Параметры на ПВГ

Уравнение можно переписать так:

График правой части представляет собой параболу ветвями вниз, пересекающую ось в точках и . Рассмотрим теперь график левой части при разных значениях параметра.

• . Имеем «галочку» ветвями вниз с вершиной в точке , правая ветка которой при данных значениях параметра пересекает параболу дважды.
• . Горизонтальная прямая, совпадающая с осью Пересечение нашли выше, получаем также два решения.

• . Ветви «галочки» направлены вверх, но только правая ветвь пересекается с параболой, поэтому решения есть только в случае

  
  

  Необходимо и достаточно проверить для меньшего корня, тогда будет выполнено и для большего

  
  
  
  

  После пересечения остаётся только потому что

• . В каждом случае ровно одно решение, поскольку коэффициенты наклона ( и ) больше модулей наклона касательных в и , которые равны
• . Здесь ветви направлены вверх и каждая пересекает дугу параболы выше оси абсцисс, то есть всегда два решения.

• . Решаем аналогично , здесь , потому что пересекать может только левая ветка галочки.

  

  Решения могут быть только при неотрицательном дискриминанте

  
  

  Проверим для большего корня (для меньшего тогда тоже выполнится)

  

  Должно быть , но уже это неверно для полученного полуинтервала для неотрицательного дискриминанта. В итоге в этом случае решений нет.