Тема 14. Задачи по стереометрии

14.06 Параллельность. Доказательство базовых фактов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи по стереометрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#15990

Докажите, что если три вершины квадрата лежат в плоскости, то все вершины (то есть весь квадрат) лежат в этой плоскости.

Показать ответ и решение

Пусть вершины $A$ , $B$ и $C$ квадрата $ABCD$ лежат в плоскости $α$ . Допустим точка $D$ не лежит в плоскости $α.$ Квадрат является параллелограммом, следовательно, $AB ∥CD$ , причем $CD ⊈α$ . Получаем, что прямая $CD$ , не лежащая в $α$ , параллельна прямой $AB$ , лежащей в плоскости $α$ , т.е. $CD ∥α$ . Одновременно с этим $CD$ проходит через точку $C$ , лежащую в плоскости $α$ , что противоречит определению параллельности прямой и плоскости.

$PIC$

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#15991

Докажите, что если три плоскости попарно пересекаются и прямые пересечения не совпадают, то эти прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны.

(в марафоне мы называем эту теорему «Домик»)

Показать ответ и решение

Пусть плоскости $α$ и $β$ пересекаются по прямой $c$ . Рассмотрим третью плоскость $γ$ . Возможны два случая:

$γ ∥ c$ . Докажем, что прямые $a = β ∩γ$ и $b = α ∩ γ$ параллельны прямой $c$ . Допустим противное, пусть, не умаляя общности, $a$ не параллельна $c$ . $a$ и $c$ лежат в одной плоскости $β$ и не параллельны, следовательно $a$ и $c$ пересекаются. При этом $a$ лежит в плоскости $γ$ , значит, и $γ$ пересекается с $c$ . Получили противоречие с $γ ∥ c$ .

$PIC$
$γ ∦ c$ . Если они не параллельны, значит, имеют точку пересечения. Обозначим эту точку $O = γ ∩ c$ . Она принадлежит всем трем плоскостям. Каждая пара плоскостей пересекается по прямой, значит, $O$ принадлежит всем трем прямым.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#15994

Пусть $A,B,C,D$ — точки, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямая $AB$ параллельна плоскости, проходящей через середины отрезков $AD, BD,CD.$

Показать доказательство

Теорема 1

Если прямая $a$ параллельна некоторой прямой $b,$ лежащей в плоскости $α,$ то $a∥α$ или $a$ лежит в $α.$

Решение

Рассмотрим плоскость $(ABC ).$ Точка $D$ лежит вне этой плоскости, значит, $ABCD$ — тетраэдр. Пусть $A1,$ $B1,$ $C1$ — соответствующие середины. Тогда $A1B1 ∥ AB$ как средняя линия, причем $A1B1 ⊂ (A1B1C1 ).$ Следовательно, по теореме 1 $AB ∥ (A1B1C1).$

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#15995

Пусть $A,B,C,D$ — четыре точки пространства. Докажите, что середины отрезков $AB,BC, CD,DA$ служат вершинами параллелограмма.

(расширенная теорема Вариньона)

Показать доказательство

Случай 1.

Все точки лежат в одной плоскости, то есть образуют четырехугольник.

$PIC$

Пусть $E,F,G, H$ — середины сторон $AB,BC, CD,DA$ соответственно. Тогда $HE ∥DB$ как средняя линия в треугольнике $ADB,$ а $GF ∥ DB$ как средняя линия в треугольнике $DCB.$ Следовательно, $HE ∥ GF.$

При этом по свойству средней линии имеем $1 HE = 2DB = GF.$ Тогда по признаку четырехугольник $EF GH$ — параллелограмм.

Случай 2.

Точки $A,B,C,D$ не лежат в одной плоскости, то есть образуют тетраэдр.

$PIC$

Пусть $E, F,G, H$ — середины отрезков $AB, BC,CD, DA$ соответственно. Тогда $HE ∥DB$ как средняя линия в треугольнике $ADB,$ а $GF ∥DB$ как средняя линия в треугольнике $DCB.$ Следовательно, $HE ∥ GF.$ Параллельность $HG$ и $EF$ доказывается аналогично. Значит, $EF GH$ — параллелограмм.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#15996

Параллельные прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $α$ . Докажите, что прямая $c$ , пересекающая прямые $a$ и $b$ , также лежит в плоскости $α$ .

Показать ответ и решение

Две параллельные прямые $a$ и $b$ однозначно задают плоскость $α$ . Пусть $A= a∩ c$ , $B = b∩c$ . $A ⁄=B$ , т.к. $a∥b$ . Тогда две точки прямой $c$ лежат в $α$ , следовательно, $c⊂ α$ .

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#15999

Стороны $AB$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ пересекают плоскость $α.$ Докажите, что прямые $AD$ и $DC$ также пересекают плоскость $α$ .

Показать ответ и решение

Допустим противное, пусть $AD$ не пересекается с $α$ , то есть $AD ∥α$ или $AD$ лежит в $α$ . При этом $AD ∥BC$ , так как $ABCD$ — параллелограмм. Получаем $BC ∥ α$ или $BC$ лежит в $α$ , что противоречит условию пересечения сторонами $AB$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ плоскости $α$ . Для прямой $DC$ аналогично.

$PIC$

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#16000

Средняя линия трапеции лежит в плоскости $α.$ Пересекают ли прямые, содержащие ее основания, плоскость $α$ ? Ответ обоснуйте.

Показать ответ и решение

Теорема 1

Если прямая $a$ параллельна некоторой прямой $b$ , лежащей в плоскости $α$ , то $a∥α$ или $a$ лежит в $α$ .

Решение

Нет, не пересекают, так как эти прямые параллельны средней линии, следовательно, по теореме 1 параллельны плоскости $α$ , которая содержит среднюю линию, либо лежат в этой плоскости.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#16001

Треугольники $ABC$ и $ABD$ не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку $CD$ , пересекает плоскости данных треугольников.

Показать ответ и решение

Докажем от противного. Допустим, что некоторая прямая $a∥CD$ не пересекает плоскость $(ABC )$ , то есть $a∥(ABC )$ или $a$ лежит в $(ABC )$ . Тогда $CD ∥ (ABC )$ или $CD$ лежит в $(ABC )$ , что противоречит условию. Аналогично для плоскости $(ABD )$ .

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#16002

Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $α$ , а точка $C$ не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков $AC$ и $BC$ , параллельна плоскости $α.$

Показать ответ и решение

Теорема 1

Если прямая $a$ параллельна некоторой прямой $b$ , лежащей в плоскости $α$ , то $a∥α$ или $a$ лежит в $α$ .

Решение

Обозначим середины через $A1$ и $B1$ . $A1B1 ∥AB$ как средняя линия в треугольнике $ABC$ . При этом $AB ⊂α,$ следовательно, по теореме 1 $A1B1 ∥ α$ .

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#16003

Точка $M$ не лежит в плоскости трапеции $ABCD$ с основанием $AD.$ Докажите, что прямая $AD$ параллельна плоскости $(BMC ).$

Показать доказательство

Теорема 1

Если прямая $a$ параллельна некоторой прямой $b,$ лежащей в плоскости $α,$ то $a∥α$ или $a$ лежит в $α.$

Решение

Так как $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC,$ то $AD ∥BC.$ При этом $BC ⊂(BMC ),$ следовательно, по теореме 1 $AD ∥(BMC ).$

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#16004

Докажите, что если данная прямая параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям.

Показать ответ и решение

Теорема 1

Если прямая $a$ параллельна некоторой прямой $b$ , лежащей в плоскости $α$ , то $a∥α$ или $a$ лежит в $α$ .

Решение

Обозначим данную прямую через $a$ . Тогда для каждой из двух плоскостей в этой плоскости есть прямая, параллельная $a$ (ведь прямая пересечения лежит в обеих плоскостях и параллельна $a$ ), а значит, по теореме 1 прямая $a$ параллельна каждой из двух плоскостей.

$PIC$

Ответ:

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#16005

Сторона $AC$ треугольника $ABC$ параллельна плоскости $α$ , а стороны $AB$ и $BC$ пересекаются с этой плоскостью в точках $M$ и $N$ . Докажите, что треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны.

Показать ответ и решение

Очевидно, что точки $A,B,C,M, N$ лежат в одной плоскости.

$PIC$

Докажем, что $MN ∥AC$ . Допустим противное. Тогда $MN ∦AC$ , причем они лежат в одной плоскости, следовательно, у них есть некоторая точка пересечения $X$ . Тогда $X ∈MN ⊂ α⇒ X ∈ α$ . При этом $X ∈ AC$ , значит, $AC$ пересекается с $α$ , что противоречит условию.

Из параллельности $AC ∥ MN$ очевидно следует подобие.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#16772

Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой? Ответ обоснуйте.

Показать ответ и решение

Нет, такого быть не может. Докажем от обратного. Пусть $a$ и $b$ скрещиваются, $a ∥ c, b ∥ c$ . Тогда $a ∥ b$ — противоречие с тем, что $a$ и $b$ скрещиваются.

Ответ:

Предыдущий раздел

Следующий раздел