Функции на ОММО

Подсказка 1

Пусть касательная это g(x). Тогда y(x)-g(x) имеет два кратных корня из касания. Это позволяет записать какие-то уравнения, связывающие функцию с точками касания.

Подсказка 2

Раз эти функции равны, то можно записать равенства коэффициентов при степенях многочленов. Отсюда можно получить абсциссы точек касания и уравнение касательной.

Подсказка 3

Точки касания должны получиться с x=-1 и x=2. Теперь остаётся только вычислить значения функции и применить теорему Пифагора.

Подсказка 1

Давайте подумаем. Обычно мы хотим, когда видим функциональные уравнения, подставить что-то удобное вместо y. Что здесь можно такое подставить, чтобы у нас получилось удобное уравнение? В каком бы виде мы бы хотели видеть это уравнение?

Подсказка 2

Если подставить y = 4x, то слева и справа будет f(x). Тогда мы сможем разбить наше уравнение на совокупность двух простых. Что либо f(x) = 0, либо f(4x) = 1. Значит ли это, что мы решили задачу?

Подсказка 3

А вот и нет! Ведь если у нас для любого x верно, что либо f(x) = 1, либо f(x) = 0, то не значит, что у нас возможны только такие функции. Это значит лишь то, что множество значений f равно 0 и 1. Поэтому для полного решения требуется доказать, что если f(x) = 0 в какой-то точке, то f(x) = 0 тождественно. Тогда переход, о котором говорилось выше, корректен.

Подсказка 1

Заметим, что правая часть несимметрична относительно x и y, а левая - симметрична) Как тогда можно связать x и y?

Подсказка 2

f(x)f(y) - f(x) - 2y + a = 2f(xy+3)=f(y)f(x) - f(y) - 2x + a ⇒ f(x) - 2x = f(y) - 2y. Значит, разность f(x) - 2x постоянна! Как тогда записать f(x) и что с этим можно сделать?

Подсказка 3

f(x) = 2x + C, для некоторого действительного C и любого x) Остается лишь подставить это в равенство из условия, найти C и a)

Подсказка 1

Давайте посмотрим на нашу функцию и на то, что с ней можно делать. Во-первых, можно выносить общий множитель из аргумента. Во вторых, можно вычитать, прибавлять что угодно и к аргументам функции, и к её значению, при этом равенство останется верным. Ещё наша функция симметрична относительно первой и второй переменной. Теперь подумаем, как нам можно получить F(58,59,60). Это три последовательных числа. Значит, чтобы получить значение на этих значениях, мы можем найти значение в точке F(k-1,k,k+1) и потом по второму свойству найти требуемое. При этом как-то надо воспользоваться двумя другими условиями. Попробуйте подобрать такое k, чтобы значение в нём можно было бы найти с помощью двух других условий.

Подсказка 2

Если вы еще не нашли такое k, то давайте вместе подумаем, каких бы свойств нам хотелось бы от k. Во-первых, надо, чтобы оно определялось (то есть его значение становилось известным) только через первое и третье условие, так как если оно известно через второе, то это нам не подходит, поскольку тогда либо существует тройка, значение которой определяется через первое и третье условие, либо все значения определяются через второе, однако последнее, очевидно, неверно. Значит, существует тройка, которая определяется через первое и третье. Поскольку оба этих условия не дают свободного члена, то единственное, что мы можем получить из этих уравнений - это 0, поскольку, если мы получим равенство двух значений, без свободного члена, то это будет их отношение и , коль скоро, мы не используем второе выражение, то единственное отношение, которое можно получить и найти значение функции в точке - это 0. Значит, нам нужно получить 0. Значит, с одной стороны функция равна себе, а с другой стороны минус себе. Попробуйте что-то с этим сделать.

Подсказка 3

Если мы хотим, чтобы функция в точках была равна минус себе, то так как n*F(a,b,c) = n*F(c,b,a) = F(na,nb,nc), мы хотим, чтобы na = -nc, nb = - nb, nc = -na. Но из второго равенства следует, что nb=0, а значит и b = 0(иначе, n = 0, и у нас просто функция от нулей равна 0. Что не подходит нам под условие на k-1,k,k+1. Значит, b = 0, a = -1, c = 1. И значит, F(-1,0,1)= 0 = F(58,59,60) - 59.

Подсказка 1

Попробуйте предположить, что оба этих числа являются красивыми, и используйте условие для установления связи между f(x+2) и f(x)

Подсказка 2

Эти значения функции должны оказаться одинаковыми для любого х! Какие свойства функции нам это дает?

Подсказка 3

Ага, оказывается, что на аргументах одинаковой чётности должны приниматься одинаковые значения. А не окажется ли, что при всех аргументах функция будет константой?

Подсказка 4

Можно подставить x=0 и использовать условие "красивости" числа 739 для того, чтобы установить f(x)≡c. Осталось использовать условие, что не может быть f(x)=x, и задача в кармане!

Подсказка 1

Давайте переведем задачу на "язык функций" и попробуем доказать, что h(x) = p(x) + 2q(x) - 3x не убывает на [0;1]. Какие инстурменты у нас для этого есть?

Подсказка 2

В случае возрастания производная должна быть неотрицательной! Как её можно посчитать?

Подсказка 3

При помощи условия можно прийти к выражению, зависящего от производной p(x). Осталось лишь понять, почему же выражение неотрицательно!

Подсказка 1

Нам нужно посчитать значение какой-то суммы. Наверное, считать по отдельности каждый член будет не очень удобно. Может, попытаемся разбить эту сумму на пары?

Подсказка 2

Само условие намекает нам рассмотреть f(0)+f(1), (1/n)+f((n-1)/n), т.е. суммы f(x)+f(1-x). Чему равна эта сумма?

Подсказка 3

С функцией f(n)=9ⁿ/(9ⁿ+3) неудобно работать, поэтому давайте поделим числитель и знаменатель на 9ⁿ: f(n)=1/(1+3/9ⁿ). Тогда f(1-n)=1/(1+9ⁿ/3). Посмотрите, чему равна сумма f(n)+f(1-n) и доведите решение до конца!

Подсказка 1

Из условия видно, что мы можем с помощью "наращивания" искать значения от сколь угодно больших аргументов, но нам бы хотелось делать это еще и как-то удобно и быстро. В этом нам мешает слагаемое x в выражении f(x+3)=x+2-f(x). Но, кажется, при повторении этой операции из-за минуса x должен уйти...

Подсказка 2

Действительно, f(x+6)=3+f(x). Тогда с помощью индукции можно установить, что f(x+6k)=3k+f(x). Как нам тогда найти f(2012)?

Подсказка 3

f(2012)=f(2+6*335), поэтому f(2012)=1005+f(2). Найдите f(2) и завершите решение!

Подсказка 1

Хм, может мыть мы можем подобрать какие-нибудь корни....И правда, ведь x = 1 точно подойдёт.

Подсказка 2

Нужно подумать, почему других корней нет. Может быть, сослаться на какую-нибудь монотонность?

Подсказка 1

Линейная функция, какая легкотня! Хотя погодите, похоже все не так просто... Давайте попробуем посмотреть на f(f(x)) или же сразу посмотреть на f(f(4))...

Подсказка 2

f(f(x))=(x+24)/9. Ничего красивого. Давайте подставим 4, может, хоть тогда что-нибудь увидим: f(f(4))=28/9=(27+1)/9. Хммм, а ведь f(4)=10/3=(9+1)/3. Какое предположение напрашивается?

Подсказка 3

Верно, f(f(..f(4)...))=(3ⁿ⁺¹+1)/3ⁿ. Убедитесь в этом с помощью индукции и вычислите ответ!