Алгебраические текстовые задачи на Росатоме
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Поверхность коробки размером 
разбита на 94 квадрата размером 
В квадратах, принадлежащих одной грани, написаны
одинаковые натуральные числа. На параллельной ей грани коробки эти числа повторяются (на каждой паре параллельных граней числа,
вообще говоря, разные). Муравей Гоша совершает путешествия по поверхности коробки, соблюдая следующие правила: 1) маршрут
начинается в центре любого из указанных квадратов, заканчивается в нем же и представляет собой замкнутую ломаную, лежащую в
плоскости, перпендикулярной одному из ребер коробки; 2) Гоша никогда не меняет направление движения по маршруту; 3) сумма чисел по
всем квадратам, встречающимся на пути Гоши, не зависит от маршрута и равна 2880. Какие числа написаны на гранях
коробки?
Источники:
Подсказка 1
Пусть в квадратах граней AA₁B₁B, AA₁D₁D, ABCD и параллельных им записаны числа x, y, z соответственно. тогда AB = 3, AD = 5, AA₁ = 4. Рассмотрим грань AA₁D₁D и выберем в ней произвольный квадрат с центром M₁. Пусть M₁ — начало маршрута Гоши. Каким условиям должен удовлетворять маршрут?
Подсказка 2
Посмотрим на условие (1). Сколько таких плоскостей мы может взять?
Подсказка 3
Таких плоскостей будет 2. Одна параллельна ABCD, вторая — AA₁B₁B. К тому же, они должны проходить через точку M₁. Тогда пути — это ломаные пересечений плоскостей с поверхностью коробки. Чему равны суммы чисел на этих маршрутах?
Подсказка 4
Для первого пути (лежащего в плоскости, параллельной ABCD) — σ₁ = 2(5y + 3x), для второго — σ₂ = 2(4y + 3z). Как можно воспользоваться 3 условием?
Подсказка 5
По 3 условию, все суммы чисел, расположенных в квадратах на пути Гоши, равны. В σ₁ и σ₂ используются 3 переменные — x, y и z. Попробуйте получить еще одно уравнение.
Подсказка 6
Возьмите квадрат из грани DD₁C₁C, пусть его центром будет M₂. Рассмотрите маршрут, лежащий в плоскости, параллельной AA₁D₁D.
Подсказка 7
Сумма чисел на пути будет равна σ₃ = 2(4y + 5z). Тогда из условия (3) σ₁ = σ₂ = σ₃.
Подсказка 8
Получим, что x = 5t, y = 9t, z = 8t, где t ∈ ℤ. Что мы ещ` знаем из условия?
Подсказка 9
Сумма чисел равна 2880. Тогда можем найти t.
Пусть в квадратных гранях 
и параллельных им записаны числа 
соответственно. Тогда 
Рассмотрим грань 
выберем в ней произвольный квадрат, его центр назовем 
Будем считать, что 
— начало маршрута
Гоши.
По условиям 
и 
будет существовать 2 допустимых маршрута с началом в 
Первый маршрут — ломаная пересечения поверхности коробки с плоскостью, проходящей через точку 
параллельная основанию
Сумма чисел, расположенных в квадратах на пути Гоши по этому маршруту, равна
Второй маршрут — ломаная пересечения поверхности коробки и плоскости, проходящей через 
и параллельной грани 
Сумма чисел, расположенных в квадратах на пути Гоши по этому маршруту, равна
Возьмем произвольный квадрат, расположенный на грани 
обозначим его центр за 
Рассмотрим соответствующий ему
маршрут, полученный пересечением поверхности коробки с плоскостью, параллельной грани 
Сумма чисел на этом
пути
По условию, 
Получим, что
Тогда
По условию,
Подставим 
и 
Тогда 
120, 192, 216
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
