Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Квадратные трёхчлены на Физтехе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126187

Найдите все значения параметра $a,$ при которых корни уравнения $x2 − (a2− a)x +a− 5= 0$ являются пятым и шестым членами некоторой непостоянной арифметической прогрессии, а корни уравнения $2 (3 2) 4 2 6 4x − a − a x+ 2a +2a − a − 4 =0$ являются третьим и восьмым членами этой прогрессии.

Источники: Физтех - 2025, 10.5 ( см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть дана арифметическая прогрессия xₙ с разностью d. Выразите её пятый, шестой, третий и восьмой члены.

Подсказка 2

Заметьте, что сумма пятого и шестого совпадает с суммой третьего и восьмого.

Подсказка 3

Вспомните теорему Виета.

Подсказка 4

У Вас получится несколько возможных значений a. Найдите при каждом a пятый, шестой, третий и восьмой члены прогрессии и оцените через них d.

Показать ответ и решение

Пусть дана арифметическая прогрессия $x n$ с разностью $d,$ тогда ее пятый член — $x + 4d, 1$ шестой член — $x + 5d, 1$ третий член — $x1+ 2d,$ восьмой член — $x1 +7d.$ Заметим, что сумма пятого и шестого совпадает с суммой третьего и восьмого.

Пятый и шестой члены прогрессии — корни первого уравнения, третий и восьмой — корни второго уравнения, тогда можем вычислить их суммы по теореме Виета:

a3− a2 a2− a= --4---

14a(a− 1)(a− 4)= 0

a ∈{0;1;4}

Если $a= 0,$ то корнями первого уравнения являются числа $√- ± 5,$ а второго — $± 1.$ Тогда $√- |d|= |x6− x5|= 2 5$ и $5|d|= |x8− x3|=2,$ но это невозможно, следовательно, $a= 0$ не подходит.

Если $a= 1,$ то корнями первого уравнения являются числа $± 2,$ а корнями второго — $± 1. 2$ Тогда $|d|= |x6− x5|= 4$ и $5|d|= |x8− x3|=1,$ следовательно, $a= 1$ не подходит.

Если $a= 4,$ то корнями первого уравнения являются числа $6± √37,$ а корнями второго — $6± 5√37.$ Эти числа являются членами арифметической прогрессии с $x5 = 6− √37$ и $d= 2√37,$ поэтому $a= 4$ подходит.

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31048

Даны квадратные трехчлены

$2 f1(x)=x − ax+ 2$ , $2 f2(x)= x +3x+ b$ , $2 f3(x)= 3x +(3− 2a)x+ 4+ b$ и $2 f4(x) =3x + (6 − a)x+ 2+2b.$

Пусть разности их корней равны соответственно $A,B,C$ и $D$ , и при этом $|A|⁄= |B |.$

Найдите соотношение $C2−D2- A2−B2 .$

(значения $A,B,C,D,a,b$ не заданы)

Источники: Физтех-2019, 11.1, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, а давайте подумаем, чему равна разность между корнями любого квадратного трёхчлена.

Подсказка 2

Да, она равна отношению корня из дискриминанта к старшему коэффициенту! Попробуйте выписать разность корней для каждого из уравнений.

Подсказка 3

А теперь, давайте посмотрим на дробь, значение которой надо найти и просто подставим найденные разности в это выражение!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть $2 αx +βx +γ$ — квадратный трёхчлен с неотрицательным дискриминантом $T$ . Тогда его корни определяются формулой $−-b±√T- x1,2 = 2a$ , поэтому $||−b+-√T−(−b−√T)|| |x2− x1|= | 2a |=$ $√T- |a|$ . Применяя эту формулу четыре раза, получаем

∘----- √----- 1∘ --------------- 1∘ --------------- A = a2− 8,B = 9− 4b,C = 3 (3− 2a)2− 12(4 +b),D = 3 (6− a)2 − 12(2+b)

Отсюда следует, что $1(( ) ( )) 1( ) C2 − D2 = 9 4a2− 12a− 12b− 39 − a2− 12a− 24b +12 = 3 a2 +4b− 17$ , $A2− B2 =a2+ 4b− 17$ . Сократить на $a2 +4b− 17$ можно, поскольку $A2− B2 ⁄= 0$ по условию. Значит, искомое отношение равно $13$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Если у нас есть квадратное уравнение $ax2+ bx+ c$ , у которого $2$ корня, то по теореме Виета $x1+ x2 = − ba$ и $x1x2 = ca$ . Тогда $( ) (x1− x2)2 = ba 2− 4ac$ . Применим это к нашей задаче.

A2 =a2− 8

B2 =9 − 4b

2 3−-2a 2 16+-4b- C =( 3 ) − 3

2 (6− a)2 4(2+ 2b) D = ---9-- − --3----

Условие, что $|A|⁄= |B |$ дает нам, что $a2− 8⁄= 9− 4b$ или $a2+ 4b− 17⁄= 0$ .

2 2 C2-− D2-= (3−92a)-−-16+34b−-(6−a9)-+-4(2+32b) = A2 − B2 a2− 8− 9+ 4b

(9−-12a-+4a2)− (48+-12b)− (36−-12a-+a2)+12(2+2b) = 9(a2 +4b− 17) =

2 = −512+3a-+-12b= 1. 9(a + 4b− 17) 3

Ответ:

$1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#38128

Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y =f(x)$ и $y = g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Известно, что график функции $2 y = (f(x))$ касается графика функции $y =11g(x).$ Найдите все значения $A$ такие, что график функции $2 y =(g(x))$ касается графика функции $y = Af(x).$

Источники: Физтех-2018, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем пока просто записывать условие последовательно. Т.к. прямые параллельны, то коэффициент при х у них одинаков(например, k). Осталось записать условие на касание указанных функций(какое оно?), и понять, какие условия необходимы для касания требуемых функций.

Подсказка 2

Чтобы записать касание двух функций, достаточно их приравнять и потребовать единственное решение получившегося уравнения!

Подсказка 3

Если произошло касание, то уравнение (f(x))^2 = 11g(x) имеет ровно одно решение, а т.к. оно является квадратным, то его дискриминант равен нулю. Запишем это условие и сделаем выводы о свободных коэффициентах функций g(x) и f(x). Далее запишем условие на касание требуемых функций: (g(x))^2 = A*f(x) должно иметь нулевой дискриминант. Сделав несколько алгебраических преобразований и используя то, что мы узнали про свободные коэффициенты из первого касания, находим, при каких А дискриминант всё-таки нулевой!

Показать ответ и решение

Пусть $f(x)=kx +a,g(x)= kx+ b$ . В силу условие на касание графиков у уравнения $k2x2+2kax+ a2 = 11kx+ 11b$ должен быть нулевой дискриминант, то есть

2 2 2 2 2 2 (2ka− 11k)− 4k(a − 11b)= 0 ⇐⇒ −44ka+ 121k +44kb =0

Из условия $k ⁄= 0$ , то есть $4(b− a)+ 11=0$ .

Теперь запишем второе условие $k2x2 +2kbx+ b2 = kAx +aA$ , условие на дискриминант

2 2 2 2 2 2 2 (2kb− Ak) − 4k (b − aA)= −4k bA + A k +4k aA= 0

Если $A= 0$ , то квадрат касается прямой $y =0$ , что нам подходит, иначе $− 4b+A + 4a = 0 ⇐ ⇒ A = 4(b− a)= −11$ . Поскольку условие на дискриминант равносильно условию задачи, то мы нашли все подходящие $A$ .

Ответ:

$0,−11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#79924

Найдите количество различных приведённых квадратных трёхчленов (т.е. со старшим коэффициентом, равным 1) с целыми коэффициентами таких, что они имеют хотя бы один корень, все их корни являются степенями числа 3 с целыми неотрицательными показателями, и при этом их коэффициенты по модулю не превосходят $47 27 .$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте запишем наши корни в виде 3^а и 3^b (чтобы исключить повторения, считаем, что а ≥ b), как в этом случае мы можем записать коэффициенты уравнения?

Подсказка 2

По теореме Виета мы можем выразить коэффициенты уравнения через корни и записать ограничения на них, что мы теперь можем сказать о наших степенях?

Подсказка 3

Так как коэффициенты по условию не превосходят 27⁴⁷, получаем a + b ≤ 141. Теперь мы можем просто перебрать все возможные варианты и получить ответ!

Показать ответ и решение

Такие квадратные трёхчлены можно представить в виде $(x− 3a)(x− 3b)$ , где $a ≥0$ , $b≥ 0$ — целые числа. Чтобы исключить повторения, считаем, что $a ≥b$ . Раскрывая скобки, получаем $2 (a b) a+b x − 3 +3 x+ 3$ . По условию

{ 3a+3b ≤ 2747 a+b 47 3 ≤27

{ 3a+ 3b ≤3141 a+ b≤141

Заметим, что если выполняется второе неравенство, то первое неравенство верно за исключением одного случая $a= 141,b= 0$ . Для каждого значения $a$ выпишем количество подходящих значений $b$ :

$a= 141⇒ 0$ значений $b$ ;

$a= 140⇒ 2$ значения $b(b∈{0;1})$ ;

$a= 139⇒ 3$ значения $b(b∈{0;1;2})$ ;

$a= 71 ⇒ 71$ значение $b(b∈ {0;1;...;70})$ ;

$a= 70 ⇒ 71$ значение $b(b∈ {0;1;...;70})$ ;

$a= 69 ⇒ 70$ значений $b(b∈{0;1;...;69})$ ;

$a= 68 ⇒ 69$ значений $b(b∈{0;1;...;68})$ ;

$a= 1⇒ 2$ значения $b(b∈ {0;1})$ ;

$a= 0⇒ 1$ значение $b(b= 0).$

Суммируя, получаем $(2 +3+ 4+ ...71)+(71+70+ 69+ ...+1)= 5111$ вариантов.

Ответ: 5111

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#88688

Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y =f(x)$ и $y = g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Найдите наименьшее значение функции $2 (g(x)) +2f(x),$ если наименьшее значение функции $2 (f(x))+ 2g(x)$ равно $5.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала разберёмся, что это за линейные функции такие, у которых графики параллельны?

Подсказка 2

Если графики линейных функций параллельны, значит, их угловые коэффициенты равны. Пусть f(x) = ax + b, g(x) = ax + c. А что за функции будут (f(x))² + 2g(x) и (g(x))² + 2f(x)? Как найти их наименьшее значение?

Подсказка 3

После подстановки мы получим квадратичные функции, графиками которых являются параболы с ветвями вверх. Значит, их наименьшее значение будет в вершине.

Подсказка 4

Ордината вершины (f(x))² + 2g(x) это -2b - 1 + 2c, а у второй функции -2с - 1 + 2b. Давайте запишем систему: -2b – 1 + 2c = 5 и -2c – 1 + 2b = m. Из этой системы найдите m - это и есть искомое минимальное значение функции (g(x))² + 2f(x)

Показать ответ и решение

Пусть $f(x)= ax +b,g(x)= ax+ c$ , где $a ⁄=0$ . Рассмотрим $h(x)= (f(x))2+ 2g(x)$ . Раскрывая скобки, получаем

2 22 2 h(x)= (ax+ b) +2(ax +c)= a x +2a(b+1)x+ b+ 2c

График $y = h(x)$ — это парабола с ветвями вверх, минимальное значение принимается в вершине. Абсциссой вершины является $x =− b+1 B a$ ; ордината вершины равна $h(x )= −2b− 1+ 2c B$ .

Аналогично получаем, что минимальное значение выражения $(g(x))2+2f(x)$ равно $− 2c− 1+ 2b$ . Заметим, что сумма этих двух минимальных значений равна -2, следовательно, если одно из этих минимальных значений равно 5, то второе равно $− 2− 5= −7.$

Ответ: -7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#38126

Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция $f(x)$ принимает значения $13$ , $13$ и $35$ соответственно. Найдите наименьшее возможное значение $f(x)$ .

Источники: Физтех-2017, 9.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Допустим, что наши три числа это n-1, n и n+1. Наверное, вы уже пробовали их подставлять и вышло, мягко говоря, плоховато... Давайте попробуем подумать немного через график. Что является наименьшим возможным значением на нём и отчего оно зависит?

Подсказка 2

Верно, минимум на графике - это будет вершина параболы. Но что мы подставляем в аргумент, находя значение там? Это либо -b/2a по формуле, либо полусумма корней квадратного трёхчлена. Но ведь ни то, ни другое совсем не зависит от наших последовательных чисел, а только от изначального трёхчлена. Какой вывод тогда можно сделать?

Подсказка 3

Точно, мы можем подставить любые удобные нам три последовательных числа! Другими словами, на графике из-за параллельного переноса, наименьшее значение не поменяется. Тогда можно выбрать просто -1, 0 и 1, откуда просто найти коэффициенты квадратного трёхчлена, решив систему, а потом найти и его минимум.

Показать ответ и решение

От параллельного сдвига вдоль $Ox$ минимальное значение не поменяется, потому будем считать, что это значения $− 1,0,1$ . Если $2 f(x)= ax + bx+ c$ , то

( a− b+ c=13 ( a= b |{ ⇐ ⇒ |{ ⇐ ⇒ c=13,a= b= 11 |( c= 13 |( c= 13 a+ b+ c=35 2a= 22

Тогда $fmin = f(−1∕2)= 11− 11+ 13= 41 4 2 4$ .

Ответ:

$41 4$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#51857

Когда к квадратному трёхчлену $f(x)$ прибавили $x2$ , его наименьшее значение увеличилось на $1$ , а когда из него вычли $2 x$ , его наименьшее значение уменьшилось на $3$ . А как изменится наименьшее значение $f(x)$ , если к нему прибавить $2 2x$ ?

Источники: Физтех-2017, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что каждый раз у квадратного трёхчлена были различные наименьшие значения.

Подсказка 2

Это значит, что коэффициент при x² больше 1.

Подсказка 3

Пусть у нас был квадратный трёхчлен f(x) = ax² + bx + c, его наименьшее значение соответствует точке -b/2a, подставьте её в f.

Показать ответ и решение

Поскольку у трёхчлена $f(x)= ax2 +bx+ c$ каждый раз были различные наименьшие значения, то $a> 1$ , по формуле это

0 ( b) b2 fmin = f − 2a = c− 4a = T

После прибавления $x2$

2 f1min =c −--b-- =T +1 4a+ 4

После вычитания $x2$

f2min =c −--b2- =T − 3 4a− 4

Напишем разности полученных уравнений

{ -b2- b2 { b2 -b2- ({ --b2---=1 −4ab+24 + c= −4ba2 + c+ 1 ⇐⇒ 4a −b2 4a+b42 = 1 ⇐⇒ ( 4a(ab2+1)- −4a−4 + c= −4a + c− 3 −4a +4a−4 = 3 4a(a−1) =3

Поделим нижнее на верхнее и получим $a+1- a− 1 = 3 ⇐ ⇒ a= 2$ , откуда находим $2 b =24$ , осталось рассмотреть прибавление $2 2x$

2 f3min = c−-b---= − 3+ c 4a+8 2

Поскольку $f0min = c− b24a-=c − 248 = c− 3$ , то минимум функции увеличится на $32$ .

Ответ:

увеличится на $3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#88686

Известно, что для трёх последовательных натуральных значений $n$ , $n+ 1$ и $n +2$ аргумента квадратичная функция $f(x)$ принимает соответственно значения $6$ , $5$ и $5.$

(a) Найдите значение функции $f(n+ 3)$ .

(b) Найдите наименьшее возможное значение $f(x).$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пункт (а). Обратите внимание, что наша квадратичная функция по условию принимает равные значения при n + 1 и n + 2. О чем нам это говорит?

Подсказка 2

Если f(n + 1) = f(n + 2), тогда ось симметрии графика нашей квадратичной функции проходит через x = n + 1,5. Также мы знаем, что наша квадратичная функция при x = n равна 6. Чему тогда равно f(n + 3)?

Подсказка 3

Перейдём к (б)! Заметьте, что при отдалении от вершины значения функции увеличиваются, значит, минимальное значение будет в вершине. Нам нужно найти f(n + 1,5). Но мы не знаем, чему равно n. Какое преобразование данной функции не повлияет на значения функции, но позволит нам избавиться от n?

Подсказка 4

Давайте сдвинем квадратичную функцию на (n+1) влево по оси Ox и назовем новую функцию g(x). Мы получили, что f(n + 1,5) = g(0,5). Как же мы можем найти функцию g(x) и ее значения? Не забывайте про условия, которыми мы пользовались в пункте а.

Подсказка 5

Из условия нам известно, что g(-1) = 6, g(0) = 5, g(1) = 5. Зная значение квадратичной функции в трех точках, можно легко составить систему уравнений с тремя неизвестными и найти все коэффициенты квадратичной функции.

Показать ответ и решение

Рассмотрим квадратный трехчлен $g(x)= f(x +n+ 1)= ax2 +bx+ c$ для некоторых действительных $a,b,c.$ Имеем, что $g(−1)= f(n)= 6,g(0)=f(n+ 1)= 5,g(1)= f(n+ 2)=5.$ Таким образом, $a − b+ c= 6,c =5,a+ b+c= 5.$ Вычитая из первого уравнения третье и сократив на два, получим, что $b= −1∕2.$ Подставляя найденные значения в последнее уравнение, имеем $a =1∕2.$ Тем самым мы показали, что

x2 x g(x)= 2-− 2 +5.

(a) Таким образом,

f(n+ 3)= g(2)= 4− 2 +5= 6. 2 2

(b) Графики трехчленов отличаются $f(x)$ и $g(x)$ отличаются переносом на вектор, сонаправленный с осью $x,$ следовательно, их минимальные значения совпадают. Своего минимального же значения функция $g(x)$ достигает в точке $−-b 1 2a = 2.$ Наконец, оно равно

( 1) 1 1 7 g 2 = 8 −4 +5 =48.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Альтернативное решение пункта a) можно получить так. Поскольку квадратичная функция принимает одинаковые значения в точках $n +1$ и $n +2,$ симметричных относительно абсциссы вершины параболы $x0,$ то $x0 = n+ 1.5,$ она принимает равные значения так же в точках $n$ и $n +3.$ , следовательно, $f(n+ 3) =f(n)= 6.$

Ответ:

(a) $6$

(b) $478$