Тема АЛГЕБРА

Классические неравенства → .04 Оценки в классических неравенствах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Классические неравенства

Раскрытие и закрытие скобок

Правильная замена и преобразование выражений

Неравенство о средних

Оценки в классических неравенствах

Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна)

Идеи метода Штурма

Транснеравенство

pqr-метод

Неравенства Мюрхеда и Шура

Метод отделяющей касательной

Неравенство Гёльдера

Неравенство Йенсена

Использование производной и экстремумов в классических неравенствах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#105149Максимум баллов за задание: 7

На доске написано четыре положительных числа. Докажите, что какие-то два из них отличаются меньше, чем на треть суммы двух остальных.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Упорядочим числа. Если разность двух меньших чисел не превосходит трети суммы двух больших, то задача решена. А как доказать это в противном случае?

Подсказка 2

Верно! Если a₁ ≤ a₂ ≤ a₃ ≤ a₄, то a₂ > a₂ - a₁, и в силу условия в рассматриваемом случае получаем, что a₂ > 2a₃/3. А что можно теперь сказать про разность a₃ и a₂?

Показать доказательство

Пронумеруем числа по возрастанию: $a ≤ a ≤ a ≤a . 1 2 3 4$ Сравним $a − a 2 1$ и $a3+a4. 3$ Если первое меньше, задача решена. Пусть $a3+a4- a2− a1 ≥ 3 .$ Тогда построим цепочку неравенств:

a3+ a4 2a3 a2 >a2− a1 ≥--3---≥ -3-

Отсюда получаем, что

a a a +a a3− a2 <-33 ≤ 43-<-43-1-

Таким образом, в этом случае задача также решена.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#108624Максимум баллов за задание: 7

Найдите множество значений выражения

----ac--- ab+ ac+bc

при условии, что $a,b$ и $c$ — положительные числа, удовлетворяющие неравенствам $a≤ b≤ c$ .

Источники: Миссия выполнима - 2020, 11 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем достаточно грубо оценить дробь сверху. Что для этого можно сделать?

Подсказка 2

Попробуем уменьшить знаменатель и воспользоваться неравенством из условия.

Подсказка 3

Здорово, нашу дробь можно оценить сверху как a/(a+b). А как воспользоваться условием?

Подсказка 4

Докажем, что дробь может принимать любое значение в (0, 0.5). Для этого достаточно лишь явно выразить числа друг через друга, или, скажем, другую переменную t!

Показать ответ и решение

Так как $a,b$ и $c−$ положительные числа, то $--ac--> 0 ab+ac+bc$ . В то же время

ac ac a a 1 ab+-ac+bc < ac+-bc = a+-b ≤ a+-a = 2.

Покажем, что произвольное число $t$ из интервала $( ) 0;12$ входит в искомое множество.

При $0< t≤ 13$ равенство $ab+aacc+bc = t$ выполняется, если $a= 1t−2t,b= c= 1$ . Заметим, что так как $t≤ 13$ , то $a= 1−t2t ≤ 1$ .

При $13 ≤t< 12$ можно положить $a= b= 1,c = 1−t2t-$ . Легко проверить, что в этом случае $c= 1t−2t ≥1$ . Итак, искомое множество есть интервал $( ) 0;12$ .

Ответ:

$(0;1 ) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#105150Максимум баллов за задание: 7

Даны различные натуральные числа $a,$ $b,$ $c,$ $d.$ Докажите, что

2 2 2 2 2 2 (a− b) + (a− c)+ (a− d) + (b− c) +(b− d) + (c− d) ≥20

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Переобозначим наши числа и упорядочим x₁ ≤ x₂ ≤ x₃ ≤ x₄. Как тогда можно оценить квадрат разности двух из них?

Подсказка 2

Верно! Квадрат разности i-го и j-го не меньше квадрата (i-j). В каком тогда случае достигается минимум?

Подсказка 3

Точно! Когда наши числа являются перестановкой последовательных натуральных чисел! Какая тогда выходит оценка?

Показать доказательство

Упорядочим наши числа и обозначим их в порядке возрастания через $x ,...,x . 1 4$ Очевидно, $(x − x)2 i j$ не меньше квадрата разности номеров чисел $i$ и $j.$ Следовательно, минимума сумма из условия достигает, когда $a,b,c,d$ — перестановка четырёх последовательных натуральных чисел. Но тогда сумма квадратов разностей как раз равна $1+1 +1+ 4+ 4+ 9= 20.$