Функции

Подставим во второе неравенство

Тогда получаем:

Такое возможно, только если стоит знак равенства. Тогда в переходах тоже был знак равенства. Из этого следует, что

Тогда

Подставим в данное равенство

Из условия следует, что это равенство выполнено при любых В частности, при Значит,

Тогда получаем, что должно быть верно

То есть при всех

Далее, подставляя в исходное равенство получим

Подставляя теперь приходим к

Наконец, подстановка позволяет найти оставшееся значение

Таким образом, для любых действительных

а) По основному логарифмическому тождеству уравнение равносильно

Производная функции равна поэтому функция убывает при и возрастает при

В точке минимума значение функции равно так как поэтому функция достигает значение по одному разу левее и правее точки минимума (для обоснования стоит ещё упомянуть непрерывность функции и её неограниченность слева и справа от точки минимума);

б) возведение произвольного отрицательного числа в произвольную отрицательную степень не имеет смысла (не определено однозначно), потому что нарушаются свойства степеней. Например, но при этом

Пусть — касательная из условия и — координаты точек касания на оси

Так как в точках касания, то они являются корнями чётной кратности данного многочлена Также в силу того, что коэффициент при старшей степени равен можем представить многочлен в следующем виде:

Назовем правую часть тогда:

Запишем полученные для функций условия в точках касания в систему:

Из равенства коэффициентов следует:

Отсюда можно выразить и :

То есть Теперь можно найти коэффициенты и

Получается, что

Значения касательной в точках касания:

Тогда длина отрезка касательной между точками касания — пусть

Получили искомое значение длины отрезка касательной между точками касания — 5.

Функция определена при Функция

определена при Далее

Тогда получаем при уравнение

С учётом ОДЗ только одно значение подходит в ответ.

При (подставим в аргумент функции ):

Заметим, что так как .

Следовательно, при :

Преобразуем аргумент в правой части, получим:

Подставим полученное выражение для в условие задачи. Получим, что при :

Проверим, когда выражение принимает нулевое значение. Это происходит только при то есть . Этот трёхчлен не имеет вещественных корней, поскольку его старший член положительный, а дискриминант отрицательный. Разделим обе части на это выражение:

Заметим, что получившаяся функция при удовлетворяет условию, поскольку . Следовательно, это и есть ответ.

Возьмем какое-нибудь число Тогда возможны два варианта:

1. Если то и

2. Предположим Тогда Иначе
(а) Если
(b) Если
И так как то

Таким образом, для любого либо либо есть три различных числа таких, что

При этом любая функция с таким свойством подходит. Тогда найдем число функций с необходимым свойством.

1. Нет ни одной тройки элементов, что Значит, для всех чисел верно Такая функция одна.

2. Есть одна тройка элементов, что Выбрать тройку можно способами. При этом есть два способа задать функцию в тройке. Итого функций.

3. Есть две тройки элементов, что Выбрать первую тройку можно способами, остальные три элемента образуют вторую тройку. Но варианты, в которых выбрали в первую тройку и выбрали все кроме одинаковые. То есть способов разбить элементы на две тройки. При этом в каждой тройке есть два способа задать функцию. Итого функций.

Всего число функций равно

Подставим и в равенство. Получим систему

Решив которую, получаем

Первое решение. Распишем косинус двойного угла

Получаем уравнение вида

где Так как

вторая производная положительна при любом , то первая производная — монотонно возрастающая функция. Тогда имеет не больше одного решения. Точка подходит. Также заметим, что при и при . А значит, возрастает при и убывает при . Кроме того, функция чётна. Тогда уравнение может иметь решение только в случаях или . Решив эту совокупность, получим

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Левую часть уравнения преобразуем по формуле разности косинусов, правую — по формуле косинуса двойного аргумента:

В правой части применим формулу разности квадратов и введём обозначения:

Тогда наше уравнение запишется в виде

Перенесём всё в правую часть и вынесем множитель

Ясно, что выражение в скобках строго больше 1 в виду неравенства

Значит, при уравнение решений не имеет, то есть оно может иметь решения только при или

Проверяем эти значения подстановкой в уравнение и убеждаемся, что при этих значениях уравнение верно.

Делаем обратную замену и получаем ответ

Если при каком-то выполняется то для любого верно поэтому для любого выполняется

Если же для любого значения , то для любого должно быть выполнено

где после сокращения на получаем

Преобразуем выражение аргумента

Выполним замену Тогда , следовательно, для любого верно, что

Тем самым, мы показали, что функция имеет вид , где — некоторая постоянная, которая не зависит от , тогда

следовательно, для некоторой новой постоянной . Аналогично,

Осталось заметить, что тангенс угла наклона в точке 0 равен значению производной функции в точке 0, так что

а) Предположим, что такая функция существует. Тогда подстановкой и в условие задачи

получаем противоречие

б) Если существует, то снова возникает противоречие при с неоднозначностью Этот пункт проверяет лишь понимание, что положительный должен быть для , а не для условия на

Покажем, что функция является нечётной. Действительно,

Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат, а график функции симметричен относительно точки .

Отметим, что . По условию, с одной стороны,

а, с другой стороны,

Поэтому и, более того, все неравенства выше обращаются в равенства.

Поэтому и .

Таким образом, искомая функция - это функция при целых значениях .

Кроме этого, известны значения функции на отрезке .

Значит, .

Пользуясь формулами преобразования произведения в сумму, получаем

Пусть , тогда левая часть уравнения равна . Функция возрастает на (так как ) >0 при ) и является чётной, причём . Следовательно, корнями уравнения на отрезке являются числа . Возвращаясь к переменной , находим

Так как

то на указанный отрезок попадают корни и . Их сумма равна .

Условие равносильно выполнению равенства

Поскольку , и значения выражений и разной чётности, второе из них положительно и больше первого, то остаётся рассмотреть только четыре варианта:

Соответствующие пары значений ( ) таковы: .

Выразим из уравнений

функции в явном виде:

Найдём их производные:

Приравняем производные друг к другу:

Будем искать целые решения уравнения. Если такие есть, то они являются делителями свободного члена.

подходит. Преобразуем уравнение, поделив на , получим

Но поэтому подходит только . Подставляя в любое из исходных выражений, находим . Значит, координаты точки касания это

Теперь вычислим тангенс для точки с оси абсцисс. При из получаем абсциссу Подставляем в производную и находим тангенс угла касательной в начальный момент:

Используя равенство и соотношения, получаем . Далее, используя эти равенства, получаем . Значит, подходит.

Используя остальные равенства, получим

Таким образом, подходят, а продолжая цепочку из равенств и мы уже не получим . Осталось равенство , откуда .

а) Так как то и являются перестановками. Но тогда, например, и выполняется

b) Из условия получим

С другой стороны, если указанное условии пункта b) представление существует, то

а это доказывает невозможность указанного представления.

Сделаем замену переменных Функциональное уравнение примет вид

Разделим обе части уравнения на после чего расскроем скобки в правой части. Таким образом,

следовательно,

Зафиксируем значение Тогда для любого значения

для некоторого действительного Таким образом,

Наконец, покажем, что для всех действительных данная функция удовлетворяет исходному уравнению