Тема ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)

Уравнения и системы на ОММО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#104695

Решите систему уравнений

(| 1- 1- 4- |||{ x2 + y2 + z2 = 9 | x2+ 9y2 +z2 = 4 |||( √ - √- 2 3x − 6y+ 3z = 2

Показать ответ и решение

Первое решение.

Заметим, что в левых частях первых двух уравнений — суммы квадратов. Так можно записать квадраты длин векторов

( 1 1 2) a= x,y,z и b =(x,3y,z).

Согласно условию, $|a|= 3,|b|=2$ . Заметим, что скалярное произведение векторов $a$ и $b$ равно

(a,b)= 1⋅x+ 1 ⋅3y + 1 ⋅z = 6 x y z

что совпадает с $|a|⋅|b|$ , а значит, вектора коллинеарны, причём $a= 3b 2$ . Поэтому

(|| 1 = 3⋅x (|| x =± √√2 { x1 = 29⋅y ⇐⇒ { y =± √32 ||( y2 = 23⋅z ||( z = ± 32√ z 2 3

Подставим эти значения в третье уравнение (выбор знака перед каждым слагаемым независим):

√- √- ±2 2 ∓2 2 ±3= 3

Равенство возможно только в двух случаях: $( √- √- ) √23,32, 2√3$ или $( √- √- ) −√23,− -23 ,√23$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Умножим на 4 и 9 первое и второе равенство в системе соответственно и сложим их:

( ) ( ) ( ) 9x2+ 4- + 81y2 +-4 + 9z2+ 16 = 72 x2 y2 z2

По неравенству о средних получаем, что

(| 2 -4 ||||| 9x + x2 ≥12 |{ 2 4- ||| 81y + y2 ≥ 36 ||||( 2 16 9z + z2 ≥ 24

Тогда

( 2 4 ) ( 2 4) ( 2 16) 9x + x2 + 81y + y2- + 9z +z2 ≥ 72

Следовательно, равенство достигается тогда и только тогда, когда в каждом из неравенств выполняется равенство, то есть

(|| ( 2)2 ||||| 3x − x = 0 ||{ ( 2)2 || 9y − y = 0 ||||| ( )2 ||( 3z − 4 = 0 z

Откуда получаем

- (|| √6- ||||| x =± 3 |{ √2- ||| y =± 3 ||||| 2√3 ( z =± 3

Подставим полученные значения в третье уравнение:

√- √- ±2 2 ∓2 2 ±2= 2

Чтобы избавиться от иррациональности слева необходимо чтобы $x$ и $y$ были одного знака, а равенство превращается в тождество при $2√3- z =--3 .$ Таким образом, получаем 2 решения: $( √6 √2 2√3-) -3 ;-3-;-3$ и $( √6 √2 2√3) −-3-;− -3 ;-3$

Ответ:

$(√6 √2- 2√3) ( √6 √2 2√3) -3 ;-3-;-3 , − -3 ;− 3-;-3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#79602

Про действительные числа $a,b,c$ известно, что

{ ac− 2= 9b2; 3bc− 2= a2

Найдите все значения, чему может быть равно $ab$ .

Показать ответ и решение

Вычтем из первого уравнения второе:

c(a− 3b)= (3b− a)(3b+ a)

(a− 3b)(a +3b+ c)= 0

Если $a+ 3b+ c= 0$ , то $a= −3b− c$ и первое уравнение системы

27b2- (3b )2 4 + 2 +c = −2,

не имеет решений. Значит, $a= 3b$ и система сводится к одному уравнению

3bc= 9b2 +2,

которое имеет решение относительно $c$ при всех $b⁄= 0:$

2 c= 9b-+-2 3b

Таким образом, $ab= 3b2 > 0$ , при этом любое положительное значение $d> 0$ произведение $ab$ может принять: достаточно взять

∘ -- d 9b2+2- b = 3,a= 3b,c= 3b

Ответ:

$(0,+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#63741

Решите систему уравнений

{ x10+ x10+ ...+ x10=310 x133+ x233+ ...+ x9323=333 1 2 92

Источники: ОММО-2023, номер 5 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что

( x1)10 (x2)10 ( x92)10 3 + 3 +...+ 3 = 1

Тогда для каждого $1≤k ≤92$ имеем $|xk| |3-|≤1,$ откуда

|x |33 |x |10 ||k3|| ≤ ||k3||

Окончательно получим

|( ) ( ) ( ) | 1= ||| x1 33+ x2 33+ ...+ x92-33|||≤ 3 3 3

≤ |||x1|||33+ |||x2|||33+ ...+|||x92|||33 ≤ 3 3 3

| | | | | | ≤ ||x1||10+ ||x2||10+ ...+||x92||10 = 3 3 3

= (x1)10+ (x2)10+ ...+ (x92)10 =1. 3 3 3

Значит, для каждого $k$ выполнено

||xk||33 ||xk||10 |3| = |3|

откуда

xk ∈ {−3,0,3}

Отсюда несложно получаем, что тогда один из $x k$ равен $3,$ а все остальные равны $0.$

Ответ: одна из переменных равна 3, все остальные равны 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#63743

Дано действительное число $t$ , отличное от $0,1,− 1,1 2$ и $2.$

Решите уравнение

(x2 − x +1)3 (t2 − t+ 1)3 -x2(x-− 1)2-=-t2(t−-1)2--

Ответ может зависеть от $t.$

Источники: ОММО-2023, номер 7 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Докажем два утверждения:

если $x 0$ - решение уравнения, то и $1 − x 0$ также решение; действительно,

( ) (1− x0)2− (1− x0)+1 3 (x20− x0+ 1)3 -(1−-x0)2((1−-x0)− 1)2 =-x2(x0−-1)2- 0

поэтому если второе равняется $2 3 (tt−2(tt−+11))2$ , то и первое - тоже.

если $x0$ - решение уравнения, то и $1x- 0$ также решение; действительно,

( )3 (1∕x0)2− (1∕x0)+ 1 (x20− x0+1)3 -(1∕x0)2((1∕x0)− 1)2-=-x20(x0−-1)2-

поэтому если второе равняется $2 3 (tt−2(tt−+11))2$ , то и первое - тоже.

Заметим теперь, что $t$ - точно корень исходного уравнения. Тогда, корнями являются также числа $1∕t,1− t$ , а тогда и $11−t,1− 1−1t = t−t1,1− 1t = t−t1$ .

Можно показать, что при данных ограничениях на $t$ получившиеся 6 чисел - различны. Кроме того, исходное уравнение при $x ⁄=0,x⁄= 1$ равносильно уравнению 6 -й степени, которое не может иметь больше 6 корней. Значит, найденные числа и есть все корни.

Ответ:

$t,1,1 − t,-1,-t-,t−1 t 1− tt−1 t$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#71525

Решите в действительных числах систему уравнений:

(| a+ c= 4 |||{ ac+ b+d =6 | |||( ad+ bc =5 bd= 2

Источники: ОММО-2022, номер 5 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $x2+ ax+ b$ и $x2 +cx+ d$ — два квадратичных многочлена, коэффициенты которых — искомые корни данной системы. Тогда

( 2 )( 2 ) 4 3 2 x + ax+ b x + cx +d = x + (a +c)x +(ac+b+ d)x +(ad+bc)x +bd=

4 3 2 = x +4x + 6x +5x+ 2

Из делителей свободного коэффициента $2$ находим корни $− 1$ и $− 2$ , тогда можно поделить многочлен на $(x+ 1)(x+ 2)=(x2+ 3x +2):$

x4+ 4x3 +6x2+ 5x+2 =(x2+ 3x+ 2)(x2+ x+ 1),

что возможно только в двух случаях:

{ { x2+ax +b= x2+ 3x+2 x2 +ax+ b= x2+ x+1 x2+cx+ d= x2+ x+ 1 или x2 +cx+ d= x2+3x +2

тогда в первом случае получаем $a= 3,b= 2,c= 1,d =1,$ а во втором — $a= 1,b=1,$ $c= 3,d= 2.$

Ответ:

$(3,2,1,1),(1,1,3,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#92140

Решите уравнение

( 4 2 )(4 2 ) 4 x +3x + 3 y − 7y +14 = 21.

Источники: ОММО - 2021, номер 5 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что

4 2 x +3x + 3≥ 3

для каждого $x$ , а

y4− 7y2+ 14= (y2 − 7∕2)2+ 7∕4≥ 7∕4

для каждого $y$ . Поэтому левая часть уравнения не меньше $4⋅3⋅7∕4= 21$ , притом равенство достигается только при $x =0$ и $y2 = 7∕2$ . Это и даёт ответ.

Ответ:

$(0,∘ 7,−∘-7) 2 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#77810

Решите систему уравнений

{ 12x2+ 4xy+ 3y2+ 16x= −6 4x2 − 12xy+ y2 +12x− 10y =− 7

Источники: ОММО - 2020, номер 5 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Сложим первое уравнение, умноженное на $3$ , и второе. Получим,

2 2 40x +10y + 60x − 10y = −25

после деления на $10$ и преобразований, получаем: $4(x+ 3)2+(y− 1)2 = 0. 4 2$ Сумма двух квадратов может равняться нулю только в случае, когда каждый из этих квадратов равен нулю. Поэтому, ничего кроме $x= − 3,y = 1 4 2$ не может являться решением нашей системы.

Для окончания решения необходимо проверить, что найденные числа подходят:

{ 12⋅(− 3)2+4 ⋅(− 3)⋅ 1+ 3⋅(1)2+ 16⋅(− 3)= −6 4⋅(− 34)2− 12 ⋅(− 43)⋅2(1) +122⋅(− 3)− 104⋅ 1= −7 4 4 2 4 2

Ответ:

$x =− 3,y = 1 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#49483

Решите систему уравнений

(| x2 = (y− z)2− 3; { y2 = (z− x)2− 7; |( 2 2 z = (x− y) + 21.

Источники: ОММО-2018, номер 5, (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Перенесём в каждом уравнении квадрат разности в левую части и применим формулу для разности квадратов:

(| (x− y +z)(x +y− z)= −3 { (y− z +x)(y +z− x)= −7 . |( (z− x +y)(z +x− y)= 21

Обозначим $X = −x+ y+ z,Y = x− y+ z,Z =x +y − z$ . Тогда

(| YZ =− 3 { ZX =− 7 |( XY = 21

Перемножая все получившиеся равенства, имеем $(XY Z)2 = 3⋅7⋅21$ , откуда $XY Z =21$ или $XYZ = −21.$

Разберём случай $XYZ = 21$ . В нём $X = (XYZ)∕(YZ)= −7,Y = −3,Z =1$ ; тогда $x= Y+2Z-=$ $− 1,y =− 3,z = −5.$

Второй случай разбирается аналогично и в нём $x= 1,y = 3,z = 5.$

Ответ:

$(−1,−3,− 5),(1,3,5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31173

Решите в действительных числах систему уравнений

(| x+ y+ 2− 4xy = 0; { y+ z+2 − 4yz = 0; |( z+ x+ 2− 4zx= 0.

Источники: ОММО-2017, номер 5, (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Попарно вычтем уравнения друг из друга, получим:

(| x+ y− 4xy− y− z+ 4yz =0 (| (x − z)(1− 4y)= 0 { y+ z− 4yz− z− x+ 4zx =0 ⇐⇒ { (y − x)(1 − 4z)= 0 |( |( z+ x− 4zx− x− y+ 4xy =0 (z − y)(1− 4x)= 0

Пусть любая из переменных равна $1∕4$ — выберем $x$ в силу симметрии, тогда из первого уравнения системы $1∕4+ y+ 2− y = 0$ - неверно, то есть все переменные не равны $1∕4$ , откуда сразу же $x =y =z$ , снова подставим в первое уравнение системы (пользуемся симметрией) и получим $2x2− x− 1= 0=⇒ x= 1±3 =− 1,1 4 2$ , откуда и получим ответ.

Ответ:

$(−1∕2,− 1∕2,−1∕2),(1,1,1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#36910

Решите систему уравнений:

{ x2− xy+ y2 =19; x4+ x2y2 +y4 = 931.

Источники: ОММО-2016, номер 5, (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Функция $f(x,y)$ двух переменных $x$ и $y$ называется симметрической, если $f(y,x)= f(x,y)$ . В симметрической системе можно сделать замену $2 2 2 u= (x+y) = x + y +2xy,v = xy$ , тогда система эквивалентна:

{ u− 3v =19 2 2 (u − 2v) − v = 931

{ u= 3v+19 (v+ 19)2 − v2 = 931

{ u= 3⋅15+ 19 v = 15

Обратная замена:

{ (x+ y)2 = 64 xy = 15

По обратной теореме Виета решения системы удовлетворяют одному из уравнений: $t2± 8t+15= 0$ , решая которые получаем ответ.

Ответ:

$(3,5),(−3,−5),(5,3),(− 5,−3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#49482

Решите систему уравнений

{ 26x2 +42xy+ 17y2 = 10; 10x2 +18xy+ 8y2 =6.

Источники: ОММО-2015, номер 5, (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Складывая и вычитая два уравнения системы, получаем, что исходная система эквивалентна следующей:

({(6x+ 5y)2 = 16 2 ((4x+ 3y) = 4

Откуда получаем 4 возможных случая

{ { { { 6x +5y = 4 6x+ 5y =4 6x +5y = −4 6x+ 5y = −4 4x +3y = 2 4x+ 3y =− 2 4x +3y = 2 4x+ 3y = −2

Решая каждую из этих систем, находим 4 ответа: $(−1,2),(− 11,14),(11,−14),(1,− 2)$ .

Ответ:

$(−1,2),(− 11,14),(11,−14),(1,− 2)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#47250

Найдите все решения уравнения

2 2 2 (y(x− 1)) +(x− 1) +y + 1− 4y|x− 1|= 0.

Источники: ОММО-2014, номер 5, (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Заменим $t= |x − 1|≥ 0$ , а также перепишем уравнение в виде

2 2 (y + 1)(t +1)= 4yt

Как известно $a2+ 1≥2|a|$ , при этом $a2+ 1= 2|a| ⇐⇒ |a|= 1$ , откуда

2 2 4yt= (y + 1)(t + 1)≥ 4|yt|=4t|y|

и равенство достигается тогда и только тогда, когда $|y|=|t|= 1$ , при этом $|y|= y$ , поскольку иначе $4yt⁄=4t|y|$ . Получаем $y =1,|x − 1|= 1 ⇐ ⇒ x ∈{0,2}$ .