Чётность

Пусть в турнире участвовали игроков. Они должны были сыграть партий, из них партий сыграли друг с другом невыбывшие игроки. По условию

откуда или 9.

В обоих случаях число несостоявшихся партий нечётно. Ещё из условия следует, что у выбывших осталось не сыграно по одинаковому числу партий. Сумма этих чисел чётна, значит, не равна общему числу несостоявшихся партий. Такое возможно в единственном случае: когда партия между выбывшими учитывается в сумме дважды. Значит, выбывшие не играли между собой.

Среди пяти чисел в сумме точно есть одно чётное, так как если все числа нечётные, то и их сумма нечётная, а чётное. Значит, есть одно чётное число, а нечётное. Такого быть не может.

Рассмотрим любой квадратик в нашем квадрате. Изначально все клетки в нем белые. Заметим, что любая операция внутри нашего маленького квадрата не меняет четность количества белых клеток. Действительно, либо операция никак не изменяет наш квадрат, либо меняет цвета только клеток. Если эти клетки белого цвета, тогда количество белых клеток в квадратике уменьшилось на (но четность не поменялась), если обе клетки чёрные, то количество белых клеток в квадратике увеличилось на (но четность опять не поменялась), если же клетки были разных цветов, то количество белых клеток в квадратике просто не поменяется. Итого, в любом квадратике будет четное число белых клеток, если изначально их там так же было четно. Но в квадрате который мы хотим получить, угловой квадратик имеет нечетное количество белых клеток. Противоречие.

Рассмотрим все понедельники в году. Каждый из сотрудников отдыхал ровно в одном из них. Значит, суммарно в понедельники отдыхали человек. Но ведь найдётся понедельник, в который отдыхало нечётное количество человек. Аналогично с остальными днями недели.

Предположим, что такого человека нет. Значит, рядом с каждым стоит ровно по одному северянину. Будем обозначать за Х не северянина. Тогда рядом с каждым Х стоит один Х и один С(северянин). Получается, Х разбиваются на изолированные пары: СХХС. Всего Х что нечётно. Значит, такой ситуации быть не может.

Пусть в каждом кармане было по монет, а орлов выпало , тогда решек выпало . Их разность: — чётное число и не может равняться 7.

Каждое из чисел 1, 3 и 5 нечетно, поэтому сумма 20 таких чисел будет четна. Но число 51 нечетно, значит, сумма 20 чисел, каждое из которых равно 1, 3 или 5, не может равняться 51.

Рассмотрим два случая. Если хотя бы одно из чисел четно, то произведение этих чисел также четно, значит, после домножения произведения на сумму чисел мы получим четное число. Но 20192019 нечетно, значит, этот случай невозможен.

Если оба числа нечетны, то сумма этих чисел четна, значит, после домножения на их произведение мы получим четное число. Но, опять же, 20192019 нечетно, значит, этот случай также невозможен.

Посчитаем суммарную массу всех пончиков Лосяша. Так как все массы, кроме одной, четны, а последняя масса нечетна, то суммарная масса всех пончиков нечетна. Поэтому суммарная масса всех пончиков не делится на 2, и Лосяш не сможет разделить пончики так, чтобы Барашу и Нюше досталась одинаковая масса пончиков.

Так как две палаты состоят из равного количества депутатов, и все голосовали, общее количество голосовавших четно. При этом если кандидатура принята с перевесом в 25 голосов, то это означает, что количества проголосовавших “за” и “против” отличаются на 25, то есть имеют разную четность. Но их сумма равна общему числу голосов, то есть должна быть четна! Именно это и насторожило оппозицию.

Заметим, что номера страниц на каждом тетрадном листе — последовательные натуральные числа, значит, одно из них четное, а другое нечетно. Значит, сумма номеров страниц на каждом листе нечетна. Сложив 25 таких сумм, мы получим снова нечетное число, а число 2018 четное. Поэтому найденная сумма не может оказаться равной 2018.

Заметим, что среди выписанных чисел ровно 5 нечетных: 1, 3, 5, 7 и 9. При этом на четность результата не влияет, складываем мы числа или вычитаем. Поэтому можно считать, что все выставленные знаки — “”, и найти четность суммы. Так как нечетных числе нечетное количество, то сумма нечетна. Значит, она нечетна при любой расстановке знаков. Но 0 — четное число, ведь оно делится на 2. Поэтому получить в результате 0 у Нюши не выйдет.

Заметим, что каждый присутствующий курсант при получении листочка меняет четность написанного на листочке числа. Изначально написанное число 50 – четно. Если бы присутствовали все курсанты, то это число изменило бы четность 40 раз, то есть изменило четность четное число раз. Значит в итоге число осталось бы той же четности. Но 13 — нечетное число, поэтому на занятии не могут присутствовать все курсанты.

Так как соседи каждого вставшего в круг разного пола, то мальчики и девочки в этом кругу чередуются. Это в частности означает, что мальчиков и девочек в нем поровну. Значит, девочек в кругу тоже 7, но одна из них — сама Нюша. А девочек-друзей у нее шестеро.

Посмотрим на шахматную доску внимательно. Обычная шахматная доска раскрашена в два цвета — черный и белый.

При этом ладья каждым ходом меняет цвет клетки, на которой стоит, ведь все соседние по стороне клетки другого цвета. Значит, на нечетных ходах ладья будет стоять на клетке цвета, отличного от изначального, а на четных ходах — на клетках того же цвета, что и изначально. Но в итоге она вернулась на исходную клетку, то есть на клетку того же цвета. Это и означает, что ладья сделала четное число ходов. Но число 49 нечетно, поэтому ровно 49 ходов Совунья сделать не могла.

Если произведение 4 натуральных чисел нечетно, то все эти 4 числа обязательно нечетны. Но сумма 4 нечетных чисел четна, значит, Совунья не права.

Покрасим четные числа в красный цвет, а нечетные в синий. Так как по кругу стоят 11 чисел, то красные и синие числа не могут чередоваться, то есть идти в порядке …К-С-К-С…. Это значит, что найдутся два одноцветных рядом стоящих числа, то есть два соседних числа одной четности. Тогда их сумма четна, и Бараш сможет указать именно эти два числа.

Если бы так случилось, что количества испачканных краской клеток и неиспачканных отличаются на 9, то эти количества были бы разной четности. Тогда их сумма нечетна. Но их сумма равна общему числу клеток на шахматной доске, то есть равна 64 — четному числу, чего быть не может. (Как будто бы не может быть что 64 - четное число) Значит, такого быть не могло.

Будем решать задачу от противного. Рассмотрим разложение чисел на простые множители, представив каждое число в виде . Посмотрим, что происходит при переходе от одного числа к другому. У нас либо добавляется, либо пропадает один простой множитель, либо одна из изменяется на 1. В любом случае сумма изменяется на 1, то есть меняет чётность. Значит, чётность этой суммы должна чередоваться — но это невозможно, если чисел всего 2021, то есть нечётное количество.

Из условия следует, что зелёные дарили кактусы фиолетовым, а фиолетовые — зелёным. Так как общее количество человечков нечетно, то какого-то вида больше, чем другого. Допустим, что зелёных больше, тогда какому-то зелёному человечку кактуса не досталось.