ 11= 24$ . Теперь обратим внимание на транзакции №9 и №10, осуществленные владельцем 2 , для которых, как нетрудно заметить, использовались одинаковые $k$ , но с разными знаками, т.к. $(2⋅15) ≡1 (mod29)$ .

Поэтому:

11≡ (2 ⋅8 +S2k)(mod28)

20≡ (15Y4− S2k)(mod28)

Отсюда получим:

15Y4 ≡ 31− 16 ≡15(mod28),Y4 = 1= Σ2

Т.к. исходная сумма криптокойнов была равна 30 , то

Σ3 =30− Σ1− Σ2 = 5

Ответ:

$(24,1,5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#97442

В школьной олимпиаде по математике участвовало $80$ человек, по физике — $55,$ по информатике — $45.$ Составили три списка: тех, кто участвовал ровно в одной из олимпиад, ровно в двух, ровно в трёх. Во всех списках одно и то же число людей. Сколько человек в каждом списке?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задаче есть неизвестные нам, но равные количества, а также числа — поэтому попробуем составить уравнение! Давайте тогда размеры списков, указанных в условии, обозначим как переменные x, y, z соответственно. А сколько раз они посчитаны в общей сумме?

Подсказка 2

Те, кто участвовал в двух олимпиадах, посчитаны дважды, и те, кто участвовал в трёх олимпиадах, посчитаны трижды. Тогда как будет выглядеть наше уравнение?

Подсказка 3

x + 2y + 3z = 180. Осталось лишь понять, как же связаны переменные x, y и z!

Показать ответ и решение

Обозначим количество участников, которые участвовали:

ровно в одной олимпиаде — через $x$ ,
ровно в двух олимпиадах — через $y$ ,
ровно в трёх олимпиадах — через $z$ .

По условию задачи известно, что:

x= y = z.

Всего в олимпиаде по математике участвовало 80 человек, по физике — 55, по информатике — 45. Суммарное количество участников с учётом пересечений:

80 +55+ 45= 180.

Учитывая пересечения:

те, кто участвовал в двух олимпиадах, посчитаны дважды,
те, кто участвовал в трёх олимпиадах, посчитаны трижды.

Общая формула для числа участников с учётом всех пересечений:

x+ 2y+3z = 180.

Подставим $x =y =z$ в это уравнение:

x+2x +3x= 180 ⇒ 6x= 180 ⇒ x =30.

Таким образом, $x= y = z = 30$ .

Ответ: 30

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#97696

У короля и королевы было три сына и несколько дочерей (хотя бы одна). $1$ -го сентября некоторого года король и королева заметили, что им обоим по $35$ лет, более того, суммарный возраст их детей составляет тоже $35$ лет. А $1$ -го сентября несколько лет спустя король и королева заметили, что их суммарный возраст равен суммарному возрасту всех их детей. (Новых детей за это время не появлялось; никто из членов семьи за это время не умер.) Сколько детей у королевской четы, если известно, что их не больше $20?$ Укажите все возможные варианты через пробел.

Показать ответ и решение

Пусть у короля и королевы было $d≥ 1$ дочерей. Пусть также между двумя описанными моментами прошло $n$ лет.

Изначально разность суммарного возраста родителей и суммарного возраста детей равнялась $35+ 35− 35= 35$ лет, а через $n$ лет она стала равна $0.$ Поскольку каждый год эта разность уменьшалась на $d+ 3− 2 =d+ 1$ лет (ведь на 1 год становится старше каждый из $d+ 3$ детей и каждый из двух родителей), то

35= n(d+ 1).

Ясно, что $d+ 1≥ 2.$ Разберем несколько случаев

1.: $n =1$ и $d+ 1= 35.$ Тогда $d= 34,$ что невозможно, ведь детей не больше $20.$
2.: $n =7,d+ 1= 5.$ Тогда $d= 4$ и детей всего было $4+ 3= 7.$ Это возможно, например, если детей сначала сыновьям было $2,3,4$ года, а дочерям — $5,6,7,8$ лет. Тогда суммарно детям $35$ лет, а через $7$ лет им в сумме будет $84,$ как и королю и королеве в сумме.
3.: $n =5,$ $d +1= 7.$ Тогда $d= 6$ и детей всего было $9.$ Такой случай возможен, например, если в семье в первый момент времени трём сыновьям было $1,2,4$ года, а шести дочерям было $1,2,4,6,7,8$ лет. Тогда суммарно детям было $35$ лет — столько же, сколько лет королю и королеве. А через $5$ лет им суммарно стало $80$ лет, как и королю и королеве в сумме.

Ответ: 7 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#97759

В пустой поезд на станции «Школково» зашла группа людей. Среди них детей было вдвое меньше, чем мужчин, и на $10$ меньше, чем женщин. Сколько всего человек ехало в поезде, если известно, что женщин и мужчин было поровну?

Показать ответ и решение

Обозначим количество мужчин и женщин в поезде за $x$ , так как их равное количество. По условию количество детей равно половине всех мужчин, тогда получаем, что детей всего $x 2$ . С другой стороны, количество детей на $10$ меньше, чем всего женщин в поезде, что равняется $x − 10$ . Так как мы считали детей, то получаем следующее уравнение:

x x − 10= 2

Умножим обе части на $2$ :

2(x− 10)=x

2x− 20= x

2x− x= 20

x= 20

Получили, мужчин и женщин по $20$ , а детей всего $10$ . Итого пассажиров — $50$ .

Ответ: 50

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#61461

В наборе были гирьки массой $5,24$ и $43$ грамма, поровну каждого вида. Все имеющиеся гирьки взвесили, и масса оказалась равной $606060...60$ граммам. Докажите, что более $10$ гирек потеряно.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим количество гирек на весах каждого вида своей переменной и составим уравнение по условию.

Показать ответ и решение

Пусть гирек весами $5,24,43$ грамма на весах стало $x,y,z$ соответственно (если ничего не потеряно, то $x= y = z$ ). Тогда суммарная масса гирек равна $5x+24y+ 43z$ . Число $6060...60$ делится на $12$ (при делении будет $505...05$ ), значит,

5x+ 24y +43z = 5(x − z)+ 12(2y+ 4z)

делится на $12$ .

Отсюда сразу же следует, что $x − z$ делится на $12.$ Но тогда либо $x =z$ , либо количества гирек отличаются хотя бы на $12$ , а изначально их было поровну, так что хотя бы $12$ потеряно (это больше $10$ , что и требовалось доказать).

Если всё-таки $x =z$ , то суммарная масса равна $5x+ 24y+ 43x =24(2x +y)$ и делится на $24$ . Но число $6060...60$ не делится на $24$ (при делении на $12$ получается нечётное число $55 ...5$ , ещё на $2$ поделить нацело невозможно). Так что всё-таки такой случай невозможен.

Ответ:

что и требовалось доказать

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#63945

Фитнес-центр продал 515 годовых абонементов, базовая цена каждого из которых составляла 8000 рублей. При этом каждый $m$ -й продаваемый абонемент был акционный и продавался со скидкой, равной 1000 руб. Покупатель каждого четвертого акционного абонемента получал, сверх того, и дополнительную скидку в размере 1500 руб. Определите число $m$ , если итоговая выручка фитнес-центра от продажи абонементов составила 3 979 500 руб.

Источники: Миссия выполнима - 2023, 11.1 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В данной задаче проще считать не сумму, потраченную на покупку абонементов, а сумму скидок. Чему она равна?

Подсказка 2

Сумма скидок это 515*8000-3979500. Теперь остаётся лишь посчитать её другим способом и составить уравнение...

Подсказка 3

Будем рассматривать только абонементы со скидкой. Пусть со скидкой 1000+1500=2500 было продано x абонементов. Сколько тогда было продано со скидкой 1000?

Подсказка 4

Тогда со скидкой 1000 было продано "примерно в три раза больше", а если строго, то 3x+r, где r это 0, 1, 2 или 3. Теперь составляем уравнение в целых числах и находим из него x и r.

Подсказка 5

Как теперь найти m? Для этого достаточно найти количество всех билетов со скидкой 1000 и...

Подсказка 6

Разделить 515 на это количество.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — количество абонементов, проданных с максимальной ( $1000 +1500= 2500$ pуб.) скидкой. Количество остальных акционных абонементов тогда выражается формулой $3x+ r$ , где $r ∈{0,1,2,3}$ . При этом общая сумма скидок, равная $2500x +1000(3x+ r)= 5500x+ 1000r$ (руб.), равна с другой стороны $515 ⋅8000− 39795000 =140500$ (руб.)

Уравнение $5500x+ 1000r =1405000$ при $r= 0,1,2$ не имеет целых корней, а при $r= 3$ получается $x= 25.$ Искомое $m$ теперь находим как частное от деления 515 на $25+ 3⋅25+3 =103.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#66353

Дмитрий Алексеевич проводил разбор для трех школьников. Первый школьник услышал решение $15$ задач и заснул до конца разбора. Второй школьник услышал $12$ задач и заснул до конца разбора, а третий — всего $7,$ и также уснул. Оказалось, что один из школьников проспал в три раза больше задач, чем другой. А сколько задач проспал оставшийся школьник?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначьте неизвестной общее количество задач и запишите, сколько проспал каждый.

Подсказка 2

Теперь воспользуйтесь следующим полезным наблюдением: если одно из целых чисел в три раза больше другого, то их разность кратна двум.

Показать ответ и решение

Пусть всего задач $15+ x,$ тогда первый проспал $x,$ второй — $x+ 3,$ третий $x +8$ задач. При этом мы знаем, что одно из этих чисел в три раза больше некоторого другого. Для этого необходимо, чтобы их разность была кратна двум, а этому условию удовлетворяет только пара $(x,x+ 8).$ Отсюда $3x= x+ 8 ⇐ ⇒ x= 4.$ Отсюда оставшийся проспал $x+3 =7$ задач.

Ответ:

$7$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#68098

В Криптоландии в тире действуют следующие правила. Перед началом стрельбы стрелок приобретает 100 патронов. На мишени нарисованы три концентрические окружности радиусов 3, 6 и 12 сантиметров. За попадание в круг, ограниченный первой из них, даётся 3 очка и 4 дополнительных патрона. За попадание в кольцевую область между первой и второй окружностями даётся 2 очка и 3 дополнительных патрона. За попадание в зону между второй и третьей окружностями даётся одно очко и 2 дополнительных патрона. Если стрелок не попал в мишень, то ни очков, ни дополнительных патронов он не получает. Считаем, что в границы кругов стрелок не попадает. Стрельба заканчивается, когда у стрелка не остаётся ни одного патрона. Юра пошёл в тир и завершил стрельбу, допустив 2023 промаха. Сколько очков набрал Юра?

Источники: Межвед-2023, 11.6 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим кол-во выстрелов, за которые мы получили 1, 2 или 3 очка, за x, y и z соответственно. Тогда сколько всего выстрелов мы сделали?

Подсказка 2

2023 + x + y + z. А теперь попробуйте по-другому посчитать кол-во выстрелов, исходя из того, что за один из выстрелов мы получаем 3 дополнительных, за другой - 4, и за третий - 5, а в начале у нас было 100 патронов.

Подсказка 3

Еще поймите, что кол-во очков, набранных им - это x+2y+3z)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Заметим, что за каждый неудачный выстрел стрелок просто теряет один патрон, а за каждый удачный выстрел получает патронов на один больше, чем очков, но при этом теряет один патрон за этот выстрел. Получается, что очков суммарно получено столько же, сколько получено дополнительных патронов.

Так как стрелок промахнулся 2023 раза, то он получил $2023− 100= 1923$ дополнительных патрона. Столько он получил и очков.

Второе решение.

Пусть $n1,n2,n3−$ числа выстрелов, результатом которых было получение $1,2$ и $3$ очков соответственно. Тогда общее число выстрелов $m$ равно:

m = 2023+ n1+ n2+ n3.

Каждый выстрел приносит такие очки: $0,1,2,3.$ При этом с каждым результатом связано определённое число выстрелов, а именно:

1.: Если был промах, то этот результат не даёт дополнительных выстрелов, и с ним связан единственный выстрел, который и дал промах.
2.: Если было получено одно очко, то с этим результатом связано $3$ выстрела, а именно, тот, который дал этот результат, и плюс два дополнительных премиальных.
3.: Если было получено $2$ очка, то с этим результатом связано $4$ выстрела: один — который дал результат, и $3$ премиальных.
4.: Если было получено $3$ очка, то с этим результатом связано $5$ выстрелов (аналогичные рассуждения: один исходный $+ 4$ премиальных).

Тогда рассмотрим сумму:

2023 ⋅1 +n1⋅3+ n2⋅4+ n3⋅5+100

Заметим, что в этой сумме каждый выстрел учтен ровно два раза, тогда:

2023⋅1+n1 ⋅3 +n2⋅4+ n3⋅5+ 100 =2⋅m

n1+ 2n2+ 3n3 =2023− 100= 1923.

Заметим, что это выражение - количество набранных Юрой очков.

Ответ: 1923

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#71299

Фишка стоит на одном из полей бесконечной в обе стороны клетчатой полоски бумаги. Она может сдвигаться на $5$ полей вправо или на $7$ полей влево. Сможет ли она переместиться в соседнюю справа клетку?

Показать ответ и решение

Пусть фишка сделала $x$ шагов вправо и $y$ шагов влево. Тогда она сместилась на $5x− 7y$ клеток вправо (при отрицательном значении этого выражения смещение происходит влево). Нам же надо переместить фишку на соседнюю справа клетку, другими словами, найти какое-нибудь решение уравнения $5x − 7y = 1$ в натуральных числах. Подходит, например, $x =3$ , $y = 2$ , то есть 3 шага влево и 2 шага вправо.

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#71301

На прямой сидит блоха, которая может прыгать либо на 15 сантиметров, либо на 21 сантиметр (в обе стороны). В каких точках прямой она может побывать?

Показать ответ и решение

Пусть прыжков длиной 15 сантиметров вправо было сделано на $x$ больше, чем таких же прыжков влево, аналогично введем $y$ как разницу между количеством прыжков вправо и влево на 21 сантиметр.

Тогда блоха оказалась в точке с координатой $15x+ 21y$ (если это число отрицательно, то левее изначальной точки).

Таким образом, нас интересует, при каких $s$ уравнение $15x+ 21y =s$ имеет решение.

Если $.. s. НОД (15,21)= 3$ , то такие $x$ и $y$ существуют. Наоборот, если $s$ не делится на 3, то блоха в такой точке оказаться не может.

Ответ: во всех точках, отстоящих от изначальной на кратное 3 число сантиметров

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#97443

Салон сотовой связи продал $495$ телефонов, базовая цена каждого из которых составляла $5000$ руб. При этом каждый $m$ -й продаваемый телефон был акционный и продавался со скидкой, равной $500$ руб. Покупатель каждого третьего акционного телефона получал, сверх того, и дополнительную скидку в размере $750$ руб. Определите число $m,$ если итоговая выручка салона от продажи телефонов составила 2 413 750 руб.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что для такой задачи надо составить уравнение для дальнейшего решения, что стоит взять за x?

Подсказка 2

Пусть, x — количество телефонов, которые были проданы с максимальной скидкой. Как тогда можно выразить количество телефонов, которые были проданы со скидкой в 500 рублей?

Подсказка 3

Количество телефонов со скидкой 500 рублей равно 2x + r, где r — число от 0 до 2 (так как количество телефонов, которые были проданы со скидкой, может не делиться на 3). Какое уравнение тогда можно составить?

Подсказка 4

Мы знаем, что выручка равна 2413750, а если каждый телефон был бы продан без скидки, то получилось бы 495*500. Значит, скидка составила 61250 рублей. Тогда имеет место такое уравнение: 1250x + 500*(2x+r) = 61250. Остаётся решить это уравнение при разных r и задача решена!

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — количество телефонов, проданных с максимальной $(500 +750= 1250$ руб.) скидкой. Количество остальных акционных телефонов тогда выражается формулой $2x +r$ , где $r∈ {0,1,2}$ . При этом общая сумма скидок, равная $1250x +500(2x+ r)=2250x+ 500r$ (руб.), равна с другой стороны $495 ⋅5000− 2413750 =61250$ (руб.).

Уравнение $2250x+ 500r =61250$ при $r =0$ и $r= 2$ не имеет целых корней, а при $r= 1$ получается $x =27$ . Искомое $m$ теперь находим как неполное частное от деления 495 на $27+ 2⋅27+ 1= 82$ .

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#100429

По законам королевства Арадон в хозяйстве каждой семьи может содержаться не более трёх животных. В хозяйстве семьи Арад были корова породы Швиц, лошадь и козочка Дона. Для содержания животных в холодное время года семья заготовила сено. Сын хозяина Дар подсчитал и сказал отцу, что этого сена хватит, чтобы кормить козочку и лошадь один месяц, или козочку и корову $3 4$ месяца, или же корову и лошадь $1 3$ месяца. Объясните, почему отец сказал, что сын плохо учится в школе.

Источники: Муницип - 2023, Орёл, 7.2 (см. tasks.olimpiada.ru)

Показать доказательство

Пусть корова поедает в месяц $x$ стогов, лошадь — $y$ , козочка — $z$ . Сын считает, что

-1-- -1-- 3 -1-- 1 y+ z = 1,z+x = 4,x+ y = 3

Но тогда

y+z =1,z+ x= 4,x+ y = 3 3

Поскольку $1+ 43 < 3$ , то выходит

(y+ z)+(z+ x)<x +y,

отсюда $z <0$ , что невозможно.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#100431

Шнур длиной $3$ м состоит из нескольких зеленых и нескольких красных участков. Зеленый участок горит со скоростью $3$ см/сек, а красный — со скоростью $2$ см/сек. Когда шнур подожгли одновременно с двух концов, он сгорел за $59$ секунд. Какова суммарная длина красных участков шнура? Ответ запишите в см.

Источники: Муницип - 2023, Киров, 7.5 (tasks.olimpiada.ru)

Показать ответ и решение

Очевидно, если шнур поджечь с одного конца, он будет гореть вдвое дольше, чем подожженный с двух концов, то есть 118 секунд. Пусть общая длина красных участков — $x$ см. Тогда общая длина зеленых — $300− x$ см, и веревка, подожженная с одного конца, будет гореть $x∕2+ (300− x)∕3$ сек. Решая уравнение $x∕2+ (300− x)∕3= 118$ , находим $x = 108$ .

Ответ: 108

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#31284

Артемон подарил Мальвине букет из аленьких цветочков и чёрных роз. У каждой чёрной розы $4$ пестика и $4$ тычинки, а на стебле два листка. У каждого аленького цветочка $8$ пестиков и $10$ тычинок, а на стебле три листка. Листков в букете на $108$ меньше, чем пестиков. Сколько тычинок в букете?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте введем переменные для количества цветов: Пусть аленьких цветочков x штук, а черных роз y штук.

Подсказка 2

Составим уравнение, опираясь на то, что разность числа пестиков и числа листков равна 108.

Подсказка 3

Нам необходимо найти число тычинок в букете. Выразим его через x, y и сравним это выражение с уравнением из предыдущего пункта.

Показать ответ и решение

Обозначим количество аленьких цветочков через $x$ , а количество черных роз — через $y$ . Тогда листков в букете $2y+3x$ , а пестиков — $4y+8x$ . При этом известно, что листков на 108 меньше, чем пестиков, значит, $4y+ 8x− (2y+ 3x)=108$ , откуда $2y+ 5x= 108$ .

Тычинок же в букете $4y+ 10x$ , что в 2 раза больше, чем $2y +5x$ . Таким образом, тычинок $108⋅2= 216$ .

Ответ:

$216$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#31285

Коля и Вася за осень получили по $60$ оценок, причем Коля получил пятерок столько же, сколько Вася четверок, четверок столько же, сколько Вася троек, троек столько же, сколько Вася двоек, и двоек столько же, сколько Вася пятерок. При этом средний балл у них одинаковый. Сколько двоек за осень получил Коля?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте введем переменные для каждой оценки Коли. Например, х для пятерок, у для четверок, z для троек и t для двоек. Запишите теперь количество каждого вида оценок Васи, выраженное через эти же переменные! Составьте уравнения!

Подсказка 2

Да, мы можем составить одно уравнение, опираясь на суммарное количество оценок и второе, опираясь на то, что средние арифметические баллы мальчиков равны. Помните, что нам не нужно искать x, y и z, а нам нужно найти только t!

Подсказка 3

Давайте в обоих уравнениях сделаем с одной стороны одно и то же выражение, зависящее от х, у и z, чтобы с другой стороны были различные выражения от t, которые мы сможем приравнять и найти t!

Показать ответ и решение

Обозначим количества пятерок, четверок, троек и двоек, полученных Колей, через $x,y,z$ и $t$ соответственно. Тогда средний балл Коли равен $(5x +4y+ 3z+2t)∕60.$ Те же самые переменные будут обозначать для Васи количество четверок, троек, двоек и пятерок соответственно. Значит, его средний балл будет равен $(4x+3y+ 2z+ 5t)∕60.$ Приравняем средние баллы:

5x+ 4y+ 3z+2t 4x+ 3y+ 2z +5t x+ y+ z− 3t ------60-----= ------60------ ⇔ ----60----= 0 ⇔ x+ y+z =3t

Кроме того, по условию

x+ y+z +t= 60 ⇔ x +y+ z = 60− t

Тогда получаем равенство

60 − t= 3t ⇔ t= 15

Ответ:

$15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#31289

Род Муромцевых (ныне, увы, прекратившийся) основали трое сыновей Ильи Муромца. Все мужчины в этом роду имели по трое детей, за исключением семерых, не оставивших потомства. Всего в роду были $1994$ женщины. Сколько всего человек было в роду Муромцевых? Роду принадлежали основатели, а также те и только те дети, чей отец принадлежал роду.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначьте число всех мужчин в роду за х. Как будет выражаться общее число людей в роду, если мы запишем его, как сумму мужчин и женщин?

Подсказка 2

Теперь давайте по-другому выразим общее количество людей в роду.

Подсказка 3

Теперь, когда мы выразили общее число людей в роду двумя способами мы можем приравнять эти выражения, и найти х.

Подсказка 4

Остается ответить на вопрос задачи. Мы нашли, чему равно количество мужчин в роду, остается прибавить к нему количество женщин, и мы найдём, сколько человек было в роду Муромцевых.

Показать ответ и решение

Обозначим количество всех мужчин в роду (в том числе основателей) через $x$ . Посчитаем двумя способами количество людей в этом роду. С одной стороны, их, очевидно, $x +1994$ , ведь всех людей можно посчитать, сложив мужчин и женщин.

С другой стороны, каждый человек в этом роду, кроме основателей, является ребенком одного из мужчин этого рода. По условию, каждый мужчина, кроме семерых, имел трое детей. Отсюда следует, что детей в этом роду было $3⋅(x− 7)$ . Непосчитанными остались лишь сами основатели, поэтому в итоге получается $3⋅(x− 7)+ 3$ .