Неравенства и оптимизация на СПБГУ

Первое решение. По неравенству о средних для четырех чисел имеем

Просуммируем это неравенство с тремя аналогичными и получим, что

Равенство достигается, когда

Второе решение. По неравенству Коши–Буняковского для наборов чисел и имеем

А по неравенству Коши–Буняковского для наборов и имеем

Значит, Аналогично по неравенству Коши–Буняковского для наборов и имеем

Значит, Следовательно,

Равенство достигается, когда

Третье решение. По неравенству Коши–Буняковского для наборов чисел , и имеем

Оценим по-отдельности сомножители в правой части. По неравенству о средних для двух чисел поэтому

Аналогично по неравенству о средних для двух чисел

Значит,

Следовательно,

Равенство достигается, когда

При справедливы неравенства и , откуда

Аналогичным образом оцениваются два других слагаемых в числителе Поэтому

Равенство реализуется при

По неравенству о средних (аналогично для других пар). Значит

по неравенству Коши

Равенство достигается при

Первое решение.

Воспользуемся неравенством

Тогда с учетом неравенства Коши для средних

откуда Равенство реализуется при

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что для любого

В силу неравенства Коши для средних

Применим эту оценку при и затем сложим получившиеся неравенства. Тогда

откуда Равенство реализуется при

Применим неравенство о средних:

Далее оценим отдельно числитель каждой дроби в последнем выражении:

Осталось заметить, что равенство реализуется при .

Первое решение.

Поскольку справедливо неравенство

Сложив его с тремя аналогичными неравенствами, получим, что левая часть доказываемого неравенства не меньше, чем

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что Действительно, это неравенство после домножения на знаменатель превращается в неравенство

Но в таком виде оно очевидно, поскольку скобки в левой части имеют одинаковый знак, и их произведение неотрицательно.

Следовательно,

В последнем неравенстве мы дважды воспользовались неравенством о средних для двух чисел: и

Заметим, что при любых

По сути это частный случай транснеравенства, но докажем его по индукции. База очевидна, шаг:

Осталось доказать

Отсюда в силу неравенства для среднего гармонического и среднего арифметического

Предпоследний переход объясняется положительностью косинусов и перемножением крест-накрест с возведением в квадрат, тогда нам и помогает .

Тогда по неравенству Коши, применённому к скобкам ниже:

Равенство достигается при .

Рассмотрим такие векторы в

Заметим, что . Значит, , где . Тогда

Из перпендикулярности

Такое значение достигается при и