Неравенство о средних

Подсказка 1

В левой части каждое слагаемое — произведение. Какое стандартное неравенство оценивает сумму таких произведений сверху через сумму квадратов?

Подсказка 2

Да, √(ab) ≤ (a+b)/2. Представьте первое слагаемое как корень из произведения. Что в этом произведении будет первым множителем, а что — вторым?

Подсказка 3

Верно: x√(1−y²) = √(x²(1−y²)). Сделайте так же для остальных и сложите оценки. К какой сумме это приведёт?

Подсказка 4

После сложения правая часть упростилась ровно до 3. Но исходная сумма тоже равна 3. Что это значит для каждого из трёх неравенств? Когда в √(ab) ≤ (a+b)/2 бывает равенство?

Подсказка 5

Равенство даёт x² = 1−y², аналогично для других пар. Сложите эти три уравнения — какое общее соотношение для x²+y²+z² получится?

Подсказка 6

Теперь у вас есть и сумма квадратов, и исходные равенства. Найдите каждое значение x², y², z² по отдельности. Осталось вспомнить про неотрицательность.