Алгебраические текстовые задачи на Росатоме

Изобразим на координатной плоскости графики зависимости координаты от времени для участников пробежки

Вершины треугольника — точки встречи Вани и Паши Маши и Паши Маши и Тани Точка на стороне треугольника — точка встречи Паши и Тани. Точка на стороне треугольника — точка встречи Вани и Маши.Точка — пересечение отрезков и — точка встречи Вани и Тани, — время встречи Вани и Тани.

Так как то пусть и — длины отрезков и соответственно; аналогично, так как то пусть и — длины отрезков и соответственно.

По теореме Менелая для имеем:

Так как отношение отрезков такое же, как отношение их проекций, то

Получаем

Пусть движение происходит в направлении против часовой стрелки. Введём обозначения как показано на рисунке:

Петя бежит по большой дорожке из точки , Коля — по малой. Моменты времени, в которые Петя и Коля попадают в точку за минут бега, описываются сериями: (считаем в минутах, и — целые). Моменты встречи друзей в точке определяют начало промежутка времени в минуты, в течении которого они бегут вместе. Также необходимо учесть, что в самом начале они вместе пробегают отрезок за минуты.

Найдём, когда серии пересекаются: . Видим, что если чётно, то не найдётся такого , чтобы равенство выполнилось, а если нечётно — найдётся. Значит, и серия, описывающая встречи в точке имеет вид: . За 3 часа встречи происходили при Значит, они пробегают вместе минут.

Обозначим через .

У каждого прямоугольника от первого до трёхсотого есть область, содержащаяся только в нём. Эта область является прямоугольником с шириной 1 и высотой (если считать , ведь у последнего прямоугольника нижнее основание лежит уже на оси абсцисс)

Поэтому сумма площадей таких областей равна

Обозначим сумму возрастов папы, мамы и бабушки через , сумму возрастов детей через , а количество детей через . Тогда справедливы следующие равенства:

Преобразуем равенства:

Видно, что

Пусть за столом стояло стульев (т.е. за столом сидело всего человек). На круге точками отмечены стулья. Числом рядом с точкой обозначено количество стульев, разделяющих Петю и человека, сидящего на этом стуле.

Тогда число стульев, посчитанных Петей, включая Васю, равно

Обозначим число стульев, вычисленное для Васи. Тогда

Учитывая, что , , , получим единственное натуральное решение двойного неравенства: . Тогда число стульев за столом равно , а количество стульев, разделяющих Петю и Васю,

Пусть — положение автобуса на дороге в момент, когда его увидел Петя, — положение Пети на дороге в момент, когда он увидел автобус, — положение последней остановки, которую миновал Петя к моменту, когда он увидел автобус, — положение следующей за остановки, — расстояние между остановками, — расстояние между точками и , — скорость бега Пети.

Рассмотрим несколько случаев

Случай 1. Увидев автобус, Петя повернул назад. Петя окажется на остановке не позднее автобуса и сможет на него пересесть, если

Случай 2. Увидев автобус, Петя не изменил направления движения. Петя окажется на остановке не позднее автобуса и сможет на него пересесть, если

Наибольшее допустимое значение соответствует пересечению прямых и В итоге находим

Пусть – произвольная точка привоза товара, – расстояния от точки привоза до домов; Суммарное расстояние:

Из неравенства треугольника:

Равенство достигается только в случае, когда треугольники вырождаются в отрезки.

Правая часть неравенства не зависит от положения точки поэтому

Минимум достигается, когда точка совпадает с точкой поскольку в ней все неравенства превращаются в равенство.

За 12 минут и Петя, и Костя возвращаются в начало дорожки. Заметим, что если они находятся на одинаковом расстоянии от линии старта, то именно в этот момент они меняются местами.

За один проплыв бассейна Петя встречается с Костей ровно один раз. Значит, за первые 12 минут они встретятся на старте, между 2 и 4 минутой, между 4 и 6 минутой, , между 8 и 10 минутой, а на 12 минуте вместе приплывут к старту. Значит, за 60 минут они раз встретятся в середине дорожке и 6 раз (но 0, 12, 24, 36, 48 и 60 минуте) на старте.

Пусть ученики школы упорядочены по убыванию числа взятых ими карандашей: ученик под номером взял из коробки карандашей и

По условию для любого выполняется неравенство. Преобразуем его

То есть для любого Тогда для любого

По условию

Суммируя прогрессию, получим неравенство.

Если в школе учеников, то

Итого, ученик под номером забрал более карандашей.

Для начала решим задачу в общем виде. Пусть (бусин всего) , сек), и (сек). Рассмотрим столкновение двух бусинок и .

До столкновения бусинки двигались навстречу друг другу. После столкновения — наоборот, удаляются друг от друга.

Так как бусинки по виду одинаковые, то поменяв на правом рисунке буквы и местами, можно интерпретировать столкновение как переход бусинки через бусинку (так как бусинка теперь движется так, будто продолжает движение бусинки ). За один оборот окружности по часовой стрелке образ бусинки совершает столкновение. С учётом относительности движения один оборот совершается за сек. Если число ему кратно, то за время совершается полных оборотов, что сопровождается столкновениями. Итого:

Возвращаясь к замене переменной, получаем ответ:

Уравнение равносильно системе

Решения расположены в узлах «косой» решетки на плоскости образованной семейством прямых

Если две вершины, например, и , искомого треугольника наименьшей площади лежат на прямых семейства , то и являются соседними вершинами решетки (в противном, его площадь может быть уменьшена) и

Вершина находится на соседней (параллельной) прямой из семейства (иначе площадь может быть уменьшена). Поскольку расстояние между соседними прямыми из семейства одинаковое и равно , площадь треугольника равна . Если две вершины, например, и , находятся на прямой семейства и являются соседними узлами решетки, то

Вершина находится на соседней (параллельной) прямой семейства Поскольку расстояние между соседними прямыми из семейства одинаковое и равное , площадь треугольника равна