Параметры на ОММО

Сделаем замену и будем искать решения при Тогда уравнение принимает следующий вид:

Так как то

Возьмем производную и покажем, что функция возрастает

Так как непрерывна и монотонно возрастает при то она принимает на этом отрезке все промежуточные значения от до

Следовательно, нам подходят

На оси абсцисс отметим отрезки, равные по длине , а на оси ординат — отрезки длины . Тогда выражение — это расстояние от точки до точки , а — расстояние от точки до точки .

Таким образом, получили ломанную из точки до точки с координатами

. Ее длина не превосходит расстояния между этими точками, то есть

Тогда

Решив это уравнение, находим

Пусть . Тогда, с учётом допустимых значений , неравенство равносильно системе

Решения этой системы - точки на полуокружности , лежащие ниже графика функции .

При изменении параметра график функции перемещается вдоль оси . При значениях , близких к в качестве множества решений имеем непересекающихся интервала. При значениях , близких к получается интервала.

Крайнее положение графика, при котором получается два интервала, изображено на рисунке:

Координаты точки пересечения окружности и прямой равны

Так как , то .

Таким образом, ответом является множество

Пусть тогда уравнение принимает вид

Заметим, что

Отсюда по теореме, обратной теореме Виета, корни этого уравнения и Делаем обратную замену:

Получаем два случая:

Применяя полиномиальную формулу, получим

Для того, чтобы определить, какие слагаемые в сумме содержат , нужно решить в неотрицательных целых числах систему уравнений:

Из второго уравнения следует чётность . В силу неотрицательности переменшх может принимать значения 0,2 и 4 . Решая систему для каждого из даншых , будем иметь три случая: 1. ; 2. ; 3. .

В каждом из них коэффициент при вычисляется по формуле: . Тогда в каждом из перечисленных случаев будем иметь соответственно:

1.

2. ;

3.

Таким образом, коэффициент при будет равен . Так как по условию задачи данный коэффициент должен быть равен , имеем уравнение: . Разделив обе части уравнения на 28 и приведя подобные, получим . Данное уравнение имеет два вещественных корня: и .

Таким образом, наибольшее значение параметра , при котором коэффициент при в разложении многочлена будет равен -1540, равно -5 .

Пусть мы нашли такой , что он подходит, и у нас есть корня. Тогда можно воспользоваться теоремой Виета для кубического уравнения:

Не умаляя общности, . По условию корни образуют геометрическую прогрессию, это значит, что найдутся такие , что , , Тогда из получаем, что , откуда Выразим и при : ,

Подставим , в первое уравнение:

Решим квадратное уравнение это значит, что найдутся. Найдём :

Воспользовались в предпоследнем действии.

Уравнение эквивалентно

То есть корнями будут . Корни различны, потому , осталось подставить их в неравенство

Осталось учесть условие на сумму квадратов

Преобразуем уравнение

Чтобы корни были различны, нужно . Условие на сумму их квадратов

То есть или . Остаётся учесть ОДЗ. В силу равенства логарифмов достаточно написать условие на положительность только для одного из аргументов (проверить, что для решений оно положительно)

В итоге

Обозначим через . Заметим, что количество решений уравнения от такой замены не меняется. Тогда исходное уравнение приобретёт вид

Заметим, что выражения в обеих частях не меняются при замене на , поэтому нечётное число решений (в частности, ровно одно решение), это уравнение может иметь только если является его корнем:

т.е. , откуда или . Итак, кроме этих двух чисел, никакие другие значения параметра не могут удовлетворять условию.

Пусть . Тогда уравнение примет вид . Заметим, что при (что можно доказать, например, взяв производные обеих частей и учтя значение в нуле). Тогда при получаем . Итак, при уравнение имеет единственное решение.

Пусть . Тогда уравнение примет вид . Заметим, что , но , , т.е. при левая часть меньше правой, а при наоборот. Следовательно, по теореме о промежуточном значении, уравнение имеет ещё хотя бы корень на интервале . Следовательно, не удовлетворяет условию.

Заметим, что не является решением исходного уравнения. Поэтому оно равносильно уравнению .

Заметим, что при и при . Также имеет вертикальную асимптоту .

Производная функции равна . Находим нули числителя: .

Расставляя знаки для производной по методу интервалов, делаем вывод, что функция

• на промежутке убывает от до .
• на промежутке — возрастает от до
• на промежутке — убывает от до .
• на промежутке — возрастает от до .
• на промежутке — убывает от до .

Таким образом, функция принимает каждое своё значение

• из промежутка ровно один раз;
• - два раза;
• из промежутка - три раза (один раз в точке , а второй раз - на промежутке );
• - два раза;
• из промежутка - один раз
• - два раза
• из промежутка - три раза.

Итак, уравнение , а с ним и исходное уравнение, имеет единственное решение при .

После замены получаем уравнение Исследуем множество значений . Возьмём производную

На области определения получаем при , , при Тогда функция имеет единственный минимум в точке а при и она стремится к . Тогда ясно, что при решений нет. В случае же за счёт выбора можно подобрать соответствующие для два решения, при ровно одно.

В итоге подходит только .

Рассмотрим случай . Так как , то и и поэтому . Построим график функции . Прямая должна пересекать этот график в трех точках.

На рисунке видно, что это выполняется тогда и только тогда, когда прямая проходит внутри угла, образованного осью абсцисс и касательной к графику функции при .

Найдем . Абсцисса точки касания удовлетворяет уравнениям

откуда , . Таким образом, .

Случай симметричен, то есть .

Запишем дискриминант относительно

Решения есть только при (не забываем, что целый). Подставим , получим единственное решение . При имеем . При .