Тема ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)

Функции на ОММО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#104699

График функции $y(x)= −x4+ 2x3+3x2− 8x+ 3 3$ имеет две точки максимума и одну точку минимума. К графику провели касательную с двумя точками касания. Найдите длину отрезка касательной между точками касания.

Источники: ОММО - 2025, номер 9 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть касательная это g(x). Тогда y(x)-g(x) имеет два кратных корня из касания. Это позволяет записать какие-то уравнения, связывающие функцию с точками касания.

Подсказка 2

Раз эти функции равны, то можно записать равенства коэффициентов при степенях многочленов. Отсюда можно получить абсциссы точек касания и уравнение касательной.

Подсказка 3

Точки касания должны получиться с x=-1 и x=2. Теперь остаётся только вычислить значения функции и применить теорему Пифагора.

Показать ответ и решение

Пусть $g(x)=kx +b$ — касательная из условия и $x ,x 1 2$ — координаты точек касания на оси $x.$

Так как $y(x)− g(x) =0$ в точках касания, то они являются корнями чётной кратности данного многочлена $(y(x)− g(x)).$ Также в силу того, что коэффициент при старшей степени $x$ равен $− 1,$ можем представить многочлен в следующем виде:

2 2 y(x)− g(x) =− (x− x1)(x− x2)

Назовем правую часть $f(x),$ тогда:

2 2 4 3 2 2 2 2 2 f(x)= −(x− x1) (x − x2) = −x + 2(x1+ x2)x − (x1+ 4x1x2 +x2)x +2x1x2(x1+ x2)x− x1x2

Запишем полученные для функций условия в точках касания в систему:

(|| 4 3 2 (8 ) ||{ y(x)− g(x)= −x + 2x +3x − 3 + k x +3− b || f(x)= −x4+ 2(x1+ x2)x3− (x2 +4x1x2+x2)x2+2x1x2(x1+ x2)x − x2x2 ||( y(x)− g(x)= f(x) 1 2 1 2

Из равенства коэффициентов следует:

(|| 2= 2(x1+ x2) ||||| ||{ 3= −(x21+ 4x1x2+x22) || (8 ) ||||| − 3 + k = 2x1x2(x1+x2) ||( 3− b= −x2x2 1 2

Отсюда можно выразить $x1+x2$ и $x1x2$ :

{ x1+ x2 =1 x1x2 =− 2

То есть $x1 = 2,$ $x2 =− 1.$ Теперь можно найти коэффициенты $k$ и $b:$

( |{ k= 4− 8= 4 | 3 3 ( b= 3+4 =7

Получается, что $4 g(x)= 3x+7.$

Значения касательной в точках касания:

4 29 g(x1)= 3 ⋅2+ 7= 3

g(x2)= 4 ⋅(−1)+ 7= 17 3 3

Тогда длина отрезка касательной между точками касания — пусть $l:$

∘-------------------- (29 17)2 √----- l= (2− (− 1))2+ 3-− 3- = 9 +16= 5

Получили искомое значение длины отрезка касательной между точками касания — 5.

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#79607

Функция $f$ , определённая на действительных числах, принимает действительные значения. Известно, что для любых действительных $x$ и $y$ выполнено равенство $f(x)f(y)=f(5x− y)$ . Найдите все такие функции $f$ .

Источники: ОММО - 2024, задача 9 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем. Обычно мы хотим, когда видим функциональные уравнения, подставить что-то удобное вместо y. Что здесь можно такое подставить, чтобы у нас получилось удобное уравнение? В каком бы виде мы бы хотели видеть это уравнение?

Подсказка 2

Если подставить y = 4x, то слева и справа будет f(x). Тогда мы сможем разбить наше уравнение на совокупность двух простых. Что либо f(x) = 0, либо f(4x) = 1. Значит ли это, что мы решили задачу?

Подсказка 3

А вот и нет! Ведь если у нас для любого x верно, что либо f(x) = 1, либо f(x) = 0, то не значит, что у нас возможны только такие функции. Это значит лишь то, что множество значений f равно 0 и 1. Поэтому для полного решения требуется доказать, что если f(x) = 0 в какой-то точке, то f(x) = 0 тождественно. Тогда переход, о котором говорилось выше, корректен.

Показать ответ и решение

Если при каком-то $x$ выполняется $f(x)= 0,$ то для любого $y$ верно $f(5x− y)= 0,$ поэтому для любого $y$ выполняется $f(y)=0.$

Если же $f(x)⁄= 0$ для любого значения $x$ , то для любого $y =4x$ должно быть выполнено

f(x)f(y)= f(x),

где после сокращения на $f(x)⁄= 0$ получаем $f(y)= 1.$

Ответ:

Таких функции две: константа 0 и константа 1. ( $f(x)≡1, f(x)≡ 0$ )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#63745

Найдите все функции $f :ℝ → ℝ$ , для которых существует такое вещественное число $a$ , что при всех вещественных $x,y$ выполнено равенство

2f(xy+ 3)=f(x)f(y)− f(x)− 2y+a

Источники: ОММО-2023, номер 9 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что правая часть несимметрична относительно x и y, а левая - симметрична) Как тогда можно связать x и y?

Подсказка 2

f(x)f(y) - f(x) - 2y + a = 2f(xy+3)=f(y)f(x) - f(y) - 2x + a ⇒ f(x) - 2x = f(y) - 2y. Значит, разность f(x) - 2x постоянна! Как тогда записать f(x) и что с этим можно сделать?

Подсказка 3

f(x) = 2x + C, для некоторого действительного C и любого x) Остается лишь подставить это в равенство из условия, найти C и a)

Показать ответ и решение

Заметим, что

f(x)f(y)− f(x)− 2y+ a= 2f(xy+ 3)=2f(yx+3)= f(y)f(x)− f(y)− 2x+ a.

Значит, при всех $x,y ∈ ℝ$ выполнено $f(x)− 2x= f(y)− 2y$ . Значит, разность $f(x)− 2x$ постоянна и $f(x)= 2x+ C$ , для некоторого $C ∈ℝ$ . Подставляя в исходное равенство, получаем, что при всех $x,y ∈ℝ$ выполнено равенство:

2 2(2xy+ 6+ C)= 4xy +2Cx +2Cy +C − 2x− C− 2y+ a.

Оно тождественно выполнено только при $C = 1$ ; при этом $a= 14.$

Ответ:

$f(x)= 2x +1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#49764

Функция $F$ определена на множестве троек целых чисел и принимает действительные значения. Известно, что для любых четырёх целых чисел $a,b,c$ и $n$ выполняются равенства $F (na,nb,nc)= n⋅F(a,b,c),F(a+ n,b+ n,c+n)= F(a,b,c)+n$ , $F (a,b,c)= F(c,b,a)$ . Найдите $F(58,59,60).$

Источники: ОММО-2022, номер 9, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посмотрим на нашу функцию и на то, что с ней можно делать. Во-первых, можно выносить общий множитель из аргумента. Во вторых, можно вычитать, прибавлять что угодно и к аргументам функции, и к её значению, при этом равенство останется верным. Ещё наша функция симметрична относительно первой и второй переменной. Теперь подумаем, как нам можно получить F(58,59,60). Это три последовательных числа. Значит, чтобы получить значение на этих значениях, мы можем найти значение в точке F(k-1,k,k+1) и потом по второму свойству найти требуемое. При этом как-то надо воспользоваться двумя другими условиями. Попробуйте подобрать такое k, чтобы значение в нём можно было бы найти с помощью двух других условий.

Подсказка 2

Если вы еще не нашли такое k, то давайте вместе подумаем, каких бы свойств нам хотелось бы от k. Во-первых, надо, чтобы оно определялось (то есть его значение становилось известным) только через первое и третье условие, так как если оно известно через второе, то это нам не подходит, поскольку тогда либо существует тройка, значение которой определяется через первое и третье условие, либо все значения определяются через второе, однако последнее, очевидно, неверно. Значит, существует тройка, которая определяется через первое и третье. Поскольку оба этих условия не дают свободного члена, то единственное, что мы можем получить из этих уравнений - это 0, поскольку, если мы получим равенство двух значений, без свободного члена, то это будет их отношение и , коль скоро, мы не используем второе выражение, то единственное отношение, которое можно получить и найти значение функции в точке - это 0. Значит, нам нужно получить 0. Значит, с одной стороны функция равна себе, а с другой стороны минус себе. Попробуйте что-то с этим сделать.

Подсказка 3

Если мы хотим, чтобы функция в точках была равна минус себе, то так как n*F(a,b,c) = n*F(c,b,a) = F(na,nb,nc), мы хотим, чтобы na = -nc, nb = - nb, nc = -na. Но из второго равенства следует, что nb=0, а значит и b = 0(иначе, n = 0, и у нас просто функция от нулей равна 0. Что не подходит нам под условие на k-1,k,k+1. Значит, b = 0, a = -1, c = 1. И значит, F(-1,0,1)= 0 = F(58,59,60) - 59.

Показать ответ и решение

Заметим, что для $n= −1$

F(−1,0,1)= F(1,0,−1)= (−1)⋅F(−1,0,1) =⇒ F (− 1,0,1)= 0

Отсюда легко видеть $F(58,59,60)= F(−1,0,1)+59 =59.$

Ответ:

$59$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#65398

Функция $g$ определена на целых числах и принимает целые значения, причем $g(x)⁄=x$ для каждого целого $x$ . Назовем число $a$ красивым, если для любого целого числа $x$ выполнено $g(x)=g(a− x)$ . Может ли каждое из чисел 739 и 741 быть красивым?

Источники: ОММО-2021, номер 9, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте предположить, что оба этих числа являются красивыми, и используйте условие для установления связи между f(x+2) и f(x)

Подсказка 2

Эти значения функции должны оказаться одинаковыми для любого х! Какие свойства функции нам это дает?

Подсказка 3

Ага, оказывается, что на аргументах одинаковой чётности должны приниматься одинаковые значения. А не окажется ли, что при всех аргументах функция будет константой?

Подсказка 4

Можно подставить x=0 и использовать условие "красивости" числа 739 для того, чтобы установить f(x)≡c. Осталось использовать условие, что не может быть f(x)=x, и задача в кармане!

Показать ответ и решение

Предположим, что каждое из чисел $739$ и $741$ оказалось красивым. Тогда

g(x+ 2)=g(741 − (x+ 2))= g(739− x)= g(x)

Значит, найдутся такие целые числа $b$ и $c$ , что во всех чётных числах функция $g$ принимает значение $b$ , а во всех нечётных — значение $c.$

С другой стороны, если $739$ оказалось красивым, то $b= g(0)= g(739− 0)= c.$ Тогда $g(x)$ равна какой-то целочисленной константе для любого аргумента $x.$ Получаем противоречие с условием $g(x)⁄= x$ при значении аргумента, равном этой челочисленной константе.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#102470

Про функции $p(x)$ и $q(x)$ известно, что

p(0)= q(0)> 0

′ ∘-′-- √- p (x) q (x)= 2 для любого x∈ [0;1]

Докажите, что если $x∈ [0;1]$ , то

p(x)+ 2q(x)> 3x.

Источники: ОММО - 2020, номер 9 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте переведем задачу на "язык функций" и попробуем доказать, что h(x) = p(x) + 2q(x) - 3x не убывает на [0;1]. Какие инстурменты у нас для этого есть?

Подсказка 2

В случае возрастания производная должна быть неотрицательной! Как её можно посчитать?

Подсказка 3

При помощи условия можно прийти к выражению, зависящего от производной p(x). Осталось лишь понять, почему же выражение неотрицательно!

Показать доказательство

Заметим, что $p(0)+2q(0)>0$ , поэтому для доказательства неравенства достаточно проверить, что функция $p(x)+ 2q(x)− 3x$ возрастает на промежутке $[0;1]$ . Для этого докажем, что её производная на этом промежутке неотрицательна. Это можно сделать двумя способами.

Первый способ, подстановка:

4 p′(x)+ 2q′(x)− 3= p′(x)+ (p′(x))2-− 3 =

= (p′(x)+-1)(p′(x)−-2)2≥ 0, (p′(x))2

поскольку $′ p(x)$ , как следует из условия, неотрицательна.

Второй способ, неравенство о средних:

1 1 p′(x)+2q′(x)= 2p′(x)+ 2p′(x)+2q′(x)≥

3∘ 1-----1---------- ≥3 2p′(x)⋅2p′(x)⋅2q′(x)= 3,

где неравенство следует из неравенствао средних для трёх чисел, а последнее равенство — из условия.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#49765

Пусть

(1 ) (2 ) (n-− 1) Sn = f(0)+ f n + f n + ...+ f n +f(1)

Найдите $S2013$ для

x f(x)= -9x--- 9 + 3

Источники: ОММО-2013, номер 6, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно посчитать значение какой-то суммы. Наверное, считать по отдельности каждый член будет не очень удобно. Может, попытаемся разбить эту сумму на пары?

Подсказка 2

Само условие намекает нам рассмотреть f(0)+f(1), (1/n)+f((n-1)/n), т.е. суммы f(x)+f(1-x). Чему равна эта сумма?

Подсказка 3

С функцией f(n)=9ⁿ/(9ⁿ+3) неудобно работать, поэтому давайте поделим числитель и знаменатель на 9ⁿ: f(n)=1/(1+3/9ⁿ). Тогда f(1-n)=1/(1+9ⁿ/3). Посмотрите, чему равна сумма f(n)+f(1-n) и доведите решение до конца!

Показать ответ и решение

При $n= 2013$ слагаемых будет $n+ 1= 2014$ — чётное количество, поэтому их можно разбить на $1007$ пар вида $α,1− α$ , посмотрим на сумму в такой паре

3 f(α) =1− 9α+-3

1−α f(1− α)= 991−α+-3 = 9+-93⋅9α = 9α3+-3 =1− f(α)

Отсюда сумма $f(α)+ f(1− α) =1$ и $S2013 = 1007$ (количество пар).

Ответ:

$1007$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#49766

Функция $f(x)$ для всех $x$ удовлетворяет равенству

f(x +3)= x+ 2− f(x),

а при $x∈ [− 3;0)$ задаётся формулой $f(x)= x2$ . Найдите $f(2012).$

Источники: ОММО-2012, номер 7, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Из условия видно, что мы можем с помощью "наращивания" искать значения от сколь угодно больших аргументов, но нам бы хотелось делать это еще и как-то удобно и быстро. В этом нам мешает слагаемое x в выражении f(x+3)=x+2-f(x). Но, кажется, при повторении этой операции из-за минуса x должен уйти...

Подсказка 2

Действительно, f(x+6)=3+f(x). Тогда с помощью индукции можно установить, что f(x+6k)=3k+f(x). Как нам тогда найти f(2012)?

Подсказка 3

f(2012)=f(2+6*335), поэтому f(2012)=1005+f(2). Найдите f(2) и завершите решение!

Показать ответ и решение

Применим условие дважды

f(x +6)= x+ 3+ 2− f(x+ 3)= x+5 − x− 2+ f(x)= f(x)+3

Используя это, получим

f(2012)= f(335⋅6+ 2)=f(2)+335⋅3= −1+ 2− f(− 1)+ 1005 =1005

Ответ:

$1005$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#80595

Решите уравнение

f(f(x))=f(x),

где

∘5----3--- f(x) = 3− x − x.

Показать ответ и решение

Уравнение $f(x)= x$ имеет корень $x= 1.$ Этот же корень имеет уравнение $f(f(x)) =f(x).$ Других корней быть не может, поскольку функция $f(x)$ убывает, а $f(f(x))$ — возрастает.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#49763

Пусть

x f(x)= 3 +2

Найдите значение функции

f(◟..◝.f◜(f◞(x))...) 2009

в точке $x= 4.$

Источники: ОММО-2009, номер 5, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Линейная функция, какая легкотня! Хотя погодите, похоже все не так просто... Давайте попробуем посмотреть на f(f(x)) или же сразу посмотреть на f(f(4))...

Подсказка 2

f(f(x))=(x+24)/9. Ничего красивого. Давайте подставим 4, может, хоть тогда что-нибудь увидим: f(f(4))=28/9=(27+1)/9. Хммм, а ведь f(4)=10/3=(9+1)/3. Какое предположение напрашивается?

Подсказка 3

Верно, f(f(..f(4)...))=(3ⁿ⁺¹+1)/3ⁿ. Убедитесь в этом с помощью индукции и вычислите ответ!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Посмотрим, что происходит при применении $f$ к некоторому числу. Заметим, что $x x−3 f(x)− 3= 3 − 1 = 3$ , т. е. каждое применение $f$ сокращает расстояние от числа до $3$ в три раза. Для $x= 4$ оно было равно $1$ , а значит, после $2009$ применений $f$ это расстояние станет равным $−2009 3$ . Соответственно, само число станет равным $−2009 3 +3 .$

Второе решение.

f(x)= 2+ x∕3; f(f(x))= 2+ 2∕3 +x∕9; f(f(f(x)))= 2+ 2∕3+2∕9+ x∕27; ... ( 2008) 2009 f◟(..◝.f◜(f◞(x))...)= 2 +2∕3+ ⋅⋅⋅+ 2∕3 + x∕3 . 2009

По формуле для суммы геометрической прогрессии, последнее выражение равно

1− 1∕32009 2⋅ -1−-1∕3--+ x∕32009 =3 +(x− 3)∕32009

Подставляя $x= 4$ , получаем ответ.

Замечание. Формально мы доказываем по индукции, что $f(...f(f(x))...)= xn-+ 2n∑−11- ◟--◝n◜-◞ 3 k=0 3k$ . База для $n= 1$ очевидна, а переход

f◟(...◝◜f(f◞(x))...) x ∑n 1 f◟(..◝.◜f(f◞(x))...)= ---n--3----- +2= 3n+1 + 2 3k n+1 k=0

тривиален. Остаётся подставить $n= 2009$ и упростить формулу суммы геометрической прогрессии $-4-- (13)2009−1 −2009 f(◟..◝.f◜(f◞(4))...)= 32009 +2⋅ 13− 1 = 3+3 2009$

Ответ:

$3+ 3−2009$