Тема Ломоносов

Параметры на Ломоносове

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#125114

Укажите наименьшее положительное значение $a,$ при котором неравенство

5− 1 x 2 x ≥ a+ sin2

не имеет ни одного решения $x >0.$

Источники: Ломоносов - 2025, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Оставим только a в правой части и исследуем функцию в левой. Сначала рассмотрим каждое из слагаемых.

Подсказка 2

Нетрудно заметить, что первое слагаемое монотонно возрастает к 2^(5-(+0)), а sin(2^x) принимает любые значения из области значений и существует сколь угодно большой x, при котором -sin(2^x) = 1. Какой вывод можно сделать о максимальном значении функции?

Подсказка 3

Когда определили максимальное значение, легко найти минимальное а, которое больше этого значения и, соответственно, минимальное а, при котором неравенство не выполняется (обратим внимание на то, что слева максимальное значение первого слагаемого 2^(5-(+0)), а не 2⁵).

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию

5− 1 x f(x)= 2 x − sin2

Исследуем данную функцию. Имеем:

1.: $25− 1x$ — строго возрастающая к $25−0$ функция;
2.: $2x$ — неограниченно возрастающая функция, а, значит, найдутся сколько угодно большие $x,$ для которых выполняется равенство $sin 2x = −1.$

Тогда:

f(x)< 25+1 =33.

Значит, при $x> 0$ функция не принимает значений $a ≥33,$ а для любого $a< 33$ при некоторых достаточно больших $x> 0$ принимает значение, не меньшее $a.$

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#70492

При каких значениях параметра $a∈ ℝ$ наибольшее расстояние между корнями уравнения

3 ( 2) 2 ( 2 ) atg x+ 2 − a− a tg x + a − 2a − 2 tgx+ 2a =0,

принадлежащими интервалу $(− π;π), 2 2$ принимает наименьшее значение? Найдите это наименьшее значение.

Источники: Ломоносов-2022, 11.6 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, ну у нас тут кубическое уравнение относительно тангенса. В общем виде мы очень плохо решаем уравнения 3 степени, поэтому обычно в таких ситуациях мы пытаемся найти какое-то решение, а потом уже решать квадратное, поделив кубическое на это решение. Если вы верите в светлое будущее, то вам, скорее всего, нужно найти этот корень, потому как иначе непонятно, что делать и как исследовать разность между корнями, да ещё арктангенс брать. В общем, попытайтесь найти решение!

Подсказка 2

Ищется оно недолго, так как первая мысль «tgx = 1» срабатывает. После чего мы получим некоторый квадратный трехчлен, который уже можно разложить, либо просто угадав корни, либо через дискриминант. Получим, итого, (t - 1)(t - a)(at + 2) = 0, где t = tgx. Посмотрим на корни t = а и t = -2/a(если a!=0). Что можно про них сказать?

Подсказка 3

В силу того, что tgх нечетная функция, выходит, что один из корней точно < 0(уже после взятия арктангенса). Но при этом у нас есть корень pi/4. Что тогда можно сказать про наибольшее расстояние? А если а = 0?

Подсказка 4

Верно, что оно больше pi/4. Но в этих случаях, мы рассмотрели ситуации, когда a!=0, так как иначе один из корней не определен. Если же а = 0 , то есть два корня - 0 и pi/4. И тут расстояние ровно pi/4. Значит, в других ситуациях расстояние больше pi/4, а в этом pi/4. Значит, есть и оценка, и пример!

Показать ответ и решение

Данное уравнение можно переписать в виде

(tgx− 1)(tgx − a)(a tgx +2)= 0

Откуда при $x∈ (− π;π) 2 2$ либо $tgx =1$ и $x = π, 4$ либо $tg x= a$ и $x= arctg a,$ либо (при $a⁄= 0)tgx =− 2 a$ и $x= − arctg 2. a$ Таким образом, данное уравнение имеет на интервале $(− π;π) 2 2$ два или три различных корня (второй корень не может совпадать с третьим, так как $arctg a$ и $− arctg 2 a$ имеют разные знаки при любом $a⁄= 0$ в силу нечётности арктангенса).

Случай 1: $a =0.$ Тогда остаётся два корня $x= π 4$ и $x = 0,$ которые отличаются на $π. 4$

Случай 2: $a >0.$ Тогда разность между корнями $x= π 4$ и $x= − arctg 2< 0 a$ больше, чем $π. 4$

Случай 3: $a <0.$ Тогда разность между корнями $π x= 4$ и $x= arctga< 0$ больше, чем $π 4.$

Ответ:

$π 4$ при $a =0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#77781

Числа $a,b,c$ таковы, что каждое из двух уравнений $x2+ bx+a =0$ и $x2+ cx+ a= 1$ имеет по два целых корня, при этом все эти корни меньше $− 1.$ Найдите наименьшее значение $a.$

Источники: Ломоносов - 2021, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если сначала не очень понятно, что вообще делать, то давайте вспомним теорему, которая связывает корни многочлена и его коэффициенты!

Подсказка 2

Верно, это теорема Виета! Чему равно произведение корней у первого и второго уравнения и как дальше искать нужные нам a?

Подсказка 3

Да, у первого уравнения произведение корней равно а, у второго — a-1. Теперь вспоминаем, что корни отрицательные и различные у каждого уравнения и при этом a и a-1 — разной чётности. Тогда какое число хочется найти первым делом?

Подсказка 4

Верно, а и a-1 должны быть положительными и при этом, так как корни различны, то a и a-1 не являются квадратами и простыми числами. А какое минимальное натуральное число является нечётным и при этом произведением двух других чисел, отличных от 1 и -1?

Подсказка 5

Да, это число 15.

Показать ответ и решение

По теореме Виета произведение корней первого уравнения равно $a$ , произведение корней второго уравнения равно $a− 1$ . Ввиду того, что корни целые и меньше $− 1$ , их произведение больше $1$ , поэтому каждое из двух последовательных чисел $a − 1$ и $a$ является произведением двух различных целых чисел, больших $1$ (откуда $a> 1$ ).

Заметим, что $a$ и $a− 1$ не могут быть простыми числами, иначе один из корней — $1$ . Они так же не могут быть квадратами простых чисел, так как иначе либо корни совпадают и равны $√- a$ , либо один из них равен $1.$

Выпишем первые 15 натуральных чисел и вычеркнем все простые и квадраты простых. Останутся $6,8,10,12,14,15.$ Из них мы можем взять в качестве $a$ только число 15, так как в оставшихся случаях $a− 1$ будет вычеркнуто. Тогда

x2+bx+ a= (x+ 3)(x+ 5)= x2+ 8x+ 15

2 2 x + cx+ a− 1=(x+ 2)(x+ 7)= x +9x+ 14

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#102477

Найдите все значения $a$ , для каждого из которых при любом $x$ наибольшее из двух чисел

3 x + 3x +a − 9

a+25−x− 3x− 1

положительно.

Источники: Ломоносов - 2020, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По сути задача сводится к тому, что если на координатной плоскости нарисовать верикальную прямую, то верхняя из точек её пересечения с графиками функций из условия должна быть выше оси абцисс. Какой тогда крайний случай такой прямой стоит рассмотреть?

Подсказка 2

Рассмотрите случай, когда она попала в точку пересечения графиков функций из условия! Где должна располагаться это точка?

Подсказка 3

Точка перечения графиков из условия должна располагаться выше оси абцисс! Можем попробовать её угадать ;)

Показать ответ и решение

Функция $f(x)= x3+3x+ a− 9$ строго возрастает, а $g(x)= a+ 25−x − 3x−1$ — убывает. Поэтому указанное в задаче требование на параметр $a$ означает, что точка пересечения графиков этих функций лежит выше оси абсцисс, т.е. их значение в корне $x =2$ (угадываемом) уравнения

3 5−x x−1 x + 3x +a − 9= a+ 2 − 3

положительно, т.е.

3 1 a+ 2 − 3 > 0

a> −5

Ответ:

$(−5;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#47236

Сколько существует значений параметра $a$ , при которых уравнение

2 2 4a + 3xlgx +3lg x= 13algx+ ax

имеет единственное решение?

Источники: Ломоносов-2019, 11.7 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уж слишком ужасно выглядит наше уравнение. Если оно не раскладывается на скобки, то вообще не понятно как его решать. Давайте поверим в то, что оно раскладывается на два множителя. Т.к. у нас есть произведения x*lgx и x*a, но при этом нету x², скорее всего в одной скобке должны быть слагаемые lgx и a, а в другой lgx, a и x...

Подсказка 2

Действительно, наше выражение раскладывается в (3*lgx-a)(x+lgx-4a)=0. Тогда решения нашего уравнения получаются из решений двух уравнений 3*lgx=a и x+lgx=4a. Что особенного можно сказать про функции f(x)=3*lgx и g(x)=x+lgx?

Подсказка 3

Верно, они обе строго возрастают и пробегают все действительные значения при x>0. Это значит, что существуют единственные c и d такие, что f(c)=a и g(d)=4a. Значит, решения нашего уравнения- это в точности точки c и d, а мы хотим, чтобы решение было единственным. Когда такое может случится?

Подсказка 4

Нам нужно, чтобы c=d ⇒ 3*lgc=a и с+lgc=4a ⇒ 10^(a/3)+a/3=4a. Осталось лишь найти количество корней уравнения h(a)=10^(a/3)-11/3a=0. Как будем это делать?

Подсказка 5

Нетрудно видеть, что производная функции h(a) один раз обращается в нуль, который является точкой минимума. Значит, в силу непрерывности и неограниченности на бесконечностях нашей функции, она два раза пересечет прямую y=0.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0$ . Заметим, что левую часть уравнения можно разложить на скобки

(3lgx − a)(x +lgx− 4a)= 0

Решениями этого уравнения будет объединение решений $f(x)= 3lgx =a ⇐ ⇒ lgx= a,x= 10a∕3 3$ и $g(x)= x+ lgx = 4a$ . Заметим, что обе функции монотонно возрастают на ОДЗ и принимают все действительные значения, потому оба уравнения имеют единственное решение при каждом значении параметра. Но тогда решения уравнений должны совпадать, то есть

a a a 11 103 + 3 =4a ⇐⇒ h(a) =103 − 3 a =0

Осталось найти количество решений этого уравнения. Поскольку $′ 1 a 11- h(a)= 3ln 10 ⋅103 − 3$ имеет единственный нуль, который является точкой минимума, а также $1∕3 11 11 h(1)= 10 − 3 < 3− 3 < 0$ (то есть она принимает отрицательные значения), то уравнение $h(a)= 0$ имеет два решения. Это следует из того, что функция $h$ не ограничена на $±∞$ , поэтому по каждую сторону от точки минимума будет пересекать прямую $y = 0$ .

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#100459

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых ровно одно из следующих двух утверждений является истинным:

1) “Уравнение $cos(cosx)+ sin(sinx)= a$ имеет ровно два корня на отрезке $[0;π]$ ”;

2) “Уравнение $4 4 sin x+ cos x+ sin2x= a$ имеет корни.”

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим на первое утверждение, как обычно решаются подобные задачи?

Подсказка 2

Например, можно изобразить графики, и если найдутся 2 точки пересечения, то будет как раз 2 корня. Попробуйте проанализировать поведение функции в левой части.

Подсказка 3

Заметим, что cos(cos(x)) + sin(sin(x)) возрастает на промежутке [0;π/2] и убывает на промежутке [π/2;π]. Следовательно, единственное решение функция будет иметь только в точке π/2.

Подсказка 4

Левая часть во втором условии отдаленно напоминает квадратное уравнение, попробуйте сделать замену.

Подсказка 5

Пусть t = sin(2x).

Показать ответ и решение

1) Функция $f(x)= cos(cosx)+sin(sinx)$ возрастает на промежутке от 0 до $π 2$ (каждое из слагаемых монотонно возрастающая функция) и убывает на промежутке от $π 2$ до $π$ (так как $f(π− x)= f(x)$ ). Поэтому

E (f)= [f(0);f(π∕2)]= [cos1;1+ sin1]

Данное уравнение имеет ровно два корня на отрезке $[0;π]$ при $a∈$ $[cos1;1+ sin1)$ .

2) Во втором уравнении используем замену $t=sin 2x$ :

( 2 2 )2 2 2 sin x+ cos x − 2 sin xcos x+ sin2x= a

t2 1 − 2 + t= a

2 t − 2t− 2= −2a

Область значений функции $g(t)=t2− 2t− 2= (t− 1)2− 3$ на отрезке $[−1;1]$ есть множество

E(g)= [g(1);g(−1)]=[−3;1]

Данное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда

−2a∈ [−3;1]

[ 1 3] a∈ −2;2

3) Поскольку

1+ sin1 >1+ sin π= 3, 6 2

то ровно одно из данных утверждений 1 ), 2) является истинным при

[ 1 ) (3 ) a∈ − 2;cos1 ∪ 2;1+ sin1

Ответ:

$[− 1;cos1)∪ (3;1+ sin1) 2 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#39869

Найдите все пары $(a,b)$ , при которых множество решений неравенства $log (x− a)> 2014$ $2x2− x− b$ совпадает с промежутком $(0;1)$ .

Источники: Ломоносов-2014, 11.4 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В этом неравенстве есть и логарифм, и квадратичная функция... Стандартными способами такое не решишь( Обычно в таких случаях стоит подумать про какие-нибудь свойства функций, например, монотонность, чётность, выпуклость и т.д. Может, что-нибудь из этого набора нам поможет?

Подсказка 2

Монотонность у логарифма есть, но у квадратичной функции её нет. Чётность тоже не прослеживается... А вот что насчёт выпуклости? Логарифм в этом неравенстве — это выпуклая вверх функция, а вот квадратичная функция тут выпукла вниз. А нам нужно, чтобы график логарифма лежал выше параболы на целом отрезке (0; 1)... Что для этого достаточно и необходимо?

Подсказка 3

Ну конечно, график логарифма должен пересекать параболу в двух точках — в 0 и 1! Других точек пересечения быть не может в силу выпуклости. Что теперь мы можем сделать?

Подсказка 4

Да, просто приравниваем левую и правую части неравенства, решениями этого уравнения должны быть x = 0 и x = 1. Осталось решить получившуюся систему!

Показать ответ и решение

Заметим, что $f(x)= 2x2− x − b− log (x− a) 2014$ имеет не более двух корней, поскольку её вторая производная всегда положительна. Если $x =1$ не входит в ОДЗ, то $x< 1$ не могут быть решениями, потому возможны два случая

$x =0$ не входит в ОДЗ, тогда $a= 0$ , потому что ОДЗ $x> a$ , а любой $x > 0$ лежит в решениях, но не $x =0$ . Тогда при $x =1$ достигается равенство, поскольку функции с обеих сторон непрерывны (иначе единица также входила бы в решение)
$log20141= 2− 1− b ⇐ ⇒ b =1$
Если $x → 0$ , то логарифм стремится к $− ∞$ , тогда как в левой части в пределе будет $− 1$ , тогда нужное неравенство не выполняется и этот случай нам не подходит.
$x =0$ входит в ОДЗ и $a <0$ . В этом случае решениями являются оба конца промежутка
${ log (−a)= −b { −a= 2014−b { b= log 2013 log2014(1− a)= 1− b ⇐ ⇒ 1− a =20141−b =− 2014a ⇐⇒ a =− 20114 2014 2013$
Поскольку $f$ имеет положительную вторую производную и непрерывна, то отрицательна она только на промежутке между этими корнями (на бесконечности она положительна, как и при $x→ a$ ), то есть найденные значения подойдут.

Ответ:

$(− -1-,log 2013) 2013 2014$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#47067

Функция $f$ с областью определения $D (f) =[1;+∞ )$ удовлетворяет равенству

(4y+-4−y) f 2 =y

для любого $y ≥0$ . Для каждого значения $a⁄= 0$ решите неравенство

( ) f --a-- ≤1. x+ 2a

Источники: Ломоносов-2013, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Давайте рассмотрим обратную к f функцию. Она по y будет выдавать (4^y + 4^-y)/2. А что у этой функции с монотонностью?

Подсказка 2!

Верно, она монотонно возрастает, значит и наша f будет монотонно возрастать. Попробуйте применить это в неравенстве, которое нам надо рассмотреть

Подсказка 3!

То есть применим к обеим частям неравенства функцию g и получим новое неравенство, более удобное для работы.

Показать ответ и решение

Функция $f$ является обратной к функции $g(y)= 4y+4−y 2$ для $y ≥0$ . Поскольку здесь $g$ монотонно возрастает, то и $f$ , как обратная, будет монотонно возрастать. Отсюда следует

( a ) a 17 f x+-2a- ≤ 1 ⇐⇒ x+-2a ≤ g(1)= 8

Дополнительно учитываем ОДЗ, то есть $x+a2a-≥1$ . Имеем систему

{ { xa+2a-≤ 178- ⇐ ⇒ 17xx++226aa≥ 0 xa+2a-≥1 xx++a2a ≤ 0

Точками смены знака будут $26a − -17-,− a,− 2a$ , однако их порядок зависит от знака $a$ . При $a >0$ получаем решения $26a x∈ [− 17 ,−a]$ , а при $a < 0$ $26a x∈ [− a,− 17 ]$ .

Ответ:

$[− 26a-;− a] 17$ при $a> 0$

$\text{[math]}$

$[ 26a] −a;− 17$ при $a <0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#80573

Найдите все значения $a> 0$ , при каждом из которых из неравенства

2 2 x + y ≤ a

следует неравенство

(|x|+ 3)(|y|+ 3)≤25.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если мы хотим, чтобы из первого неравенства следовало второе, то нам было бы хорошо построить цепочку неравенств, где второе выражение оценивается сверху первым. Тогда мы сможем как-то связать между собой 25 и a.

Подсказка 2

В каком известном неравенстве присуствуют квадраты чисел? Как добиться того, чтобы в нём появились модули?

Подсказка 3

Воспользуйтесь неравенством между средними арифметическим и геометрическим! Тогда нам нужно, чтобь в одной из его частей извлекался корень из квадрата!

Подсказка 4

Раскройте скобки во втором выражении и попробуйте при помощи неравенства о средних оценить сверху 4|x| (аналогично с y). Тогда мы получим оценку сверху на a! Не забудьте показать, почему другие a не подходят ;)

Показать ответ и решение

(|x|+ 3)(|y|+3)= |xy|+ 3|x|+3|y|+ 9

Для любого значения $t$ верно $t2+4 ≥2√4t2 = 4|t|,$ поэтому с использованием неравенства о средних для двух чисел:

x2+-y2 x2+-4 y2-+4- 5(x2+-y2) |x|⋅|y|+ 3|x|+ 3|y|+9≤ 2 + 3 4 + 3 4 +9= 4 + 15

По условию это не превосходит $5a 4 +15,$ поэтому при $a≤ 8$ получаем искомое

5⋅8 (|x|+ 3)(|y|+ 3)≤ -4- +15= 25

Если $a> 8$ , то рассмотрим $∘ -- x =y = a2 >2.$ Такая пара $(x,y)$ подходит под первое условие, но не подходит под второе.

Ответ:

$a ≤8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#45586

При каких значениях $a,b$ и $c$ множество действительных корней уравнения

5 4 2 x + 2x + ax + bx =c

состоит в точности из чисел $− 1$ и $1?$

Источники: Ломоносов-2011, 11.6 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, перенесём всё в одну сторону, чтобы было удобнее работать.

Подсказка 2

Подставив - 1 и 1 и решив систему, находим b = -1 и a + 2 = c. Попробуем разложить многочлен на скобки, чтобы "ликвидировать" остальные корни. Какой известной теоремой можно воспользоваться, чтобы разложить многочлен на скобки, зная корни?

Подсказка 3

По теореме Безу наш многочлен делится на (x-1)(x+1). Поделим столбиком. Получим многочлен, у которого точно есть корни, т.к. при x -> ∞ его значение стремится к ∞, а при x -> -∞ его значение стремится к -∞. Тогда эти корни обязательно равны ± 1! Остаётся подставить и найти a и c.

Показать ответ и решение

Подставим корни $x= 1$ и $x= −1$ :

{ 3+ a+ b=c 1+ a− b=c =⇒ b= −1,a+ 2= c

Получаем, что уравнение имеет вид $x5+ 2x4+ (c− 2)x2− x − c= 0$ , которое имеет корни $x= ±1$ . Тогда по теореме Безу можем поделить левую часть на $(x− 1)(x+ 1)$ и получим

3 2 x + 2x +x +c= 0

Пусть $g(x)= x3+2x2+ x+ c.$ Так как $g(x)→ + ∞$ при $x → +∞$ $+ ∞$ и $g(x)→ −∞$ при $x→ − ∞$ , то по теореме о промежуточном значении непрерывной функции уравнение $g(x)= 0$ имеет корень.

Но по условию должны быть только корни $±1.$

Потому либо корнем является единица:

g(1)= 1+ 2+ 1+c =0 ⇐ ⇒ c= −4 =⇒ a= −6

Здесь получаем $g(x)= (x− 1)(x2 +3x+ 4)$ . Вторая скобка корней не имеет, потому такой набор параметров нам подходит.

Либо корнем является минус единица:

g(−1)= −1+ 2− 1+c =0 =⇒ c= 0 =⇒ a =− 2

Здесь $c= 0$ , так что уравнение будет иметь ещё и корень $x= 0$ , что нам не подходит.

Ответ:

$(−6,−1,− 4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#70996

При каких значениях параметров $a,b,c$ множество решений уравнения

5 4 2 x +2x + ax +bx+ c= 0

состоит в точности из чисел $1$ и $− 1?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Из условия мы сразу же узнаем, что числа 1 и -1 – решения уравнения. Воспользуемся этим фактом самым очевидным образом – подставим 1 и -1 в уравнение вместо переменной.

Подсказка 2

Из полученной системы находим значение b и то, каким образом выражается c через a. Мы нашли условия, при которых 1 и -1 – это решения, теперь нужно проверить, чтобы не было других решений.

Подсказка 3

Мы выяснили, что 1 и -1 являются решениями уже хотя бы по одному разу, значит, можно вынести x² - 1 из нашего уравнения, и останется только какой-то кубический многочлен. Вам нужно только найти такие a, при которых его корни это 1 или -1.

Показать ответ и решение

Подставим оба решения в уравнение

{ 1+ 2+ a+b+ c= 0 −1+ 2+ a− b+c= 0 =⇒ b= −1,a+c =−2

Далее вынесем $(x− 1)(x+ 1) =x2− 1$ из многочлена, получим

(x2− 1)(x3 +2x2+ x+ 2+a)= 0

Вторая скобка представляет собой кубический многочлен, поэтому у неё всегда есть корень, разберём случаи

Этот корень $x= 1$ , тогда $1+ 2+ 1+2 +a= 0 ⇐⇒ a= −6,c= 4$ , при вынесении $x− 1$ получим $(x − 1)(x2+ 3x+ 4)$ — вещественных корней у второй скобки нет.
Если же $x= −1$ , то $− 1+ 2− 1+2 +a =0 ⇐ ⇒ a =−2,c= 0$ , здесь есть корень $x= 0$ , поэтому случай нам не подходит.

Ответ:

при $a = −6,b= −1,c= 4$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#114021

При каждом значении $a$ найдите все значения $x$ , удовлетворяющие уравнению

( (x +1)2 ) (x+ 1)2 log5 --x---− a = log5---x-- − log5a.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу запишем ОДЗ и преобразуем правую часть по свойствам логарифма :)

Подсказка 2

Можно отбросить логарифмы и перейти к равенству выражений с x и a.

Подсказка 3

(a-1)(x+1)² = a²x. Нам нужно при каждом a искать какие-то x. А чем является это равенство относительно x?

Подсказка 4

Почти всегда равенств является квадратным уравнением относительно x, которые мы умеем решать ;) Осталось лишь учесть, что x должен удовлетворять ОДЗ!

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| (x+ 1)2 ||||| ---x-- − a >0 ||{ (x+-1)2 || x >0 ||||| a> 0 |( x⁄= 0

a> 0, x> 0, (x+-1)2 >1 ax

На ОДЗ по свойствам логарифмов уравнение равносильно

(x+-1)2− a= (x+-1)2 x ax

2 2 (a − 1)(x +1) = ax

Если $a= 1,$ то уравнение не имеет решений. Иначе получаем квадратное уравнение (так как $a⁄= 0),$ корни которого равны

⌊ x =a − 1 |⌈ 1 x = a− 1

Условие $x> 0$ выполняется при $a> 1$ для обоих корней. Условие $2 (x+1ax)-> 1$ тоже выполнено при $a >1,$ так как из уравнения $(a− 1)(x+ 1)2 = a2x$ получаем

(x+-1)2 = -a--= 1+ -1--> 1 ax a− 1 a− 1

Ответ:

при $a > 1:$ $a− 1, -1- a−1$

при $a≤ 1:$ решений нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#31977

При каких значениях $a$ существует единственное решение системы

{ x2+y2 =4; (x − 3)2+ (y+ 4)2 =a

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем о том, сколько решений может иметь второе уравнение системы в зависимости от а. Мы можем найти такие а, при которых у нас не будет решений и эти а в ответ точно не пойдут. Для остальных а мы можем подумать о том, как будут выглядеть графики

Подсказка 2

При положительных а у нас есть графики двух окружностей, подумайте над тем, когда у нас может быть ровно одно решение?

Подсказка 3

Верно, одно решение у нас в случае касания окружностей! Найдите значения а, при которых это происходит и останется лишь проверить, что происходит в случае, когда а=0!

Показать ответ и решение

При $a< 0$ второе уравнение не имеет решений. При $a =0$ второе уравнение имеет решение $x= 3,y = −4$ , которое не подходит под первое уравнение системы. Заметим, что при $a> 0$ перед нами две окружности: с центром $(0,0)$ радиусом $2$ и с центром в $(3,−4)$ радиусом $√ - a$ .

$PIC$

Нам нужно, чтобы у них была ровно одна точка пересечения, откуда две окружности касаются, то есть либо $------ √ 32+42 = 2+ √a$ (внешнее касание), либо $√32+-42-=√a − 2$ (внутреннее). Значит, $√a =3$ или $√a =7$ .

Ответ:

${9;49}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#31629

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

||x− a|+2x|+4x =8|x+1|

не имеет ни одного корня.

Источники: Ломоносов-2005

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, придётся раскрыть один из модулей, естественно мы выберем наименее «страшный», который в правой части. Главная идея при раскрытии этого модуля — обратить внимание на коэффициент перед x, а также подумать, какой коэффициент перед x может быть в левой части!

Подсказка 2

Хм, в правой части по модулю он равен 8. А в левой части? Опа, а в левой при раскрытии модуля он по модулю не больше 7. Что это значит, учитывая, что нам нужно отсутствие решений?

Подсказка 3

Конечно, если перенести всё в одну сторону, то монотонность определяется только раскрытием модуля с коэффициентом 8. Можно схематично нарисовать график полученной кусочно-линейной функции. В какой точке получается ключевое значение?

Подсказка 4

x = -1 будет точкой экстремума, а наличие решений определяется тем, какой знак имеет функция в этой точке. Осталось только подставить x = -1 и решить неравенство для а!

Показать ответ и решение

Рассмотрим эквивалентное уравнение

8|x+ 1|− 4x− ||x− a|+ 2x|=0

Левая часть при каждом фиксированном параметре $a$ является кусочно-линейной функцией $f(x)= 8|x+ 1|− 4x− ||x− a|+ 2x|$ , характер монотонности которой определяется первым модулем $8|x +1|.$

При $x≤ −1$ коэффициент перед $x$ равен $− 8− 4± 1±2 <0,$ поэтому функция $f(x)$ является убывающей, а её наименьшее значение достигается при $x= −1$ и равно $4− ||1 +a|− 2|.$

При $x≥ −1$ коэффициент перед $x$ равен $8− 4± 1± 2>0,$ поэтому функция $f(x)$ является возрастающей, а её наименьшее значение достигается при $x= −1$ и равно $4− ||1 +a|− 2|.$

Все значения больше $f(− 1)= 4− ||1+ a|− 2|$ достигаются, поэтому уравнение $f(x)= 0$ не имеет решений, если $0< f(−1),$ ведь тогда $0 <f(x)$ при любом $x.$

||a +1|− 2|− 4< 0 ⇔ |a+ 1|− 2∈ (−4,4)

|a+ 1|∈[0,6) ⇔ a +1∈ (−6,6) ⇔ a∈(−7;5)

Ответ:

$(−7;5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#80594

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

9|x− 1|− 4x+ |3x− |x+a||=0

имеет хотя бы один корень.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что можно сказать о промежутках возрастания и убывания выражения в левой части?

Подсказка 2

Обратите внимание на коэффициенты при x. Посмотрите, какими они будут после раскрытия модулей различными способами.

Подсказка 3

Получаем, что точкой минимума является x = 1, какое условие надо наложить, чтобы был хотя бы один корень?

Показать ответ и решение

Функция

f(x)= 9|x− 1|− 4x+ |3x − |x+ a||

убывает при $x ≤1$ (так как при любом раскрытии модулей коэффициент при $x$ равен $− 9 − 4± 3± 1< 0$ ) и неограниченно возрастает при $x≥ 1$ (коэффициент при $x$ равен $9− 4±3 ±1> 0$ ), следовательно, уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда

f(1)≤ 0

−4+ |3 − |1+a||≤0

− 4≤3 − |1+a|≤ 4

−1≤ |1+ a|≤7

−7 ≤1+ a≤ 7

−8≤ a≤ 6

Ответ:

$[−8;6]$