Тема АЛГЕБРА

Классические неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Классические неравенства

Раскрытие и закрытие скобок

Правильная замена и преобразование выражений

Неравенство о средних

Оценки в классических неравенствах

Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна)

Идеи метода Штурма

Транснеравенство

pqr-метод

Неравенства Мюрхеда и Шура

Метод отделяющей касательной

Неравенство Гёльдера

Неравенство Йенсена

Использование производной и экстремумов в классических неравенствах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 81#80576Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $a,b,c$ докажите неравенство

-a2+-b2-- -b2+-c2-- -c2+-a2- --1-- --1-- --1-- a2+b+ b2 + b2+c+ c2 + c2+a +a2 ≥3− 2a+ 1 − 2b+ 1 − 2c+1

Показать доказательство

Перенесём дроби из левой части в правую, а из правой — в левую:

--1-- --1-- -1--- -a2+-b2- --b2+-c2- --c2-+a2- 2a+ 1 + 2b+1 + 2c+1 ≥3− (a2+ b+b2 + b2+ c+c2 + c2+ a+ a2)

Запишем правую часть следующим образом: $a2+b2 b2+c2 c2+a2 b c a (1− a2+b+b2)+(1− b2+c+c2)+(1− c2+a+a2)= a2+b+b2 + b2+c+c2 + c2+a+a2.$ Теперь неравенство выглядит так:

2a1+-1 + 2b1+1-+ 21c+1-≥ a2-+bb+-b2 + b2-+cc+-c2 + c2+aa-+a2

Заметим, что:

----b--- ≤ --b--= --1-- a2+ b+ b2 2ab+ b 2a+ 1

Если написать такие неравенства для других дробей из правой части и сложить полученные неравенства, мы получим требуемое.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 82#80577Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что при $x,y,z ∈[0,1]$ выполнено неравенство

2 2 2 x + y + z ≤xyz+ 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте рассмотреть это неравенство как неравенство от одной переменной.

Подсказка 2

Итак, какую переменную ни взять как основную, это всегда будет квадратный трëхчлен. Осталось наложить условия, чтобы на отрезке от 0 до 1 он был неположительным.

Показать доказательство

Рассмотрим это неравенство как квадратичное относительно $x :$

2 2 2 x − yzx +y + z − 2 ≤0

Надо доказать, что квадратный трёхчлен с ветвями вверх на отрезке $[0;1]$ меньше оси $x.$ Для этого необходимо и достаточно, чтобы в $0$ и $1$ он принимал неположительные значения. То есть надо доказать, что $y2 +z2 ≤ 2$ и $y2 − yz+ z2 ≤ 1.$ Первое неравенство очевидно, потому что $y2 ≤ 1$ и $z2 ≤1.$

Второе неравенство докажем аналогичным способом, рассмотрим его как квадратное относительно $y$ и покажем, что в $0$ и в $1$ функция неположительна: $z2 ≤1$ и $z2− z+ 1≤1.$ Эти неравенства очевидны.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 83#81509Максимум баллов за задание: 7

Вещественные числа $a,b,x,y$ таковы, что $a> b> 0$ и $x< y. a b$ Докажите неравенство

1 (x y) x+-y 2 ⋅ a + b > a +b

Показать доказательство

Зафиксируем значения переменных $y,b,c.$ Тогда достаточно доказать, что линейная функция

x- -x-- -y-- y- (--b− a-) ( -a−-b-) f = 2a − a+ b − a+ b + 2b = x 2a(a+b) +y 2b(a+ b)

от переменной $x$ положительна на промежутке $(−∞, aby).$ При этом $a> b,$ следовательно, $2a >a +b,$ а значит $21a < 1a+b,$ тем самым коэффициент перед $x$ отрицателен, что показывает то, что для всех $x$ на промежутке $(− ∞,ayb )$ верно неравенство

( ) ( ) f(x)> f(ay)= ay --b−-a- +y -a−-b-- = b b 2a(a+ b) 2b(a+ b)

= y( -b−-a-)+ y( -a−-b-)= 0 b 2(a+ b) b 2(a+ b)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 84#81510Максимум баллов за задание: 7

Для фиксированного $a> 0$ найдите максимум

n∑ (a− a1)(a− a2)...(a− ak−1)ak(a− ak+1)...(a− an) k=1

где $a1,a2,...,an$ лежат на отрезке $[0,a].$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрите выражение как линейную функцию относительно aᵢ. В какой точке может достигаться максимум?

Подсказка 2

Линейная функция в любом случае монотонна, а, значит, максимум либо при минимальном значении(0), либо при максимальном(a). Что можно сказать про выражение, если все ашки равны либо 0, либо a?

Показать ответ и решение

Рассмотрим нашу сумму как функцию от $a. i$ Каждое из слагаемых — линейная функция (либо константа) от $a. i$ Тогда сумма линейных функций от $ai$ — линейная функция (либо константа). Максимум линейной функции (константы в том числе) достигается на одном из концов. Тогда $ai ∈ {0,a}.$ Но так можно рассуждать для любой из переменных. Получаем, что в точке максимума функции, каждая из переменных принимает значение либо $0,$ либо $a.$

Если хотя бы $2$ переменные равны $a,$ то любое из слагаемых равно $0,$ тогда и вся сумма равна $0.$

Если все переменные равны $0,$ то каждое слагаемое снова равно $0,$ т.е. вся сумма снова равна $0.$

Получается, что среди переменных есть ровно одна, равная $a,$ а остальные нули. Тогда у нас ровно одно ненулевое слагаемое, равное $n a .$ Получается, это и есть наш максимум.

Ответ:

$an$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 85#81511Максимум баллов за задание: 7

Даны вещественные $x,y,z ∈ [0,1].$ Какое минимальное значение может принимать выражение $y2(x +z)− y(x2+ z2)?$

Показать ответ и решение

Выражение $− yx2+ y2x$ является квадратичной функцией от $x.$ Поскольку коэффициент перед $x2$ отрицателен, своего минимума на каждом отрезке достигается на одном из его концов. Таким образом, минимальное значение равно $0$ или $2 − y +y .$ Последнее является квадратичной функцией от $y$ , минимум которой достигается в точке $--1-- 1 −2(−1) = 2$ и равен $1 − 4.$ Таким образом,

2 2 1 −yx + yx ≥− 4

Аналогично

−yz2+ y2z ≥− 14

Складывая, полученные неравенства, имеем

y2(x +z)− y(x2+ z2)≥− 1 2

Равенство достигается при

x= z = 1,y = 1 2

Ответ:

$− 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 86#81512Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b,c$ лежат в промежутке $[1,2].$ Найдите минимум

a b c b + c + a

Показать ответ и решение

Зафиксируем числа $b$ и $c.$ Рассмотрим функцию

a b c f(a) = b + c + a

Тогда

1 c f′(a)= b − a2,

а значит, $f$ убывает при $1b ≤ac2,$ то есть при $√-- a ≤ bc≤ max{b,c}< 2,$ тем самым достигает минимума при $√ -- a = bc.$ Подставляя в функцию, получим

∘ -- 2 c+ b b c

Сделаем замену $t= b, c$ таким образом, минимальное значение равно

t+√2-= g(t) t

Тогда

g′(t)= (t+√2-)′ = 1− 13, t t2

тем самым функция убывает при $t≤ 1,$ а значит, достигает минимума при $t=1,$ таким образом, минимальное значение равно $3$ и достигается при $a= b= c.$

Ответ:

$3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 87#81513Максимум баллов за задание: 7

Пусть $a ,...,a 1 19$ лежат в отрезке $[−98,98].$ Найдите минимум

a1a2+ a2a3+ ...+ a19a1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если рассмотреть выражение как функцию относительно любой ашки, то в каких точках может достигаться минимум?

Подсказка 2

Линейная функция монотонна, а, значит, в концах отрезка, то есть -98 или 98.

Показать ответ и решение

Зафиксируем переменные $a ,...,a . 2 19$ Тогда выражение

a1(a2+ a19)+ a2a3 +...+a18a19

является линейной функцией от $a1.$ Если $a2+a19 ≥ 0,$ то минимального значения функция достигает при минимальном значении $a1,$ равном $− 98.$ Теперь рассмотрим выражение относительно $a2,$ тогда $a1+ a3 ≤ 0,$ а, значит, минимальное значение выражения достигается при $a = 98. 2$ Аналогично, минимального значения функция достигается при $a = −98,a =98,...,a = 98. 3 4 18$ Наконец, рассмотрим выражение как функцию от $a , 19$ коэффициентом перед $a 19$ является $a +a =0, 18 1$ тем самым функция не зависит от $a . 19$ Аналогично, рассматривается случай $a +a ≤ 0. 2 19$ Тем самым, минимальное значение функции равно $2 − 17⋅98 = −163268.$

Ответ:

$− 163268$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 88#81514Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $a ,a ,...,a ,b ,b ,...,b 1 2 n 1 2 n$ докажите неравенство

( b1+b2+ ...+ bn )b1+b2+...+bn ( b1)b1 ( b2)b2 ( bn)bn a1+a2+-...+-an ≤ a1 ⋅ a2- ⋅...⋅ an

Показать доказательство

Каждая из частей неравенства положительна. В силу монотонности функции $f(x)= lnx$ исходное неравенство эквивалентно

( b+ b + ...+b )b1+b2+...+bn ( (b )b1 (b )b2 (b )bn) ln a11+-a22+-...+-nan ≤ ln a11 ⋅ a22 ⋅...⋅ ann

( ) ( ) ( ) (b +...+b )ln b1+...+bn- ≤ bln b1- + ...+b ln bn 1 n a1+...+an 1 a1 n an

_____________________________________________________________________________________

Лемма. Предположим, что имеется набор функций $f1(x),...,fn(x),$ определенных на отрезке $[a;b].$ Тогда верно неравенство

xm∈i[na;b]f1(x)+ ...+ mx∈i[na;b]fn(x) ≤xm∈i[an;b](f1(x)+...+ fn(x))

Доказательство. Пусть для всех $i∈ {1,...,n}$ минимум функции $fi(x)$ достигается в точке $xi.$ Пусть минимум функции $(f1(x)+ ...+ fn(x))$ достигается в точке $x0.$ Тогда из $fi(xi)≤fi(x0)$ следует

f1(x1)+ ...+ fn(xn)≤ f1(x0)+...+ fn(x0)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Рассмотрим функцию $f(x)= aex − b(x +1)$ при некоторых положительных $a$ и $b.$ Её производная $f′(x)= aex− b$ строго возрастает и обращается в ноль в точке $b x0 = ln a.$ Следовательно, $b minf(x)= f(x0)= −bln a.$ Поскольку

a1ex− b1(x+ 1)+...+anex− bn(x+ 1)=(a1+ ...+ an)ex− (b1+ ...+ bn)(x+ 1)

то согласно лемме верно, что

b1 bn b1+ ...+bn − b1lna1 − ...− bnln an ≤ − (b1+ ...+bn)lna1+-...+an

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 89#82290Максимум баллов за задание: 7

Произведение чисел $a,b,c,d,$ не меньших $2 ,$ составляет $2k+3.$ Найдите наибольшее значение выражения

logcdab+logbdac+ logbcad +logadbc+ logacbd+ logabcd.

Источники: ИТМО-2024, 11.5 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

При виде выражение в виде суммы логарифмов, да и ещё с такими основаниями, сразу хочется его видоизменить. Обычно всегда на помощь приходит замена, но пока неясно, что стоит обозначить за новые переменные. Вспомните формулу перехода и свойства логарифмов и попробуйте перейти к другим основаниям!

Подсказка 2

То, что произведение a, b, c, d — это степень двойки, и то, что каждая из переменных не меньше 2, намекает, что хотелось бы использовать 2 в искомом выражении. Поэтому попробуйте сделать замену вида х = log₂a, ...

Подсказка 3

Полученное выражение — сумма дробей — уже лучше логарифмов. Но как же теперь её оценить? Обратите внимание, что изначальное условие на произведение переменных превратилось в условие на сумму переменных из замены. Какой метод в неравенствах есть, когда фиксирована сумма переменных?

Подсказка 4

Метод Штурма! Часто смотрят на то, когда выражение больше: когда переменные равны или когда одна переменная принимает максимально возможное значение, а другая минимальное. Попробуйте это выяснить на примере двух переменных.

Подсказка 5

Возьмите две переменных с той же суммой, но большей разностью: из x,y сделаем y`=1, x`=x+y-1. Аналогично проделайте для всех четырёх переменных замены. Отсюда и получится искомая оценка!

Показать ответ и решение

После замены

x= log2a,y =log2b,z = log2c,t=log2d

условие, что исходные числа не меньше $2,$ превращается в

x≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1, t≥ 1,

а условие на произведение превращается в

x+ y+z +t= k+ 3 .

Искомое выражение по формуле перехода и свойствам логарифмов равно

x-+y +-z+t + x+-z+ y+-t+ x+-t+ y+-z z +t x +y y+ t x+ z y+ z x+ t

Воспользуемся методом Штурма. Пусть имеется какое-то значение искомого выражения при удовлетворяющих условиям выше $x ≥y ≥z ≥ t$ (не умаляя общности, переменные можно переименовать для упорядочивания). Заменим два числа $x,y$ на числа $x′ = x+ y− 1≥x,y′ = 1≤ y$ с такой же суммой $x′+ y′ =x +y$ и не меньшей разностью $x′− y′ =x +y− 2≥ x− y ≥ 0 (2y ≥ 2).$ Тогда в искомом выражении сумма дробей

x+y-+ z+-t z+t x+ y

не изменится, а сумма дробей

x+-z+ y+-z= x2+-x(z+t)+zt+-y2+-y(z+-t)+-zt= y+ t x+ t xy +t(x +y)+ t2

(x+ y)2∕2+(x− y)2∕2+ (x +y)(z +t)+2zt = --(x+-y)2∕4−-(x-− y)2∕4-+t(x-+y)+-t2--

и аналогичная ей (с точностью до перестановки $z,t$ ) сумма дробей

x+-t+ y+-t y+z x+ z

не уменьшатся, так как после приведения к общему знаменателю у получившейся дроби числитель увеличивается при увеличении $(x− y)2,$ а знаменатель уменьшается при увеличении $(x− y)2.$

Такими преобразованиями можно превратить три наименьших числа из $x,y,z,t$ в единицу, а наибольшее — в $k,$ при этом наше выражение будет увеличиваться (точнее, заведомо не уменьшаться). Итак, максимальное значение выражения равно

k+-1+ 1+-1+ k+-1+ 1+-1+ k-+1 + 1-+1 = 3(k+-1)+-6-- 1+ 1 k+ 1 1+ 1 k+ 1 1 +1 k +1 2 k+ 1.

Ответ:

$3(k+-1)+-6-- 2 k+ 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 90#83742Максимум баллов за задание: 7

Даны числа $x,y,z$ такие, что

x 4 6 4 + sin y+ ln z = 16

Докажите, что

x+1 2 3 2 + 3sin y− 6ln z ≤ 28

Источники: Звезда - 2024, 11.3 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тригонометрия, логарифм и показательная функция в одном месте — вряд ли мы здесь обойдёмся банальными преобразованиями. Видно только, что первое выражение, равное 16, — сумма трёх квадратов каких-то величин, а во втором выражении стоят похожие величины, но без квадратов. Какие есть неравенства, связывающие такие суммы?

Подсказка 2

Неравенство Коваля-Белова-Шурыгина! Ой, то есть Коши-Буняковского-Шварца) Ну то самое про квадрат суммы и сумму квадратов. Говоря по простому, это факт, что скалярное произведение не больше произведения длин (это же и так понятно, да?..) Давайте соорудим векторы с нужными координатами!

Подсказка 3

Компоненты первого вектора — величины, сумма квадратов которых равна 16. А второй вектор нужно подобрать так, чтобы их скалярное произведение выглядело как то выражение, которое не должно превосходить 28. Пробуйте!

Показать доказательство

Используем неравенство КБШ в векторном виде. Рассмотрим векторы $⃗a= (2x;sin2y;ln3z)$ и $⃗b= (2;3;−6).$ Скалярное произведение

x+1 2 3 ⃗a ⋅⃗b =2 + 3sin y− 6ln z ≤ |⃗a|⋅|⃗b|

Имеем

⃗ √-------- |b|= 4+ 9+ 36 =7

|⃗a|= ∘4x+-sin4y+-ln6z =4

Тогда получаем, что

2x+1+ 3sin2y− 6ln3z ≤ 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 91#85924Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $x,y,z$ таковы, что $x2+y2+ z2 = 3.$ Докажите, что

-1--- -1--- -1--- 3 xy +z + yz +x + zx +y ≥ 2

Показать доказательство

Заметим, что по неравенству о средних

--1-- -----1----- -----2------ 1 xy+ z ≥ x2+y2+ z2+1-= x2+ y2 +z2+ 1 = 2 2 2

Оценив по такому принципу каждую из трех дробей, получаем требуемое неравенство.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 92#85926Максимум баллов за задание: 7

Для положительных $a,b,c$ докажите неравенство

( a b c)2 ( b c a) b + c + a ≥3 a + b + c

Показать доказательство

После раскртия скобок слева и сокращения нам останется доказать, что

( a)2 ( b)2 (c)2 b c a b + c + a ≥ a +b +-c

Пусть $x= ab,y = bc,z = ca.$ Тогда последнее неравенство переписывается в виде $x2+y2+ z2 ≥ xy+yz+ zx,$ что очевидно верно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 93#85985Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любых положительных чисел $a$ и $b$ выполнено неравенство

---1--- ----1----- -1 a+ b+ 2 − (a+1)(b +1) ≤ 16

Показать доказательство

Пусть $x =a +1,y = b+1.$ Тогда достаточно доказать неравенство

--1- 1- 1- x +y − xy ≤ 16

Домножив на знаменатели, получаем

16(xy− x− y)≤xy(x+ y)

Пусть $√ -- t= xy.$ Тогда

16(xy− x− y)≤16(t2− 2t), xy(x +y)≥ 2t3

Осталось доказать, что $3 2 2t ≥ 16t − 32t.$ Перенеся все на одну сторону и сократив на $2,$ получим $3 2 2 t − 8t + 16t= t(t− 4)≥ 0,$ что и требовалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 94#85986Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют условию $a +b+ c+ abc= 4.$ Докажите, что

( a )( b ) ( c ) 1+ b + ca 1+ c + ab 1+ a + bc ≥27

Показать доказательство

Применяя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для четырех чисел, получаем $a+b +c+ abc ≥4√abc,$ откуда $abc ≤1.$ Преобразовав исследуемое выражение, получим

( a )( b )( c ) (a+b+ abc)(b+c+ abc)(c +a+ abc) 1+ b +ca 1+ c +ab 1+ a +bc = ------------abc------------ =

= (4−-a)(4−-b)(4− c)= 64−-16(a+-b+-c)+-4(ab+-bc+ca)− abc= abc abc

( ) = 64− 16(4− abc)+4(ab+bc+-ca)−-abc-= 15+ 4 1+ 1+ 1 ≥15+ √132--≥27 abc a b c abc

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 95#85987Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любых различных положительных чисел $a,b,c$ из отрезков с длинами

3∘-------2--2-∘3------2--2- 3∘------2---2- (a− b)(a − b ), (b− c)(b − c), (c− a)(c − a )

можно составить треугольник.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно считать, что a является наибольшим числом, а c — наименьшим. Тогда достаточно доказать неравенство треугольника, в котором корень с разностью (c-a) меньше суммы двух других корней из условия. А как это сделать?

Подсказка 2

Заметим, что сумма корней кубических из (a-b)³ и (b-c)³ равна a-c, а это корень кубический из (a-c)³. А как из этих выражений получить исходные?

Подсказка 3

Верно! Надо умножить их на подходящую дробь (a+b)/(a-b), (b+c)/(b-c) или (a+c)/(a-c). Каждая из этих дробей больше 1, значит, каждое число увеличивается. А можно ли сказать что-то о том, как эти дроби упорядочены?

Подсказка 4

Верно! (a+c)/(a-c) является наименьшей. Какой вывод можно сделать?

Показать доказательство

Не умаляя общности, пусть $a$ — наибольшее число, а $c$ — наименьшее число. Тогда понятно, что из трех выражений $3∘ (c−-a)(c2− a2)$ — наибольшее. То есть достаточно доказать неравенство

∘3------------ 3∘ ----------- 3∘ ------------ (a− b)(a2− b2)+ (b − c)(b2− c2)> (c− a)(c2− a2)

Заметим, что

3∘ ------ 3∘------ 3∘------ (a − b)3+ (b− c)3 = a− b+b− c= a− c= (a− c)3

Чтобы из последних выражений получить исходные, достаточно умножить подкоренные выражения на

a+ b 2b b+ c 2c a+ c 2c a−-b = 1+ a−-b,b−-c = 1+ b−-c,a−-c = 1+ a−-c

Поскольку среди чисел $2c< 2b,a− c< b− c$ и $a − c< a− b,$ получаем, что подкоренное выражение справа увеличилось в наименьшее число раз, а значит, исходное неравенство доказано.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 96#85988Максимум баллов за задание: 7

Сумма положительных чисел $a,b,c$ равна $3.$ Докажите, что

-a2-- -b2-- --c2-- 3 a+ b2 + b+c2 + c+ a2 ≥ 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

В знаменателях суммы и хотелось бы избавиться от них, применив к ним неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, но знак неравенства не в ту сторону. Как можно его развернуть?

Показать доказательство

Заметим, что $-a2--= a− -ab2-. a+ b2 a+ b2$ Поэтому достаточно доказать, что