Тема АЛГЕБРА

Классические неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Классические неравенства

Раскрытие и закрытие скобок

Правильная замена и преобразование выражений

Неравенство о средних

Оценки в классических неравенствах

Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна)

Идеи метода Штурма

Транснеравенство

pqr-метод

Неравенства Мюрхеда и Шура

Метод отделяющей касательной

Неравенство Гёльдера

Неравенство Йенсена

Использование производной и экстремумов в классических неравенствах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 101#85994Максимум баллов за задание: 7

Для трех положительных чисел $a,b,c$ выполнено равенство $1+ 1+ 1= 1. a b c$ Докажите неравенство

√ ----- √----- √ ----- √--- √- √- √- a+bc+ b+ ca + c+ab≥ abc+ a+ b+ c

Показать доказательство

Исходное условие равносильно тому, что $ab+ bc+ca= abc.$ Возведя неравенство в квадрат, и сократив сумму квадратов, получим

√----√----- √ ----√----- √ ----√----- 2 a+ bc b +ca+ 2 b+ ca c+ ab+ 2 c+ab a +bc≥

≥ 2√ab+ 2√bc+2√ca+ 2√a2bc-+2√b2ca-+2√c2ab

Осталось лишь заметить, что

√a-+bc√b+-ca≥√ab-+√c2ab-

так как после возведения в квадрат получится неравенство

ab+ c2ab+ c(a2+ b2)≥ ab+c2ab+c ⋅2ab

которое очевидно верно. Сложив три аналогичных неравенства, получим требуемое.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 102#85995Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,a ,...,a 1 2 n$ образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке). Докажите неравенство

1- 1- 1- -n-- a21 + a22 +...+ a2n ≥ a1an

Показать доказательство

Можно считать, что разность прогрессии равна $1$ (иначе все числа можно домножить на одну и ту же константу). Тогда для каждого $i= 1,2,...,n− 1$ имеем $1-- --1- --1-- -1 -1-- 2a2i + 2a2i+1 ≥aiai+1 = ai − ai+1.$ Кроме того $1-- -1- --1- 2a21 +2a2n ≥ a1an.$ Складывая все полученные неравенства, получаем

1 1 1 1 1 1 n− 1 1 n a21 + a22 + ...+ a2n ≥ a1-− an + a1an-= a1an + a1an = a1an

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 103#85997Максимум баллов за задание: 7

Вещественные числа $a,b,c,d$ удовлетворяют равенствам $a+ b+c+ d= 6,a2+ b2+ c2+ d2 = 12$ . Докажите, что

3 3 3 3 4 4 4 4 36≤ 4(a + b +c + d)− (a +b + c+ d )≤48

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте переписать выражение, которое нам нужно оценить, как сумма четвертых степеней линейных многочленов от каждой из переменных + линейная комбинация выражений a + b + c + d и a² + b² + c² + d².

Подсказка 2

Если не получается выразить, то попробуйте сделать замену x = a - 1, y = b - 1, z = c - 1, t = d - 1 и записать это выражение через x, y, z, t + константа(которая появляется из условия).

Подсказка 3

Исходное выражение переписывается, как -(x⁴ + y⁴ + z⁴ + t⁴) + 52. Поэтому достаточно научится оценивать x⁴ + y⁴ + z⁴ + t⁴. Для этого на самом деле нужно оценить это выражение с двух сторон, используя выражение x² + y² + z² + t², но еще стоит его вычислить. Чему же оно равно?

Показать доказательство

Заметим, что

3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4(a +b + c+ d )− (a + b+ c + d)= −(a− 1) − (b− 1) − (c− 1)− (d− 1) +

2 2 2 2 4 4 4 4 +6(a + b+ c + d)− 4(a+ b+ c+d)+ 4= −(a− 1) − (b− 1) − (c− 1) − (d − 1)+

+6⋅12− 4 ⋅6 +4= −(a− 1)4− (b− 1)4− (c− 1)4− (d− 1)4+ 52

Сделаем замену $x= a− 1,y =b− 1,z = c− 1,t= d− 1.$ Тогда

x2+y2+ z2+ t2 = a2+ b2+c2+ d2− 2(a+ b+c+ d)+4 =4

а нам требуется доказать неравенства

52− 48 ≤x4+ y4+ z4 +t4 ≤ 52− 36

Первое неравенство верно, поскольку

x4+ y4+ z4 +t4+4 ≥2(x2+ y2 +z2+ t2)= 8

Второе неравенство верно, поскольку

x4+ y4+ z4 +t4 ≤ (x2+ y2+ z2 +t2)2 = 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 104#85998Максимум баллов за задание: 7

Даны положительные числа $x,y,z.$ Докажите, что

3 2 2 2 4(x+ y+z) ≥ 27(x y+ yz+ z x+xyz)

Показать доказательство

Поскольку неравенство циклическое, не умаляя общности, пусть $y$ — второе по величине число. Тогда $z(y− x)(y− z)≤0,$ то есть $2 2 2 y z+ zx ≤xyz+ yz.$ Используя это неравенство, получаем

2 2 2 2 2 2 x +z x+ z 27(x y+y z+ z x+xyz)≤ 27(x y+2xyz+ yz)= 27y(x+ z) = 4⋅27y⋅--2- ⋅-2--≤

( )3 ≤ 4 y+ x+-z+ x-+z =4(x+ y+ z)3 2 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 105#85999Максимум баллов за задание: 7

Даны ненулевые числа $x,y,z,w$ такие, что $x+ y ⁄= 0,z+ w ⁄=0$ и $xy+ zw≥ 0.$ Докажите неравенство

( x+ y z+ w)− 1 1 (x z)−1 ( y w )−1 z+w-+ x+-y + 2 ≥ z + x + w + y

Показать доказательство

Приведем все дроби к общему знаменателю:

( (x +y)2+ (z+ w)2)−1 1 ( x2+z2)−1 ( y2+w2 )−1 --(x+-y)(z+-w)-- + 2 ≥ -xz--- + -yw---

Преобразуем полученное неравенство

1− --xz--+ 1− --yw--≥ 1 −--(x+-y)(z+-w)- 2 x2+ z2 2 y2+ w2 2 (x+ y)2 +(z+ w)2

и снова приведем пары слагаемых к общему знаменателю:

(x−-z)2-- -(y−-w)2- --(x-+y−-z−-w)2-- 2(x2+ z2) + 2(y2+w2) ≥ 2((x+ y)2+ (z +w)2)

Далее имеем

2 2 2 2 2(x(x−2+z)z2)-+ (2(yy−2+w)w2) ≥ 2((xx2−+-zy+2+y−z2-w+)w2) ≥ 2(((xx++yy)−2+z−(z+w)w)2)

где первое неравенство следует из дробного КБШ, а второе — из неравенства

(x +y)2+(z+ w)2 = x2+y2+ z2+ w2+ 2(xy+ zw)≥x2+ y2+ z2+w2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 106#86471Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары чисел $(x;y)$ , удовлетворяющие уравнению

(cosx +cosy)(sinx+ siny)= 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас уже итак довольно простое выражение, поэтому раскрывать скобки не очень-то хочется. Вам не кажется, что сейчас грех не воспользоваться формулами суммы синусов и суммы косинусов?

Подсказка 2

После применения формул слева появляются множители sin((x+y)/2) и cos((x+y)/2), которые так и просят собрать их по формуле синусa двойного угла. После привидения и сокращения одинаковых множителей слева и справа какую интересную картинку можно увидеть?

Подсказка 3

Слева у нас остается sin(x+y)*cos²((x-y)/2), а справа 1. Сразу напрашивается метод оценки, т.к. множители слева по модулю не превосходят 1. Выпишите, когда произведение наших множители слева обращается в 1, и доведите решение до конца!

Показать ответ и решение

Первое решение.

По формулам суммы косинусов и синусов уравнение равносильно

x+ y x− y x +y x− y 2cos -2--cos -2--⋅2sin--2-cos--2- =2

По формуле синуса двойного угла это превращается в

sin(x+ y)⋅cos2 x−2-y= 1

Так как $0≤ cos2 x−2y ≤1$ и $− 1 ≤sin(x+ y)≤ 1,$ то левая часть уравнения не превосходит 1. А равенство достигается лишь в случае

{ sin(x+ y)=1 cos2 x−2y =1

{ x+ y = π+ 2πn,n ∈ℤ x− y = 22πm, m∈ ℤ

(|{ x = π4 + π(n +m ), y = π4 + π(n − m ), |( n ∈ℤ,m ∈ℤ

( |{ x= π4 + πk +2πm, | y = π4 +πk, ( k∈ ℤ,m ∈ℤ

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Раскроем скобки в левой части:

(cosx+ cosy)(sinx +sin y)= (cosxsinx+ cosxsiny +cosysinx+ cosy siny)

Применим неравенство Коши-Буняковского-Шварца для векторов из $4$ чисел:

a= (cosx,siny,sin x,cosy),b= (sin x,cosx,cosy,sin y)

Получим:

(a,b)=(cosxsinx+ cosxsiny+ cosysinx +cosysiny)≤

∘ ----------------------∘ ----------------------- ≤ |a|⋅|b|= cos2x +sin2y +sin2x+ cos2y sin2x+ cos2x+ cos2y+ sin2y = 2

Но левая часть неравенства равна $2$ по условию. Значит, в неравенстве КБШ левая и правая части равны для $x,y,$ удовлетворяющих условию задачи.

Как известно, равенство в КБШ достигается, когда векторы коллинеарны, то есть для некоторого $k$

(|| cosx= ksinx ||{ sinx =k cosy || cosy = ksiny ||( siny =k cosx

Последовательно подставляя, уравнения системы получим:

2 3 4 cosx= ksinx = kcosy = k siny = k cosx

Откуда либо $cosx =0$ , тогда $siny =cosy = cosx =0,$ что противоречит основному тригонометрическому тождеству $0 =sin2x +cos2x ⁄=1.$

Либо $k4 = 1$ , то есть $k =±1$ .

В случае $k= −1$ получится система:

(|| cosx =− sinx ||{ sinx =− cosy || cosy =− siny ||( siny =− cosx

Подставим $cosy = − siny$ во второе уравнение системы и $cosx= − sinx$ в четвёртое

( ||| cosx =− sinx |{ sinx =sin y ||| cosy =− siny |( siny =sin x

Нетрудно проверить, что в таком случае

(cosx+ cosy)(sinx +sin y) =−2

что не подходит под условие задачи.

В случае $k= 1$ получится система:

( |||| cosx =sin x { sinx= cosy |||| cosy = siny ( siny = cosx

Которая имеет решения

(π4 +πk+ 2πm;π4 +πk),k,m ∈ ℤ

Ответ:

$(π +πk +2πm;π + πk), k,m ∈ℤ 4 4$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 107#90010Максимум баллов за задание: 7

Про положительные числа $a,b,c$ известно, что $a +b+ c= 1$ , и каждое из них не превосходит $1 2$ . Докажите, что

√- √- √- ∘ -2--2---2 √- √ - √ - a+ b + c ≤ a + b+ c +2(b a+ c b+a c)

Источники: Иннополис - 2024 (см. dovuz.innopolis.university)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, как можно применить то, что каждая переменная не превосходит 1/2. Например, можно получить выражение (1 - 2х), которое всегда больше 0. Как это сделать?

Подсказка 2

Мы можем всё, кроме корня из суммы квадратов, переместить влево. Тогда какое неравенство можно применить? Сумма скобок равна 1. На какое неравенство это может намекать?

Подсказка 3

Неравенство Йенсена! Его можно применить для корня, вогнутой функции. После недолгих преобразований под корнем не трудно прийти к искомому.

Показать доказательство

Перенесём влево $2(b√a-+c√b +a√c),$ чтобы вынести корни за скобки. Получаем, что нужно доказать:

√- √- √- ∘-2---2--2 a ⋅(1− 2b)+ b⋅(1− 2c)+ c⋅(1− 2a)≤ a + b +c

В силу того, что $a,b$ и $c$ меньше либо равны $1, 2$ числа $(1− 2a),(1− 2b),(1 − 2c)$ неотрицательны, а их сумма равна $1,$ ведь $a+ b+ c= 1.$ Функция $√x$ является вогнутой, тогда применив неравенство Йенсена для этой функции, переменных $a,b$ и $c,$ коэффициентов $(1− 2b),(1 − 2c)$ и $(1− 2a),$ получаем:

√- √- √- ∘--------------------------- a ⋅(1− 2b)+ b⋅(1− 2c)+ c⋅(1− 2a)≤ a ⋅(1− 2b)+ b⋅(1 − 2c)+c⋅(1− 2a)

Теперь заметим, что

a ⋅(1− 2b)+ b⋅(1 − 2c)+c⋅(1− 2a)=

= a⋅(a+ b+ c− 2b)+ b⋅(a+ b+ c− 2c)+c⋅(a+ b+c− 2a)=a2 +b2+ c2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 108#90109Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для положительных чисел $a,b$ и $c$ выполняется неравенство

---a---- ----b--- ---c---- 2a+ b+c +2b+ c+ a + 2c+a +b <1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте вспомнить базовые свойства дробей, за счёт чего дробь можно сделать больше, за счëт чего - меньше. Как это применить к задаче?

Подсказка 2

С одной дробью работать гораздо легче, чем с суммой трёх. Однако дроби из условия складывать трудно. Подумайте, как с помощью подсказки 1 их упростить, чтобы стало проще.

Подсказка 3

У всех трёх дробей очень похожие знаменатели, близкие к числу a + b + c. Представьте, что все знаменатели равны a + b + c. Насколько легче стала задача и как связать еë с изначальной?

Показать доказательство

При уменьшении знаменателя значение дроби увеличивается, поэтому

---a---- ---b---- ----c--- ---a--- ---b--- ---c--- a+-b+-c 2a +b+ c + 2b+c +a +2c+ a+ b < a+ b+ c + b+c+ a +c+ a+ b = a+ b+ c = 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 109#90110Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для положительных чисел $a,b$ и $c$ выполняется неравенство

---2a--- ---3b--- ---5c--- a+3b+ 4c + 2a+ b+5c + a+ b+ c > 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подсказка 2

Подсказка 3

У всех трёх дробей очень похожие знаменатели, близкие к числу 2a + 3b + 5c. Представьте, что все знаменатели равны 2a + 3b + 5c. Насколько легче стала задача и как связать еë с изначальной?

Показать доказательство

При увеличении знаменателя дробь уменьшается, тогда справедливо следующее неравенство:

---2a--- ---3b--- ---5c-- ----2a--- ----3b--- ----5c--- a+ 3b+4c + 2a+ b+ 5c +a +b+ c > 2a+ 3b+5c +2a+ 3b+5c +2a+ 3b+ 5c =1

Что и требовалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 110#90111Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любых неотрицательных чисел $a,b$ и $c$ выполняется неравенство

--a+-1-- --b+1-- --c+-1-- -1-- -1-- -1-- ab+ a+ 1 + bc+b+ 1 + ca+ c+1 ≥ a+ 1 + b+ 1 + c+1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подсказка 2

Итак, знаменатели надо увеличить, но как? Подумайте, как связаны, например, выражения a + 1 и ab + a + 1 или похожие на них

Подсказка 3

Действительно, можно записать следующее равенство ab + a + b + 1 = (a + 1)(b + 1). Тогда нужно прибавить по одной соответствующей переменной к каждому знаменателю, чтобы получить желаемое. Осталось понять, почему мы решили задачу.

Показать доказательство

Чем больше знаменатель, тем меньше дробь, поэтому

--a+-1-- --b+1-- --c+-1-- ---a+-1--- ---b+-1--- ---c+-1--- ab+ a+ 1 + bc+b+ 1 + ca+ c+1 ≥ ab+a +b+ 1 + bc+b +c+ 1 + ca+ c+a+ 1 =

a +1 b+1 c+1 1 1 1 =(a+-1)(b+-1) + (b+-1)(c+-1)-+(c+-1)(a+-1) = a+-1 + b+1-+ c+1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 111#90113Максимум баллов за задание: 7

Пусть $x$ и $y$ — положительные вещественные числа, причём $x+ y ≤ 3.$ Докажите неравенство

y+-2x- 4y− 3x xy + 4 ≥ 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

В неравенстве всего две переменные, притом обе от 0 до 3. Как насчет того, чтобы от одной избавиться?

Подсказка 2:

В изначальном неравенстве не совсем ясно, как избавиться от одной из переменных. Попробуйте упростить неравенство.

Подсказка 3:

Давайте запишем неравенство как (1/x - 3x/4) + (2/y + y) >= 2. Что можно сказать про функцию в первых скобочках. Можно ли к ней применить оценку x <= 3 - y?

Показать доказательство

Запишем неравенство в виде:

1 3 2 (x − 4x)+ (y + y) ≥2

Заметим, что функция $1x − 34x$ убывает, так как её производная равна $− 1x2 − 34 < 0.$ Значит, учитывая, что $x≤ 3− y,$ можем, заменить $x$ на $3− y$ и доказывать более сильное неравенство. После подстановки и тождественных преобразований при $y ∈ (0,3)$ оно будет выглядеть так:

(y− 24)(y− 1)2 ≤ 0 7

Нетрудно видеть, что при $y ∈(0,3)$ оно верно, а значит изначальное тоже.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 112#90237Максимум баллов за задание: 7

Докажите неравенство $2(a2+ b2)≥ (a+ b)2$ .

Показать доказательство

Для начала раскроем скобки:

2 2 2 2 2a + 2b ≥a + 2ab +b

a2+ b2 ≥2ab (Нам надо это доказать)

Перенесём $2ab$ влево и выделим полный квадрат:

a2− 2ab+b2 ≥ 0

(a− b)2 ≥ 0,

Что верно всегда, так как квадрат — неотрицательное число.

Так как верна четвёртая строчка, значит, верна третья. Тогда верна и вторая, а отсюда верна и первая строчка. Мы доказали исходное неравенство.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 113#90312Максимум баллов за задание: 7

Доказать, что для любых положительных чисел $x ,x ,...,x 1 2 k$ ( $k> 3$ ) выполняется неравенство

-x1--- -x2--- ---xk--- xk+x2 + x1 +x3 + ...+ xk−1+ x1 ≥ 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Требуется доказать неравенство от n переменных, логично это делать по индукции. Сперва разберёмся с базой n=4. У нас имеется четыре дроби, причём две пары с равными знаменателями. Итого, получается сумма двух обратных чисел, а она больше либо равна двум, например, по неравенству о средних.

Подсказка 2

Теперь надо подумать, что вообще изменяется при шаге индукции. В самом деле, две дроби заменяются на три, притом вообще не очень понятно, какая из сумм больше. Что могло бы помочь их сравнить?

Подсказка 3

Нужно вспомнить о том, что при циклическом сдвиге переменных выражение не изменяется, тогда можем считать, что наша последняя переменная минимальная из всех. Теперь уже сравнить суммы двух и трёх дробей несложно, а значит, мы сможем завершить шаг индукции.

Показать доказательство

Докажем неравенство индукцией по $n.$

База: $k= 4.$

x1 x2 x3 x4 x2+ x4 x1+ x3 x4+x2-+ x1-+x3 + x2+-x4 + x3+-x1 = x1+-x3 + x2+-x4 ≥ 2

Сумма обратных положительных чисел по неравенству о средних между средним арифметическим и геометрическим больше либо равна двух.

Предположение индукции: пусть для $n= k$ утверждение верно.

Переход: докажем для $n= k+ 1.$ Пусть имеется выражение для $x1,x2,...xk+1.$ При циклическом сдвиге выражение не меняется, потому без ограничения общности можем считать, что $xk+1$ минимальное из чисел. Тогда выражение для набора чисел $y1 = x1,y2 = x2,...,yk =xk$ отличается от выражения с иксами на

---x1---+ -xk+1-+ ----xk-----−--x1-- −---xk--- x2+ xk+1 x1+ xk xk−1+xk+1 x2 +xk xk−1+ x1

В силу $xk+1 ≤ xk$ и $xk+1 ≤x1,$ первая дробь больше либо равна третьей, а вторая больше либо равна четвёртой. Получается выражение с иксами больше либо равно выражению с игреками, к которому, в свою очередь, можно применить предположение индукции. Получаем, что и выражение с иксами больше либо равно двух, переход доказан.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 114#90781Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для положительных чисел $a ,a ,...,a 1 2 n$ выполняется

------n------- √n-------- 1a-+ 1a-+ ⋅⋅⋅+ 1a-≤ a1a2...an 1 2 n

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы понять, какой набор нужно взять, попробуйте преобразовать неравенство, записать в каком-нибудь другом виде. Возможно, тогда вы увидите неравенство между средним арифметическим и геометрическим.

Подсказка 2

Что можно сказать про набор 1/a_1, 1/a_2, ...., 1/a_n?

Показать доказательство

Давайте напишем неравенство между средним геометрическим и арифметическим для чисел $1,-1,..., 1-: a1 a2 an$

1 1-+ 1-+...+-1 n√a-a-...a--≤-a1---a2-n----an 1 2 n

Нетрудно видеть, что это неравенство сводится требуемому.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 115#90782Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для положительных чисел $a ,a ,...,a 1 2 n$ выполняется

∘-2---2-------2 a1+-a2+-⋅⋅⋅+-an ≤ a1-+a2+-⋅⋅⋅+-an n n

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В этой задаче стоит применить стандартные тождественные преобразования. Подумайте, какие.

Подсказка 2

Квадратный корень мешает преобразовывать неравенство. Возведите в квадрат и попробуйте привести подобные.

Подсказка 3

Не забывайте, задача на неравенства о средних. Подумайте, как можно применить неравенство AM-GM к неравенству, которое вы получили.

Показать доказательство

Если возвести неравенство в квадрат, поделить на $n$ и привести подобные, то мы получим неравенство

2 2 2(a1a2+ ...+ an−1an)≤ (n− 1)(a1+...+an)

где в левой части в скобке находятся все попарные произведения чисел $ai.$

Теперь заметим, что если сложить все неравенства вида $2a a ≤a2+ a2 i j i j$ при $1≤ i<j ≤ n,$ то мы получим последнее неравенство.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 116#90783Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $a ,a ,...,a 1 2 n$ докажите неравенство

( 1- 1- 1-) 2 (a1 +a2+ ...+ an) a1 + a2 + ...+ an ≥n

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте преобразовать неравенство, переписать в другом виде. Возможно вы наткнëтесь на что-то знакомое.

Подсказка 2

Посмотрите на неравенство между средним арифметическим и гармоническим для a_1, a_2, ...., a_n. Оно похоже на исходное, не так ли?

Показать доказательство

Если поделить неравенство на $n ( 1-+ 1-+...+ 1-), a1 a2 an$ то оно сведётся к неравенству между средним арифметическим и средним гармоническим.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 117#90784Максимум баллов за задание: 7

Сумма положительных чисел $a,b,c,d$ равна $1.$ Докажите, что

√----- √ ----- √----- √----- √ - 1+ 4a + 1+4b+ 1+ 4c+ 1+ 4d≤4 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дана сумма чисел, а, значит, нужно оценить левую часть выражением, которое включает в себя только сумму переменных. Тогда мы сможем подставить вместо суммы еë значение.

Подсказка 2

Понятно, что в оценке от корней надо избавляться, только тогда вы получите сумму. То есть надо как-то их возвести в квадраты. Какое неравенство может помочь?

Показать доказательство

Применим неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим:

√ ----- √----- √----- √ ----- 1+4a+ 1 +4b+ 1+ 4c+ 1+4d ≤

∘ (√1+-4a)2+-(√1+-4b)2+-(√1-+4c)2+(√1+-4d)2- ≤4 ------------------4-------------------=

∘ --------------- =4 4+-4(a+-b+-c+d) =4√2 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 118#90785Максимум баллов за задание: 7

Для неотрицательных чисел $a$ и $b$ докажите неравенство $a6-+b9≥ 3a2b3− 16. 4$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте преобразовать неравенство, тогда, возможно, заметите какое-то из неравенств о средних.

Подсказка 2

Обратите внимание, степени переменных в произведении в 3 раза меньше соответствующих степеней в отдельных переменных. Значит, неравенство AM-GM для трëх переменных будет очень кстати.

Показать доказательство

Домножим неравенство на $4$ и перепишем в виде

6 9 23 a +b + 64≥12a b

Осталось заметить, что это неравенство между средним арифметическим и геометрическим чисел $a6,b9,64.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 119#90786Максимум баллов за задание: 7

Найдите минимум выражения $a6-+b3+-c2- abc$ при положительных $a,b$ и $c.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Было бы очень здорово, если бы вы смогли как-то искусственно придумать оценку снизу для числителя выражением вида kabc, где k - некоторое число. Тогда минимум будет равен k.

Подсказка 2

Мы хотим из суммы получить произведение, значит это точно неравенство AM-GM. Но показатели степеней разные, поэтому надо подумать, как подогнать числитель под это неравенство.

Подсказка 3

Смотрите, НОК степеней равен 6. Поэтому если мы представим числитель в виде 6 слагаемых так, что суммарная степень всех ашек будет 6, бэшек 6 и цэшек 6, то мы сможем реализовать идею. Как это сделать? Например, так: b³= 2 • (b³/2).

Показать ответ и решение

Попробуем с помощью неравенства о средних превратить числитель в $kabc,$ где $k$ — некоторое число. Проведём следующие преобразования:

6 b3 c2 6∘ 6-b32-c23- a6+-b3+-c2= a-+-2⋅2-+-3⋅3-≥ 6--a(2-)(3-)-= 6√432- abc abc abc

Эта оценка реализуется при $a6 = b3= c2. 2 3$ Отсюда нетрудно придумать пример, надо лишь взять любое положительное $a$ и из равенств вычислить $b$ и $c.$

Ответ:

$√6432-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 120#91086Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $x,y,z$ докажите неравенство

3 3 3 (x+ y)(y+ z)(z+ x)+ xyz ≤ 3(x + y +z )

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами симметричное относительно x, y и z неравенство. Они часто решаются с помощью неравенства Мюрхеда и неравенства Шура. Попробуйте применить какое-нибудь из них.

Подсказка 2

Раскройте скобки и примените неравенство Мюрхеда.

Показать доказательство

Раскрыв скобки имеем:

T1,1,1(x,y,z) 3 2 +T2,1,0(x,y,z)≤ 2T3,0,0(x,y,z)

что очевидно следует из неравенства Мюрхеда.

Следующая подтема