.15 Последовательности. Индукция.

Давайте попробуем разложить наше выражение на множители. Сначала просто выносим а затем используем два раза формулу разности квадратов. С учётом этого, имеем:

Далее, надо просто рассмотреть случаи:
1. Если кратно 5, то всё уже хорошо. Тогда и наше произведение кратно 5, так как первый множитель в нём - это и есть
2. Если даёт остаток 1 при делении на 5, то, очевидно, скобка делится на 5, а, значит, и всё наше произведение
3. Если даёт остаток 2 при делении на 5, то даёт остаток 4, а, значит, уже делится на 5. Значит, вновь наше произведение делится на 5.
4. Если даёт остаток 3 при делении на 5, то даёт остаток 4 (потому что это будет в смысле остатка, а 9 даёт остаток 5), а, значит, уже делится на 5. Значит, вновь наше произведение делится на 5.
5. Если же, наконец, даёт остаток 4 при делении на 5, то скобка поделится на 5.
Поскольку в каждом из рассмотренных случаев получается, что выражение
делится на 5, то и исходное выражение - тоже. И мы всё доказали.