Неравенство о средних

Подсказка 1

Введите симметрические многочлены: b = x + y + z, c = xy + yz + zx, d = xyz. Как запишутся уравнения системы через b, c, d?

Подсказка 2

По теореме Виета, x, y, z — корни уравнения t³ - bt² + ct - d = 0. Подставьте t = a в это уравнение, используя выражения b и c из системы.

Подсказка 3

Из подстановки получите уравнение, связывающее a и d. Оно должно выполняться для всех троек, значит, это условие даёт конкретное значение d (выраженное через a).

Подсказка 4

Проверьте, будет ли t = 1/a также корнем того же уравнения. Это поможет найти две переменные из тройки.

Подсказка 5

Зная два корня (a и 1/a) и произведение xyz, найдите третий корень.

Подсказка 6

Выразите x² + y² + z² через b и c. После подстановки получится функция только от a.

Подсказка 7

Примените неравенство о средних к слагаемым 2a² и 1/a². Найдите a, при котором достигается минимум, и проверьте условие a ≠ ±1.