Тема 8. Взаимосвязь функции и ее производной

8.04 Расчет касания двух графиков

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела взаимосвязь функции и ее производной

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#22945

Прямая $y =− 3x+ 8$ параллельна касательной к графику функции $2 y = x + 7x− 6.$ Найдите абсциссу точки касания.

Показать ответ и решение

Пусть $x0$ — абцисса точки касания. Тогда угловой коэффициент касательной в точке $x0$ равен значению производной в этой точке. Найдём производную функции $f(x)$ в точке $x0 :$

′ (2 )′ f (x) = x +7x − 6 = 2x+ 7 f′(x0)= 2x0+ 7

Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны, значит,

−3 = 2x0+7 ⇔ x0 = −5

Ответ: -5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#27109

Прямая $y =6x +7$ параллельна касательной к графику функции $g = x2− 5x+ 6.$ Найдите абсциссу точки касания.

Показать ответ и решение

Поскольку касательная параллельна прямой $y =6x +7,$ то уравнение касательной имеет вид $y = 6x+ c,$ где $c∈ ℝ.$ Поскольку прямая является касательной, то это может быть, только если функции совпадают. Но при этом решение может быть только одно, то есть должно получиться уравнение, дискриминант которого равен 0:

$pict$

Однако если квадратное уравнение имеет $D = 0,$ то его корень равен

b −11 x= − 2a= − 2⋅1 = 5,5

Это значение и есть абсцисса точки касания.

Ответ: 5,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1223

Прямая $y = 7x − 5$ параллельна касательной к графику функции $y = x2+ 6x − 8.$ Найдите абсциссу точки касания.

Показать ответ и решение

Пусть $yk = kx+ b$ — уравнение касательной. Так как прямая $y =7x − 5$ параллельна $yk,$ то их угловые коэффициенты равны, следовательно, $k = 7.$ Кроме того, имеем:

′ f (x)= 2x + 6

Так как угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ равен значению производной функции в точке касания $x0,$ то

7= 2x0+ 6 ⇔ x0 =0,5

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1288

Прямая $y =9x +5$ является касательной к графику функции $y = 18x2+ ax+ 7.$ Найдите число $a,$ если известно, что абсцисса точки касания отрицательна.

Показать ответ и решение

Если $yk = kx+ b$ – касательная к графику функции $f(x)$ в точке $x0$ , то выполняется следующее:

{ k = f′(x0) yk(x0)= f(x0)

Следовательно, нужно найти производную и подставить все данные в эту систему:

{ 9= 36x0+ a 9x0+ 5= 18x20+ ax0+ 7 { a= 9 − 36x0 18x20 = 2

Из этой системы получаем $x0 = ± 13.$ Так как по условию абсцисса точки касания отрицательна, то $x0 =− 13.$ Отсюда окончательно

( ) 1 a = 9− 36⋅ − 3 =21

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1289

Прямая $y =3x +4$ является касательной к графику функции $f(x)= 3x2− 3x+ d.$ Найдите число $d.$

Показать ответ и решение

Если $yk = kx+ b$ — касательная к графику функции $f(x)$ в точке $x0,$ то имеем систему

{ k = f′(x0) yk(x0)= f(x0)

Следовательно, нужно найти производную и подставить все данные в эту систему:

{ 3 = 6x0− 3 3x0+ 4 =3x20 − 3x0+ d { x0 = 1 d = −3x20+ 6x0+ 4

Таким образом,

d = −3+ 6+ 4 =7

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2248

Число $c ∈ ℝ$ такое, что график функции $y = x2 + c$ и прямая $y = x$ касаются. Найдите ординату точки касания.

Показать ответ и решение

Графики функций $y = f (x)$ и $y = g(x )$ касаются в точке $(x0;y0)$ тогда и только тогда, когда

{ f(x0) = g(x0) = y0 f′(x0) = g′(x0)

Тогда график функции $y = x2 + c$ и прямая $y = x$ касаются в точке $(x0;y0)$ тогда и только тогда, когда

{ { x02 + c = x0 = y0 0,25 + c = 0,5 = y0 2x = 1 ⇔ x = 0,5, 0 0

то есть ответ: $0, 5$ .

Ответ: 0,5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2395

Прямая $y =8(2x− 1)$ параллельна касательной к графику функции $f(x)= 3x2+ 7x+ 5.$ Найдите абсциссу точки касания.

Показать ответ и решение

Так как параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты и прямая имеет вид $y = 16x− 8,$ то уравнение касательной будет выглядеть как

yk = 16x+ b

Здесь $b$ — некоторое число. Так как значение производной в точке $x0$ касания равно угловому коэффициенту касательной, то

′ 3 f (x0)= 16 ⇒ 6x0+ 7 =16 ⇔ x0 = 2 = 1,5

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#2396

Прямая $y =12x − 73$ является касательной к графику функции $y = ax2− 18x+ 2.$ Найдите $a.$

Показать ответ и решение

Пусть $x0$ — точка касания. Так как значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной и $y′ = 2ax− 18,$ то

15 2ax0− 18 = 12 ⇔ x0 = a (1)

Так как $y = 12x− 73$ и $y = ax2− 18x +2$ имеют общую точку, то

12x0− 73= ax20− 18x0+ 2 (2)

Подставим $(1)$ в $(2) :$

152 30⋅15 a − a + 75 = 0 |:75 − 3+ 1= 0 ⇔ a = 3 a

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#27110

Прямая $y =− 5x+ 6$ является касательной к графику функции $28x2+ 23x+ c.$ Найдите $c.$

Показать ответ и решение

Способ 1.

Прямая и парабола касаются, если их функции совпадают только в одной точке. Нужно приравнять функции, тогда получится квадратное уравнение, которое будет иметь один корень при нулевом дискриминанте:

$pict$

Способ 2.

В точке касания значения функций и их производных равны:

$pict$

Чтобы найти $c,$ подставим $x =− 0,5$ в квадратное уравнение:

$pict$

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1060

Прямая $y =12x +13$ является касательной к графику функции $y =x3 − 9x2 − 9x +2.$ Найдите абсциссу точки касания.

Показать ответ и решение

Пусть $x0$ — точка касания. Так как значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной и $y′ = 3x2− 18x− 9,$ то

2 3x0 − 18x0− 9= 12 ⇔ x0 = 7, x0 = −1

Так как $y = 12x+ 13$ и $y = x3− 9x2 − 9x +2$ имеют общую точку (и это точка касания), то

3 2 12x0 +13 = x0− 9x0 − 9x0+ 2

Проверим значение $x0 =− 1:$

3 2 12⋅(−1)+ 13= (−1) − 9⋅(−1) − 9 ⋅(− 1) +2 ⇔ 0 = 0

Аналогичной проверкой убеждаемся, что $x = 7 0$ не подходит. Следовательно, ответ $− 1.$

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1061

Нормалью к графику функции в точке $x0$ называется прямая, проходящая через точку $(x0;f (x0))$ перпендикулярно касательной, проведенной к графику данной функции в точке $x0$ .
Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции

2 f(x) = x + 2x + 4

будет параллельна нормали, проведенной к графику $f(x )$ в точке $x = − 1,125 0$ .

Показать ответ и решение

Пусть к графику $f(x)$ в точке $x0 = − 1,125 = − 98$ проведена касательная. Тогда уравнение касательной имеет вид $y = f′(− 1,125 )x + a$ , где $a$ – некоторое число. Так как угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых в произведении дают $− 1$ , то уравнение нормали в точке $x0$ будет иметь вид $---1---- y = − f′(−1,125)x + b$ .
Так как угловые коэффициенты параллельных прямых равны, то уравнение касательной, параллельной этой нормали, в точке $x1$ будет иметь вид: $y = f′(x1 )x + c = − f′(−11,125)x + c$ . Следовательно,

′ -----1----- ----1----- f (x1) = − f ′(− 1,125) ⇒ 2x1 + 2 = − − 2 ⋅ 9 + 2 ⇒ x1 = 1. 8

Ответ: 1

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#2178

Говорят, что две кривые касаются в точке $(x; y)$ , если они обе через неё проходят и имеют в этой точке общую касательную. Найдите абсциссу точки касания графиков функций $x4- 2 1- y = 4 + πx + 3$ и $x3 1 y = ---+ πx2 + -- 3 4$ .

Показать ответ и решение

Графики функций $y = f (x)$ и $y = g(x )$ касаются в точке $(x0;y0)$ тогда и только тогда, когда

{ y0 = f(x0) = g(x0) f′(x0) = g′(x0),

таким образом, для касания данных графиков в точке с абсциссой $x$ необходимо и достаточно выполнение условия

( 4 3 { x--+ πx2 + 1-= x-+ πx2 + 1- 4 3 3 4 ( x3 + 2πx = x2 + 2πx.

Из второго уравнения последней системы находим, что $x = 0$ или $x = 1$ , тогда, подставляя эти значения в первое уравнение, находим, что $x = 0$ не подходит, а $x = 1$ – подходит. Таким образом, $1$ – абсцисса точки касания данных графиков.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2211

Найдите ординату точки касания графика функции $y = sin2x$ и прямой $y = x+ 0,5 − π. 4$

Показать ответ и решение

Если указанные графики касаются в точке $(x0;y0),$ то производные соответствующих функций равны в точке $x0$ :

2sinx0⋅cosx0 = 1 sin2x0 = 1 π x0 = 4 + πk, k ∈ℤ

При этом необходимо, чтобы при $x= x0$ значения соответствующих функций совпадали:

sin2x0 = x0+ 0,5− π- 4

Далее, при $x0 = π+ πk, k ∈ℤ 4$ получаем $sin2x0 = 0,5.$ Тогда имеем:

π- 0,5= x0+ 0,5− 4

Отсюда $π- x0 = 4.$

Таким образом, для касания указанных графиков в точке $(x0;y0)$ необходимо, чтобы было выполнено $x0 = π. 4$ Но этого и достаточно, ведь при $x0 = π 4$ совпадают значения функций и их производных.

В итоге получаем

y0 = sin2x0 =0,5

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2750

Известно, что уравнение прямой, касающейся графика функции $y = 4x3+ 6x2 − x − 1,$ имеет вид $y = −x+ c.$ Найдите $|c|.$

Показать ответ и решение

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x0;y0)$ имеет вид

′ y = y(x0)(x − x0)+ y(x0)

Отсюда следует, что $y′(x )= −1, 0$ то есть

[ 12x2+ 12x0− 1= −1 ⇔ x0 =0 0 x0 = −1

При $x0 = 0$ уравнение касательной имеет вид

y = −x − 1

При $x0 = −1$ уравнение касательной имеет вид

y = −x +1

Тогда подходят $c =− 1$ и $c= 1,$ но в любом случае $|c|= 1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#19184

Прямая $y =9x +6$ является касательной к графику функции $y = ax2− 19x+ 13.$ Найдите $a.$

Показать ответ и решение

Запишем условие касательной прямой $y = 9x+ 6$ и функции $y = ax2− 19x+ 13:$

({ 2 9x+ 6= ax − 19x+ 13 ( (9x + 6)′ = (ax2− 19x +13)′ ( { ax2− 28x + 7= 0 ( 9= 2ax− 19

Из второго уравнения получим $ax= 14.$ Подставим это значение в первое уравнение. Тогда имеем:

14x− 28x+ 7= 0 ⇔ x = 0,5

Подставив значение $x$ в выражение $ax= 14,$ получим $a = 28.$

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#75176

На Новый Год дети загадывают желание Деду Морозу, а Никита уже вырос и теперь загадывает не желание, а некоторый коэффициент $b,$ при котором прямая $g(x) = − 2x+ b$ касается параболы $f(x) = 2x2 +2x + 4$ ровно в одной точке. Порадуйте Никиту, вычислив значение $b.$

Показать ответ и решение

Приравняем уравнения функций $f(x)$ и $g(x)$ и получим квадратное уравнение:

2x2 + 2x+ 4 = − 2x +b,

2x2 + 4x+ 4 − b = 0.

Заметим важный нюанс: количество корней этого уравнения определяет количество общих точек у двух графиков функций $f(x)$ и $g(x).$

При $D < 0$ графики не имеют общих точек, при $D = 0$ графики касаются в одной точке, при $D > 0$ графики пересекаются в двух точках. Нас интересует второй случай:

D = 16 − 4⋅2⋅(4− b) = 0,

16 − 32+ 8b = 0,

b = 2.

Ответ: 2

Предыдущий раздел

Следующий раздел