Истинные и ложные высказывания

Предположим, что вор — Смит. Тогда Браун и Джонс оба сказали правду дважды. Противоречие. Предположим, что вор — Джонс. Тогда Браун и Смит один раз солгали и один раз сказали правду. Также получили противоречие. Если же вор — Браун, то тогда условие задачи выполняется. Других вариантов, очевидно, быть не может.

Начнем с (3). Пусть Авоська не ел корм. Тогда Пончик не ел, а Небоська ел. Из (4) получаем, что либо Авоська ел, либо Сиропчик. При сделанном предположении это означает, что ел Сиропчик. Но из (1) следует, что Сиропчик не ел корм, т.к. Пончик не ел. Получено противоречие. Следовательно, Авоська виновен (корм ел).

Рассмотреть все варианты для трех оставшихся подозреваемых,

Видно, что каждый из подозреваемых мог как есть, так и не есть корм.

(a) Предположим, что во всех месяцах не более именинников. Тогда всего в летней школе не более человек, хотя на самом деле их — противоречие. Значит, утверждение верно.

(b) Пусть все участники родились в январе, а в остальных месяцах именинников нет. Тогда есть месяца, в которых именинников, что не подходит под условие. Утверждение неверно.

(c) Предположим, что не более, чем в двух месяцах не более именинников. Тогда в остальных месяцах хотя бы по именинников. Но тогда всего хотя бы человек в летней школе, однако на самом деле их — противоречие. Утверждение верно.

(d) Построим отрицание: "во всех месяцах не более дней рождений и месяцев, в которых не менее дней рождения, не более двух". Тогда всего имеется не более двух месяцев, в которых дней рождения ровно а в остальных не менее, чем ти месяцах не более именинников. Тогда всего не более человек в школе — противоречие. Утверждение верно.

(f) Построим отрицание: "в любых семи месяцах в сумме хотя бы 30 именинников". Упорядочим месяца по возрастанию числа именинников. Пусть в них именинников. Тогда из нашего отрицания получаем

Значит, хотя бы одно из чисел не менее Значит, и все последующие не менее следовательно Тогда число именинников в сумме

Противоречие. Значит, исходное утверждение верно.

(e) В пункте (f) доказано, что найдётся семь месяцев с суммой именинников не больше 29. Эта же сумма не больше 31.

Пусть мы опросили людей. Опросим еще случайных людей из оставшихся. Разобьем 46 опрошенных людей на 4 группы по 11,11,11,13 человек. Пусть групшы, где 11 человек, будут отвечать на вопросы так, будто свидетели они и 4 неопрошенных человека, а группа из 13 человек будет отвечать на вопросы так, будто свидетели они и 2 любых неопрошенных. Так как мы не можем понять, какая из версий настоящая, то и преступника мы найти не сможем, ведь любой человек в какой-то из версий свидетель.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Выберем 47 человек и каждого спросим «Кто из жителей преступники?». Пусть каждый назвал 35 человек и никто не назвал себя, иначе преступник определяется очевидно. Разобьем всех людей на групшы так, что внутри одной группы ответы одинаковые.

Заметим, что в одной группе не больше 15 человек, иначе каждый из них обвинил бы менее 35 человек. Докажем, что найдется группа, в которой менее 12 человек.

Действительно, если в каждой группе хотя бы 12 человек, то если этих групп хотя бы 4 , то всего людей хотя бы , а если групп не более, чем 3 , то всего людей не более, чем — противоречие.

Возьмем ту группу, где меньше 12 человек. Если бы кто-то из них был свидетелем, то вместе с ним свидетелем могли быть только люди из его группы и неопрошенные люди, то есть менее 15 человек, противоречие. Значит, люди этой группы — преступники.

Рассмотрим все возможные варианты.

Если шайб забито не больше 10 , то для нечётного количества шайб будет верно одно утверждение, а для чётного — ноль. Не подходит.

Если забито 11 шайб, то верны ровно два утверждения. Подходит.

Если шайб забито от 12 до 16 , то для нечётного количества шайб верны все три утверждения, а для чётного — два. Подходят только чётные значения: .

Если забито 17 шайб, то верны ровно два утверждения. Подходит.

Если шайб забито не меньше 18, то для нечётного количества шайб верно одно утверждение, а для чётного — ноль. Не подходит.

Итак, нам подходят пять значений: .

Посчитаем количество девочек, которые не были в Москве, не занимаются математикой, и не ездили на поезде. Получим , чего быть не может.

Понятно, что за столом были и мальчики, и девочки. Посмотрим, как сидели дети. За группой сидящих рядом мальчиков следует группа девочек, затем снова мальчики, снова девочки и так далее (группа может состоять и их одного человека). Группы мальчиков и девочек чередуются, поэтому их чётное число. Так как утверждений «большинство из нас мальчики» прозвучало семь, то неверны шесть утверждений «большинство из нас девочки», и групп тоже было шесть. Чередование верных и неверных утверждений означает, что в группах было по двое детей. Лишь сидящие рядом первый и последний ребёнок сказали одно и то же, поэтому в их группе три человека. Это мальчики, так как их большинство. Всего за столом сидели девочек и мальчиков. На рисунке показано, как именно ребята сидели за столом. Первый говорящий обведён в рамочку.

Способ 1. Предположим противное. Среди трех ненулевых чисел найдутся два одного знака — пусть это и Тогда одно из неравенств и неверно. Если все три числа имеют один знак, то мы таким образом найдем три неверных неравенства. В противном случае среди трех пар найдется пара, в которой первое число отрицательно, а второе положительно; пусть это пара Тогда одно из неравенств и также неверно, ибо . Найденные нами неверные неравенства, очевидно, различны.

Способ 2. Предположим, что верно хотя быть пять неравенств. Тогда верны все три неравенства из первых трех и хотя бы два из последних трех, или хотя бы два из первых трех и все три последних неравенства.

В первом случае, не ограничивая общности, считаем, что из последних трех верны четвертое и пятое неравенство. Но тогда С другой стороны, . Противоречие.

Во втором случае, не ограничивая общности, считаем, что Но тогда, как и и в первом случае,

Противоречие. Таким образом, из указанных неравенств хотя бы два неверные.

Предположим, что оба мальчика не ошиблись. Поскольку Петя не ошибся, то общее количество принесённых конфет чётно (в два раза больше количества конфет, принесённых Петей). Треть от чётного числа - тоже чётное число. Значит, количество конфет, которые принёс Коля, чётно. Но, по его словам, он отдал девочкам нечётное количество конфет, так как количества конфет, доставшихся Маше и Тане, имеют разную чётность (различаются на 3, а сумма двух чисел разной чётности нечётна. Получили противоречие.

• Пусть соврал Андрей. Тогда он первый или последний, но Игорь и Коля сказали правду — отсюда они занимают первое и последнее место, противоречие.
• Пусть соврал Максим. Отсюда он и Коля одновременно последние, снова противоречие.
• Пусть соврал Игорь, то есть он не первый. Тогда Коля последний, Андрей может быть вторым, а Максим — первым, отсюда Игорь — третий и все остальные сказали правду.
• Пусть соврал Коля, то есть он не последний. Но Максим и Андрей не последние, раз они сказали правду, а Игорь — первый, то есть последнее место никто не занимал, противоречие.

В итоге соврать мог только Игорь, в этом случае есть несколько распределений, в решении выше приведён пример одного из них.

Замечание.

Фраза “в комнате есть 5 ламп” не означает, что в комнате РОВНО 5 ламп. Она означает, что 5 ламп уж точно найдётся, в комнате их хотя бы 5.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Первое решение.

Заметим, что первое и второе высказывания не могут быть одновременно верны или одновременно неверны, потому что Вася отрицает слова Пети — второе высказывание является отрицанием первого. Значит, ровно одно из этих высказываний истинно. По условию только одно из четырёх высказываний истинно. Значит, третье и четвёртое заведомо ложны. Тогда с одной стороны включенных хотя бы (из третьего высказывания), а с другой стороны включенных ламп нечётное число (из последнего высказывания). Под эти условия подходит только число _____________________________________________________________________________________

Второе решение.

Предположим, что верно утверждение Васи "Ты не прав". То есть это неправда, что в комнате есть включённых ламп. Но раз в комнате меньше пяти включённых ламп, то тогда выключенных есть хотя бы , а значит, и хотя бы . Так что будут верны уже хотя бы два утверждения, а по условию может быть только одно.

Значит, наше предположение неверно: Вася соврал, сказав "Ты не прав". Тогда Петя прав: в комнате хотя бы включённых ламп. И раз утверждение Пети верно, то все остальные неверны. Значит, в комнате меньше выключенных ламп и при этом их нечётное число. Получаем, что в комнате одна выключенная лампа, а остальные включены.

Если апреля все сотрудники компании сказали правду, то для сотрудника с наибольшей заработной платой второе утверждение будет ложно, что быть не может. Если же все они солгали, то первое утверждение для сотрудника с наибольшой сложной работой будет верно, то есть вновь получаем противоречие. Таким образом, существует хотя бы один солгавший и хотя бы один сказавший правду.

Возьмем сотрудника, сказавшего правду с наибольшей зарплатой из всех правдивых сотрудников. Поскольку из его второго утверждения следует, что по меньшей мере «лжецов» имеют большую зарплату, чем он. Второе утверждение солгавшего сотрудника, имеющего наименьшую зарплату среди «лжецов» ложно, таким образом, не более «лжецов» имеют большую зарплату и не более «лжецов» всего. То есть лжецов всего

Первое утверждение для «лжеца» с наиболее трудной работой среди всех «лжецов» ложно, поэтому существуют по меньшей мере правдивых сотрудников, имеющих более трудную работу.

Первое утверждение для правдивого сотрудника с наименее сложной работой среди всех правдивых сотрудников верно, поэтому существует не более правдивых сотрудников всего. То есть правдивых сотрудников ровно Окончательно получаем, что в компании работают сотрудника.

Из условия следует, что на комнатах надписи верны, т. е. там находится по одному мальчику. Все эти комнаты — нечётные. Допустим, нечётна одна из четырёх комнат, надписи на которых неверны. Так как в этих четырёх комнатах находится четыре мальчика, и ровно один мальчик ни в одной из них находиться не может, то в нечётной комнате находятся трое. Но тогда четвёртый находится в одной из оставшихся комнат, и надпись на ней, вопреки нашему предположению, верна. Следовательно, все четыре оставшиеся комнаты — чётные.

Введем компьютер № который ответил не то, что компьютер № (т. е. ответы по-прежнему чередуются). Заметим, что на отрезке **—** и правильные ответы, и услышанные ответы чередуются. Поэтому на отрезке **—** все компьютеры одного типа (либо все сломанные, либо все нормальные). На отрезке **—** **—** и т. д. аналогично. А вот переход с ** до ** правильный ответ одинаковый, а полученные ответы разные — поэтому на соседних участках компьютеры разные. Таким образом, на отрезке ** одинаковое количество исправных и неисправных компьютеров (по исправных и неисправных). Остались компьютеры Среди них такого же типа, как и № А вот другого типа. Поэтому среди рассмотренных компьютеров типа “как №” на больше, чем типа “не как №”. Значит, в исходном наборе компьютеров типа “как №” на больше. Значит, первый компьютер — исправный, и исправных на больше.

Из первых двух фраз ясно, что кто-то из продавцов ошибается. Если ошибается только Петя, то фруктов а по его подсчетам или но ни одно из этих чисел не делится на Значит, ошибается Полина. Тогда фруктов или Если Петр тоже ошибается, то по его подсчетам фруктов или Все эти числа нечетны, поэтому Петр не может ошибаться. Из чисел только последнее делится на

Если учеников было , то они дали каждый по -му ответу и всего получилось ответ. Так как всего ответов было дано , то . Пусть среди учеников было честных и лжецов. Тогда каждый из честных ребят дал ответ «правдивец» и ответов «лжец». А каждый из лжецов дал ответов «лжец» и ответов «правдивец». Тогда ответов «правдивец» всего было дано , что по условию равно . Отсюда получаем уравнение . Приведя подобные слагаемые, получим: . Это равенство раскладывается на множители , то есть может быть равен или . Подставляя полученные значения в количество полученных ответов «лжец» равное , видим что получится при обоих значениях . Если честных было двое, то они дали правдивых ответов. Если же их было , то тогда они дали правдивых ответов.

Так как в 2 матчах участвовали все 4 команды, то каждая команда сыграла по одному матчу. Если команда проиграла, то её болельщики начинают врать и будут говорить, что болеют за другие команды, кроме своей. Пусть — болельщики команд, которые выиграли, а — болельщики команд, которые проиграли. Тогда после игр на вопрос о команде ответили, что болеют за неё те, кто действительно болеют, и те, чья команда проиграла. За команду — аналогично.

Получается, что за команду сказали, что болеют человек, а за команду болеют . Так как болельщики проигравших команд не могут сказать, что болеют за свою команду, потому что это будет правда, то за команду будут болеть человек, а за команду , наоборот, — человек. Из этих соображений можно сказать точно, что , следовательно, за победителей будут болеть большее количество человек. Поэтому «Локомотив» и «Зенит» победили в своих играх, а «Спартак» и «Динамо» проиграли.

Пусть тогда за «Локомотив» по-настоящему болеют человек, за «Зенит» — , за «Спартак» — , за «Динамо» — . Получается, что после опроса за «Локомотив» болеют , за «Зенит» болеют , за «Спартак» болеют , а за «Динамо» — . Итого: болельщиков «Локомотива» , болельщиков «Зенита» , болельщиков «Спартака» , болельщиков «Динамо» .

Рассмотрим случай, когда гном говорит правду: Так как четверг августа это нечетный день месяца, то в пятницу августа гном не соврет, что будет есть манную кашу. Так как в следующие дни у гнома нет в расписании манной каши, то правду он сказать не сможет до августа, которое будет четвергом. Соответсвенно, гном не будет врать и числа.

Рассмотрим случай, когда гном врет: Гном может соврать и сказать, что будет есть манную кашу в понедельник, вторинк, субботу и воскресенье. Если августа это четверг, то в субботу августа гном может соврать и сказать, что будет есть манную кашу. Значит и в понедельник он соврет, так как это будет число месяца. Соответсвенно, гном соврет и числа.

Алиса не может быть самой хитрой, т.к. если она сама хитрая, то она хитрее Ларисы, т.е. Алиса сказала правду. Но самая хитрая лиса должна была солгать.

Лариса тоже не может быть самой хитрой, т.к. она сказала правду про Алису, а самая хитрая лиса должна была солгать.

Поэтому остался только один вариант: самая хитрая — Инесса.

По условию плеер нашелся не под столом, не на столе и не под диваном. Значит, плеер мог быть только под подушкой. Поэтому шпаргалка под подушкой лежать не могла. Но она не валялась и на полу (т. е. ее не было ни под столом, ни под диваном). Следовательно, шпаргалка лежала на столе. Тетрадь не лежала под столом, значит, ей осталось только место под диваном. Тогда под столом могли быть только кроссовки.

В итоге тетрадь была под диваном, шпаргалка — на столе, плеер — под подушкой, кроссовки — под столом.