Тема АЛГЕБРА

Классические неравенства → .02 Правильная замена и преобразование выражений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Классические неравенства

Раскрытие и закрытие скобок

Правильная замена и преобразование выражений

Неравенство о средних

Оценки в классических неравенствах

Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна)

Идеи метода Штурма

Транснеравенство

pqr-метод

Неравенства Мюрхеда и Шура

Метод отделяющей касательной

Неравенство Гёльдера

Неравенство Йенсена

Использование производной и экстремумов в классических неравенствах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#96366Максимум баллов за задание: 7

Ненулевые числа $a,$ $b,$ $c$ таковы, что $ax2+ bx +c> cx$ при любом $x.$ Докажите, что $cx2− bx+ a> cx − b$ при любом $x.$

Источники: Всеросс., 2010, ЗЭ, 10.5(см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите на выражения в неравенствах как на квадратные трëхчлены относительно x.

Подсказка 2

Осталось вспомнить, в каких случаях квадратный трëхчлен может целиком лежать выше оси абсцисс.

Показать доказательство

Если квадратный трёхчлен $ax2+ (b− c)x+ c> 0$ при всех $x,$ то это значит, что его дискриминант $(b− c)2− 4ac< 0.$ Ещё мы можем понять, что $c >0,$ подставив $x =0.$ Нас же просят доказать, что дискриминант трёхчлена $2 (b+ c) − 4c(a+ b)$ также меньше $0.$ Если заметить, что $2 2 (b+c) − 4bc= (b− c),$ то становится ясно, что второе неравенство идентично первому. Тогда получаем, что у графика трёхчлена ветви направлены вверх и его дискриминант отрицательный. Значит, неравенство верно.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#75855Максимум баллов за задание: 7

Даны положительные числа $a,b,c$ такие, что

1 1 1 a +b+ c= a + b + c

Докажите неравенство

1 1 1 3 (2a+-b+c)2 + (2b+-a+-c)2-+(2c+a-+b)2 ≤ 16

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Самой сложной частью доказательства задач подобного вида, как правило, является поиск правильного подхода к дробям. Одно из самых естественных действий — приведение дробей к общему знаменателю, но делать это для исходного выражения довольно сложно, а с полученным видом выражения будет сложно работать. Чтобы привести дроби к общему знаменателю необходимо оценить исходное неравенство суммой дробей, знаменатели которых имели бы попарные общие множители. Как это можно сделать?

Подсказка 2

Работать с квадратами сложно, а избавиться от них можно, если применить неравенство между средним арифметическим и геометрическим для двух чисел (тогда корень из произведения двух исходных чисел будет возведен в квадрат). Как же все таки привести исходные дроби к новому виду, чтобы их знаменатели имели попарные общие множители?

Подсказка 3

Каждую из дробей можно оценить как 1/(2a+b+c)^2 ≤ 1/{4(a+b)(a+c)} - квадраты ушли, у знаменателей новых дробей появились общие знаменатели. Это было необходимо для приведения полученных дробей к общему знаменателю. Сделайте это

Подсказка 4

Таким образом, исходную сумму мы оценили сверху как (a+b+c)/(2(a+b)(b+c)(c+a)). Сумма всех переменных чисел в числителе это хорошо, поскольку нам дано условие на нее, а вот с произведением попарных сумм работать куда сложнее. Как можно оценить его через сумму данных чисел?

Подсказка 5

Докажите неравенство 9(a+b)(b+c)(c+a)≥8(a+b+c)(ab+bc+ca). Таким образом, исходное выражение можно оценить как 9/{2*8(ab+bc+ca)}. Какую оценку необходимо доказать для числа ab+bc+ca, чтобы завершить доказательство неравенства?

Подсказка 6

Достаточно доказать, что это число не меньше 3. Мы еще не воспользовались условием a+b+c=1/a+1/b+1/c. Что оно значит для суммы попарных произведений?

Подсказка 7

Что ab+bc+ca=abc(a+b+c). Как это помогает в доказательстве неравенства?

Подсказка 8

Теперь достаточно проверить, что (ab+bc+ca)^2 ≥ 3abc(a+b+c) — это же неравенство верно для произвольных чисел. Докажите данное неравенство и тем самым завершите доказательство.

Показать доказательство

Пусть $x,y,z$ — положительные действительные числа, тогда по неравенству между средним арифметическим и геометрическим верно, что

∘---------- 2x +y+ z = (x+ y)+ (x+ z)≥ 2 (x+ y)(x+ z)

мы имеем

----1----- -----1----- (2x+y +z)2 ≤ 4(x +y)(x+z)

Применив полученное неравенство для каждого слагаемое в левой части, мы получим

----1----- ----1----- ----1----- -----1----- -----1----- -----1----- (b+c)+-(c+-a)+(a+-b) ----a+-b+-c----- (2a +b+ c)2+ (2b+ c+ a)2+ (2c+ a+b)2 ≤ 4(a+b)(a +c)+4(b+c)(b+ a)+4(c+a)(c+ b) = 4(a+ b)(b+ c)(c +a) = 2(a +b)(b+ c)(c+a)

Кроме этого по неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим верно, что

a2b+a2c+ b2a+ b2c+c2a+ c2b≥ 6abc

или, эквивалентное ему,

9(a +b)(b+ c)(c+a)≥ 8(a +b+ c)(ab+bc+ ca)

Условие $1a + 1b + 1c = a+ b+c$ можно переписать в виде

ab+ bc+ca= abc(a+ b+c)

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим верно, что $2 2 22 2 xy + x z ≥2x yz.$ Следовательно,

a2b2+b2c2+c2a2 ≥ a2bc+ ab2c+ abc2

что эквивалентно

2 (ab+ bc+ca) ≥ 3abc(a+ b+ c)

Совмещая полученные неравенства, мы можем завершить доказательство:

-----a+-b+c----- (a+b+-c)(ab+-bc+-ca) ab+-bc+ca- -abc(a-+b+-c) -9- 1 3- 2(a+ b)(b+c)(c+ a) = 2(a +b)(b+ c)(c+ a) ⋅abc(a+ b+c) ⋅(ab+bc+ ca)2 ≤ 2⋅8 ⋅1 ⋅3 = 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 63#96367Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные $n> 1$ такие, что для любого набора действительных чисел $x , 1$ $x , 2$ …, $x n$ выполнено неравенство

2 2 2 x1+ x2 +...+ xn ≥ xn(x1 +x2+ ...+ xn−1)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте рассмотреть выражение как квадратный трëхчлен относительно какой-то переменной. Притом авторы задачи как будто бы намекают, относительно какой.

Подсказка 2

Вероятно, вы поняли, что нужно работать с дискриминантом. Но по-прежнему непонятно, как найти нужные n. Попробуйте поподставлять какие-то простые наборы значений для x_i и посмотрите, чему равен дискриминант.

Показать ответ и решение

Перенесём всё влево и рассмотрим выражение слева как квадратный трёхчлен относительно $x . n$ Из неравенства следует, что его дискриминант всегда неположителен:

2 2 2 2 (x1+x2+ ...+ xn−1)− 4(x1 +x2+ ...+ xn− 1)≤ 0

Заметим, что если взять все $x i$ по $1,$ то при $n≥ 6$ дискриминант примет положительные значения. Значит, $n ≤5.$

При $n =5$ имеем:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 (x1+x2+ x3+ x4) − 4(x1+ x2+ x3 +x4)= 2(x1x2+ ...+x3x4)− 3(x1+ x2 +x3+ x4)=

2 2 2 2 2 2 = −(x1− x2) − (x1− x3)− (x1− x4) − (x2− x3)− (x2 − x4) − (x3− x4) ≤ 0

При $n =4$ неравенство сведётся к $2(x1x2 +x1x3+ x2x3)≤ 3(x21+ x22+ x23).$ Оно следует из неравенства

x x +x x + xx ≤ x2+ x2+x2 12 1 3 2 3 1 2 3

При $n =3$ имеем:

(x1+ x2)2 − 4(x21+x22)= 2x1x2− 3x21− 3x22 = −(x1− x2)2− x21− x22 ≤0

При $n =2$ дискриминант равен $x21 − 4x21 = −3x21 ≤ 0.$

Ответ:

$n =2,3,4,5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 64#74721Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любых вещественных чисел $a$ и $b$

2 2 a + ab+ b ≥ 3(a+ b− 1)

Источники: Всеросс., 1993, РЭ, 9.1(см. math.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, что наше неравенство выглядит не очень красивым. Поэтому классическими неравенствами будет пользоваться тяжеловато. Но, если посмотреть на это неравенство при фиксированном b, оно не такое уж страшное...

Подсказка 2

Давайте перенесем все в левую часть и рассмотрим получившееся выражение как квадратное, относительно a. Это будет парабола с ветвями вверх. При каком условии она будет принимать неотрицательные значения?

Подсказка 3

Верно, если дискриминант будет не больше 0! Посчитайте его и убедитесь, что это действительно так!

Показать доказательство

Перенесём всё влево и рассмотрим получившееся выражение как квадратный трёхчлен относительно $a$ :

2 2 a +(b− 3)a+ b − 3b+ 3≥ 0

Его дискриминант равен $− 3(b− 1)2$ , то есть он неположительный, а старший член положительный, значит этот трёхчлен принимает только неотрицательные значения.

Предыдущая подтема

Следующая подтема