Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Уравнения и неравенства без логарифмов и тригонометрии на Физтехе

Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Уравнения и неравенства без логарифмов и тригонометрии на Физтехе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#100248

Решите неравенство

((x−-5)2-+4 ) |x− 5| − 4 (|x − 4|+ |x− 6|− 2)≤ 0.

Источники: Физтех 2022, 15.1 (olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Давайте поработаем с первой скобкой:

(x-− 5)2+4 (x-− 5)2− 4|x−-5|+-4 |x− 5| − 4 = |x− 5| =

2 2 = |x−-5|−-4|x−-5|+4-= (|x−-5|−-2)- |x − 5| |x− 5|

Во-первых, очевидно, что модуль в знаменателе никак на неравенство не влияет. Можно его убрать, но запомнить, что $x⁄= 5$ . Числитель является полным квадратом, а значит тоже не влияет. Разве что, нам будут интересны значения, которые этот квадрат зануляют, а это $x =3,x= 7$ , отправляем их в ответ и забываем про первую скобку.

Осталось неравенство $|x− 4|+ |x − 6|≤ 2$ . Его мы решим просто рассмотрением трёх случаев раскрытия модулей:

x∈(−∞; 4),x∈ [4;6] и x∈ (6;+∞ )

Откуда получаем $x∈ [4;6]$ . Учитывая ответы и ограничения из прошлых рассуждений, запишем окончательный ответ.

Ответ:

$[4;5)∪(5;6]∪ {3;7}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#100249

Решите неравенство

|3 2 | |x − 2x + 2|≥ 2− 3x.

Показать ответ и решение

Ясно, что рассматривать разные случаи раскрытия модуля — не вариант, потому что у многочлена нет красивых корней. Тогда попробуем возвести в квадрат и написать разность квадратов. Чтобы это преобразование стало равносильным, давайте поймём, что при $2 x > 3$ левая часть меньше $0$ и неравенство очевидно верно. При $2 x≤ 3$ она неотрицательна и мы можем возводить в квадрат:

3 2 3 2 (x − 2x + 3x)(x − 2x − 3x+ 4)≥0.

Посмотрим на первую скобку, она равна $x((x − 1)2+2)$ . Ясно, что $((x− 1)2+ 2)> 0$ , а значит это можно убрать из неравенства и от скобки остаётся только $x$ . Что касается второй скобки, внимательный читатель должен заметить, что $x =1$ — корень многочлена, а значит мы можем его разложить на множители так:

( 1− √17-)( 1+√17) (x− 1)(x2− x − 4)= (x− 1) x −-2-- x − --2---

Итак, неравенство примет вид

( 1-− √17) ( 1-+√17) x(x − 1) x − 2 x − 2 ≥ 0.

Заметим, что скобки $x− 1$ и $( √ -) x− 1+2-17-$ при $x≤ 23$ отрицательны, а их произведение положительно, то есть на него можно поделить:

( 1− √17) x x− --2--- ≥0.

Получаем, что

( -] 1-− √-17 [ 2] x∈ −∞; 2 ∪ 0;3 .

Осталось совместить с предыдущими ответами и написать ответ.

Ответ:

$( 1− √17-] −∞; --2--- ∪[0;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#34753

Решите неравенство

(∘ -3-------- ) |3 | x − 10x+ 7+ 1 ⋅|x − 18x +28|≤ 0.

Источники: Физтех-2020, 10.3, (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x3− 10x+ 7≥ 0$ .

На ОДЗ корень неотрицателен, так что первая скобка положительна. Вторая неотрицательна, поэтому неравенство достигается только в случае, если вторая скобка равна нулю, то есть

3 2 √-- x − 18x +28= 0 ⇐⇒ (x− 2)(x +2x− 14) =0 ⇐ ⇒ x =2 или x= −1± 15

Осталось проверить, что найденные значения входят в ОДЗ неравенства. Раз уж при найденных $x$ выражение под модулем равно $0$ , то вычтем его из выражения под корнем, в итоге требуется $8x − 21≥ 0$ . Для $1 − √15$ и $2$ это неверно, проверим третий корень:

√-- √-- 8⋅(−1+ 15)≥21 ⇐⇒ 8 15≥ 29 ⇐⇒ 960= 64⋅15≥ 931

Получаем единственное решение.

Ответ:

$− 1+ √15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#51861

Решите неравенство

4 2 2 2x + x − 4x− 3x |x− 2|+ 4≥ 0

Источники: Физтех-2020, 10.4, (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство

2 2 4 (x− 2)− 3x |x− 2|+2x ≥ 0

Заметим, что мы получили квадратный трёхчлен от $|x− 2|$ . У него можно попробовать угадать корни, а можно пойти честно через дискриминант

4 4 4 3x2±-x2 2 2 D= 9x − 8x =x ⇐⇒ x1,2 = 2 = {x;2x }

Получаем разложение на скобки

(|x− 2|− x2)(|x− 2|− 2x2)≥ 0

Домножим неравенство на произведение скобок $(|x− 2|+ x2)(|x − 2|+ 2x2)> 0$ , получим

2 4 2 4 ((x− 2) − x )((x− 2)− 4x )≥0

(x− 2 − x2)(x− 2+ x2)(x− 2− 2x2)(x − 2+ 2x2) ≥0

(x2 − x +2)(x2+ x− 2)(2x2− x +2)(2x2+ x− 2) ≥0

Заметим, что для первой скобки $D = 1− 8< 0$ и для третьей $D = 1− 16 <0$ , откуда неравенство можно переписать в виде

[ √-- √-- ] (x2 +x − 2)(2x2+ x− 2)≥ 0 ⇐⇒ x∈ (−∞,−2]∪ − 1+--17,-17−-1 ∪ [1,+∞) 4 4

Ответ:

$(−∞;− 2]∪ [− 1+√17;√17−1]∪ [1;+∞ ) 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#91510

Решите уравнение

4 2 2 3x + x − 8x − 4x |x − 4|+16 =0.

Источники: Физтех - 2020, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

3x4+x2− 8x−4x2|x− 4|+16= 3x4+(x− 4)2 − 4x2|x− 4|= ( 2 )( 2 ) = 3x − |x− 4| x − |x− 4|= 0

Значит, либо $2 x =x − 4$ корней нет, либо $2 x = −x+ 4$ (корни $1 √-- − 2 ± 17$ ), либо $2 3x = x− 4$ (решений нет), либо $2 3x = 4− x$ (решения 1 и $4 − 3$ ).

Ответ:

$1 ±√17,1,− 4 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#98715

Решите уравнение:

4 2 2 2x +x − 6x− 3x|x− 3|+ 9= 0.

Источники: Физтех - 2020, 9 класс (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим уравнение:

4 2 2 2x +x − 6x− 3x|x− 3|+ 9= 0.

Разделим решение на два случая в зависимости от значения выражения $|x− 3|$ .

Случай 1: $x ≥3$

В этом случае $|x− 3|= x− 3$ . Подставим это в исходное уравнение:

2x4 +x2− 6x− 3x2(x− 3)+ 9= 0.

Упростим выражение:

2x4+x2− 6x− 3x3+9x2+ 9= 0.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

4 3 2 2x − 3x +10x − 6x +9 =0.

Теперь выделим два слагаемых следующим образом:

x2(2x2− 3x+9)+ (x − 3)2 = 0.

Покажем, что сумма $x2(2x2− 3x+ 9)+ (x− 3)2$ всегда больше нуля:

1. Рассмотрим выражение $x2(2x2− 3x+ 9)$ . Заметим, что $x2 ≥0$ для всех $x$ , поэтому достаточно исследовать знак многочлена $2x2− 3x+9$ .

Найдем дискриминант многочлена $2x2− 3x +9$ :

D = (− 3)2− 4⋅2⋅9= 9− 72 =− 63.

Поскольку дискриминант отрицателен ( $D < 0$ ), многочлен $2x2− 3x+9$ не имеет действительных корней и всегда положителен (так как коэффициент при $x2$ положителен). Следовательно, $x2(2x2− 3x+ 9)≥ 0$ для всех $x$ .

2. Теперь рассмотрим выражение $(x− 3)2$ , которое также всегда неотрицательно и равно нулю только при $x= 3$ .

Таким образом, сумма двух неотрицательных выражений, $x2(2x2− 3x +9)+ (x− 3)2$ , всегда больше нуля для всех $x$ , кроме $x =3$ . Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных решений в этом случае.

Случай 2: $x <3$

В этом случае $|x− 3|= 3− x$ . Подставим это в исходное уравнение:

2x4 +x2− 6x− 3x2(3− x)+ 9= 0.

Упростим выражение:

4 2 2 3 2x +x − 6x− 9x +3x + 9= 0.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

2x4 +3x3− 8x2 − 6x+ 9= 0.

Заметим, что $x= 1$ и $x = −1.5$ являются корнями этого уравнения. Тогда разложим многочлен на множители:

1. Разделим $2x4+3x3− 8x2− 6x +9$ на $(x− 1)$ :

2x4+ 3x3− 8x2− 6x+9 =(x− 1)(2x3+ 5x2− 3x− 9).

2. Разделим $2x3+5x2− 3x− 9$ на $(x+1.5)$ :

2x3+ 5x2 − 3x− 9= (x +1.5)(2x2 +2x− 6).

Таким образом, исходное уравнение можно записать в виде:

(x− 1)(x+ 1.5)(2x2+2x− 6)= 0.

Теперь решим уравнение $2 2x +2x− 6= 0$ :

Найдем дискриминант:

D =22− 4⋅2⋅(−6)=4 +48= 52.

Тогда корни уравнения:

√ -- √-- √ -- x= −-2±--52-= −2±-2-13= −-1±--13. 2 ⋅2 4 2

Итак, решения исходного уравнения во втором случае: $x= 1$ , $x= −1.5$ , $√-- x= −1+2-13$ и $√-- x = −-1−213$ .

Ответ:

$1,−1.5,−1+√13,−1−-√13 2 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#51860

Найдите все значения переменной $x$ , при каждом из которых оба выражения $f(x)= √21−-x2− 4x$ и $g(x) =|x+ 2|$ определены, причём $x+4- min(f(x);g(x))> 2$ .

Источники: Физтех-2019, 10.2, (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $− x2− 4x +21≥ 0 ⇐⇒ x∈ [−7;3]$ . Последнее условие эквивалентно тому, что каждая функция на ОДЗ больше $x+4 2$ . Поскольку обе функции неотрицательны, то неравенство автоматически выполнено при $cx+4 2 < 0 ⇐⇒ x< −4$ , откуда с учётом ОДЗ получаем решения $x ∈[−7,−4)$ , далее $x≥ 4$ , тогда можем возвести ограничения на функции в квадрат

{ 2 x2+8x+16 212− x − 4x≥x2+84x+16 x + 4x +4 ≥ 4

{ 5x2+ 24x − 68< 0 3x2+ 8x< 0

{ x ∈(− 34,2) x ∈(−∞5,− 8)∪(0,+ ∞) 3

( ) x∈ − 34,− 8 ∪ (0,2) 5 3

Поскольку изначально $x≥ −4$ , то остаются только $x ∈(−4;− 83)∪ (0;2)$ . Объединяя с первым промежутком, получаем ответ.

Ответ:

$[−7;− 8)∪(0;2) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#110253

Решите неравенство

3∘ x2 6√--2 -------22-−--4x-------≥ 0. (x2 − 4|x|) − 8x2+ 32|x|− 48

Источники: Физтех 2019, 11.2 (olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим знаменатель дроби. Его можно записать в виде

( 2 )2 (2 ) x − 4|x| − 8x − 4|x| − 48

А если обозначить $x2− 4|x|=t,$ то в виде

2 t − 8t− 48= (t− 12)(t+4)

Если вернуться обратно к переменной $x,$ выходит выражение

(x2− 4|x|− 12)(x2 − 4|x|+ 4)=(|x|− 6)(|x|+ 2)(|x|− 2)2

Итак, исходное неравенство равносильно следующему

3∘ x2− 3∘2|x| ------2----------2-≥ 0 (|x|− 6)(|x|+2)(|x|− 2)

В этом неравенстве необходимо сравнить дробь с нулём, или, что то же самое, определить знак этой дроби. Поэтому если мы заменим числитель или любой из множителей в знаменателе выражением того же знака, то получим неравенство, равносильное исходному.

Заметим, что знак выражения $3√a −√3b$ совпадает со знаком выражения $a− b$ при любых $a$ и $b;$ выражение $|a|− b$ при $b< 0$ положительно, а при $b>0$ его знак совпадает со знаком выражения $a2− b2 = (a− b)(a+ b).$ Следовательно, неравенство равносильно

x2 --2-2-−-2|x2|--2 ≥ 0 (x − 36)(x − 4)

---|x|(|x|− 4)-- (x2− 36)(x2− 4)2 ≥ 0

x2(x− 4)(x+4) (x−-6)(x+-6)(x−-2)2(x+-2)2 ≥ 0

Метод интервалов, применённый к последнему неравенству, даёт

x∈ (−∞;−6)∪ [−4;−2)∪(−2;2)∪(2;4]∪(6;+ ∞)

Ответ:

$(−∞;− 6)∪[− 4;−2)∪ (− 2;2)∪(2;4]∪ (6;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#67702

Решите неравенство

∘ √------- ∘ --------√----- x+ 1− 2+ x+ 82− 18 x +1 >5

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=√x-+-1≥ 0$ , получим

√---- ∘ -2-------- √ ---- t− 2+ t − 18t+ 81 >5 ⇐ ⇒ t− 2+ |t− 9|>5

Сделаем ещё одну замену $y =√t-− 2≥ 0$ , получим

2 y +|y − 7|> 5 ⇐⇒ y ∈(−∞, −4)∪(−1,2)∪ (3,+∞ )

Учитывая ограничения

√t−-2∈ [0,2)∪ (3,+∞ ) ⇐⇒ t∈[2,6)∪(11,+ ∞)

Остаётся вернуться к первоначальной переменной

√x-+-1∈[2,6)∪ (11,+∞ ) ⇐ ⇒ x ∈[3,35)∪(120,+∞ )

Ответ:

$[3;35)∪(120;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#70348

Решите неравенство

√ - √- 2 8|x− x+ 2|+ 2x x< x + x+ 28.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x≥ 0.$ Сделаем замену $√x =t ≥0.$

Заметим, что $2 1 2 7 t − t+ 2= (t− 2) + 4 > 0.$ Следовательно $2 2 |t − t+ 2|= t − t+ 2.$

2 3 4 2 8(t − t+ 2)+ 2t < t +t + 28

4 3 2 t− 2t − 7t +8t+ 12>0

(t+ 2)(t+ 1)(t− 2)(t− 3)>0

Учитывая $t≥0$

(t− 2)(t− 3)> 0 ⇐⇒ t∈[0;2)∪ (3;+∞ ) =⇒ x∈ [0;4)∪(9;+ ∞).

Замечание. Также можно заметить, что $√- √- x2− 2x x+ x= (x− x)2$ и сделать замену $√- t= x− x.$

Ответ:

$[0;4)∪ (9;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#88260

Решите неравенство

-√x-− 2- √---- 1− √x-+-1 ≥ 1+ x+ 1

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ x≥ 0 √ ---- 1− x+ 1⁄= 0

x> 0

Заметим, что на ОДЗ знаменатель дроби отрицателен, поэтому можем обе части неравенства на него домножить, поменяв при этом знак неравенства. Тогда

√x − 2 ≤1− (x+1)

√x-≤ 2− x

{ 2 − x ≥0, x ≤4 − 4x+ x2

{ x ≤2, x2 − 5x+ 4≥ 0

{ x≤ 2, x∈ (− ∞;1]∪[4;+∞ ),

откуда $x ≤1$ . С учётом ОДЗ окончательно получаем $x∈ (0;1]$ .

Ответ:

$(0;1]$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#88254

Решите неравенство

∘-2---- √----- 2 x − 16⋅ 2x− 1≤ x − 16

Показать ответ и решение

ОДЗ данного неравенства - это множество $x∈ [4;+ ∞)$ .

Рассмотрим два случая.

a) При $x= 4$ неравенство выполнено (получаем $0= 0$ ).

б) При $x> 4$ делим обе части неравенства на положительное число $√-2---- x − 16$ и получаем

√----- ∘ ------ 2x− 1≤ x2− 16

2 2 2x− 1≤ x − 16,x − 2x − 15≥ 0

x∈ (−∞;−3]∪[5;+ ∞)

С учётом условия, получаем $x ∈[5;+∞ )$ .

Объединяя результаты, находим $x∈{4}∪ [5;+∞ )$ .

Ответ:

${4}∪[5;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#67700

Решите неравенство

----1----- --1- ∘|x+-2|−-1 ≤5 +x

Показать ответ и решение

Если $5 +x <0,$ то неравенство не выполняется, поэтому $x> −5.$ Отсюда обе дроби положительны и неравенство можно переписать в виде

∘-------- 2 5+ x≤ |x+ 2|− 1 ⇐⇒ 25+10x+ x ≤ |x+ 2|− 1

Рассмотрим случаи

$− 5 <x <− 2$ , здесь
$25+ 10x +x2 ≤−x − 3 ⇐ ⇒ x2+ 11x+28≤ 0 ⇐⇒ x∈ [− 7,−4]$
Пересекая с условием, имеем $x∈(−5,−4]$ .
$x ≥− 2$ , тогда
$25+ 10x +x2 ≤ x+ 1 ⇐⇒ x2+ 9x +24≤ 0$
Дискриминант квадратного трёхчлена отрицательный, решений нет.

Ответ:

$(−5,−4]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#85029

Решите неравенство

-----3x+3----- 3 − √x2-− 2x+-10 ≤ 1

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

({ x2− 2x+10≥ 0 √---------- ( 3− x2− 2x+ 10 ⁄=0

( { (x− 1)2+ 9≥ 0 ( (x− 1)2+ 9⁄= 9

x⁄= 1

Теперь преобразуем исходное неравенство

( √ ---------) 3x+-3−--3−--x2−-2x-+10- 3 − √x2-− 2x+-10 ≤ 0

√---------- 3x+√-x2−-2x+10-≤0 3 − x2− 2x+ 10

Докажем, что знаменатель всегда отрицательного знака

∘ -2-------- 3− x − 2x+ 10< 0

9 <x2 − 2x+ 10

0< (x− 1)2

Следовательно, исходное неравенство равносильно

∘-2-------- 3x+ x − 2x+ 10 ≥0

∘x2−-2x+-10-≥− 3x

Заметим, что если $− 3x < 0,$ т.е. $x >0,$ то неравенство верно, т.к. левая часть неотрицательна. Теперь рассмотрим случай $x ≤0,$ возведём неравенство в квадрат.

x2− 2x+ 10≥ 9x2

8x2+ 2x − 10≤ 0

(x − 1)(4x+ 5)≤0

[ ] x ∈ − 5;1 4

Но т.к. $x ≤0,$ то

x ∈[− 5;0] 4

Объединим все случаи и учтём ОДЗ, в итоге получим

[ 5 ) x ∈ −4 ;1 ∪(1;+∞ )

Ответ:

$[− 5;1) ∪(1;+∞) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#79280

Решить неравенство

√--x--- ∘ --x---- 32 + 4− |32 − 7|<1

Источники: Вступительные в МФТИ - 1993 (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Так как под корнями стоят выражения, которые при любых $x$ больше нуля, то ОДЗ эта вся вещественная ось. Перенесем слагаемое с минусом в левую часть и сделаем преобразования.

√------ ∘ ------- 32x+ 4< 1+ |32x− 7|

Возведем в квадрат, в левой и правой части стоят положительные числа

x ∘ --x---- x 32 +4 <1 +2 |32 − 7|+ |32 − 7|

Рассмотрим случай, когда $x> log 7, 32$ тогда:

√--x--- 5< 32 − 7

25< 32x − 7

x> 1

Теперь рассмотрим случай, когда $x ≤log327.$

√ ------ √------ 32x +4< 1+ 7− 32x

Сделаем заммену $x t= 32.$

√ ---- √---- t+4< 1+ 7− t

Возведем в квадрат

√---- t+4 <1 +2 7 − t+ 7− t

√---- t− 2< 7− t

t2− 3t− 3< 0

Решая это квадратное уравнение, получим, что $( √-- √ -) t∈ 3−--21; 3-+-21 . 2 2$ Делая обратную замену, получаем, что $( ( √--)) x ∈ − ∞; log32 3+--21 . 2$

Так как $( √--) log 3+--21 < log 7, 32 2 32$ то итоговый ответ

( (3+ √21)) x ∈ −∞; log32 ---2-- ∪(1; +∞ )

Ответ:

$( (3+ √21) ) −∞; log32 ---2-- ∪ (1; + ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#64111

Найдите сумму всех решений уравнения

2 [x] + 40x+ 336= 0.

Показать ответ и решение

Пусть $a =[x],b= {x},$ тогда получаем уравнение

2 a +40a+ 40b+ 336= 0

Нам требуются такие значения $a$ , что $a2+ 40a+336∈ (− 40,0]$ , то есть $(a+ 28)(a +12)∈(−40,0]$ . Решая это неравенство в целых числах, находим решения $a∈ {−12,−13,−14,− 15,−25,−26,−27,−28}$ . В пару к каждому находим $b= − a2+40a+336 40$ , получаем $b∈ {0,3, 7,39,39,-7,3,0} 810 40 40 10 8$ . Остаётся записать ответ, используя $x =a +b.$