Неравенство о средних
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— положительные числа, причём 
Докажите, что
Источники:
Подсказка 1:
Какую оценку снизу можно сделать для дроби?
Подсказка 2:
Например, оценить снизу числитель, тогда и дробь будет оценена снизу. Но в нашем случае числители и так простейшие. А у какой дроби оценка знаменателя снизу приведёт к оценке снизу всей дроби?
Подсказка 3:
У положительной дроби, перед которой стоит знак минус. Представьте все дроби левой части в виде разности.
Подсказка 4:
a / (b⁴ + 2b) = a / b – 2ab² / (b³ + 2). Как теперь выгоднее всего оценить знаменатель?
Подсказка 5:
Оцените его с помощью неравенства о средних для среднего арифметического и геометрического для трёх слагаемых.
Подсказка 6:
Если все верно сделали, должны получить для первой дроби оценку на a / b – 2ab / 3. Теперь осталось оценить выражение a / b + b / c + c / a снизу и 3(ab + bc + ca) сверху. С первым всё совсем просто, а второе с помощью неравенств о средних попробуйте оценить выражением, в котором a, b, c встречаются только в виде суммы a + b + c.
Первое решение. Заметим, что
Здесь мы воспользовались тем, что
Оценим две другие дроби аналогично. По неравенству о средних
Кроме того, из неравенства Коши мы получаем, что
Поэтому
Собирая все оценки вместе, получаем требуемое неравенство:
Второе решение. По неравенству о средних:
поэтому 
Тогда заметим, что
Положим
отметим, что 
В новых обозначениях
Оценивая аналогично два других слагаемых, нам остаётся доказать, что
Заметим, что по неравенству о средних 
Наконец, применим к сумме дробей следствие из неравенства
Коши-Буняковского-Шварца:
Специальные программы
Программа
лояльности вер. 2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к твоему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас важно быть полезными учителям по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
RuStore
AppStore