Функции

Подставим во второе неравенство

Тогда получаем:

Такое возможно, только если стоит знак равенства. Тогда в переходах тоже был знак равенства. Из этого следует, что

Тогда

Подставим в данное равенство

Из условия следует, что это равенство выполнено при любых В частности, при Значит,

Тогда получаем, что должно быть верно

То есть при всех

Далее, подставляя в исходное равенство получим

Подставляя теперь приходим к

Наконец, подстановка позволяет найти оставшееся значение

Таким образом, для любых действительных

а) По основному логарифмическому тождеству уравнение равносильно

Производная функции равна поэтому функция убывает при и возрастает при

В точке минимума значение функции равно так как поэтому функция достигает значение по одному разу левее и правее точки минимума (для обоснования стоит ещё упомянуть непрерывность функции и её неограниченность слева и справа от точки минимума);

б) возведение произвольного отрицательного числа в произвольную отрицательную степень не имеет смысла (не определено однозначно), потому что нарушаются свойства степеней. Например, но при этом

Пусть — касательная из условия и — координаты точек касания на оси

Так как в точках касания, то они являются корнями чётной кратности данного многочлена Также в силу того, что коэффициент при старшей степени равен можем представить многочлен в следующем виде:

Назовем правую часть тогда:

Запишем полученные для функций условия в точках касания в систему:

Из равенства коэффициентов следует:

Отсюда можно выразить и :

То есть Теперь можно найти коэффициенты и

Получается, что

Значения касательной в точках касания:

Тогда длина отрезка касательной между точками касания — пусть

Получили искомое значение длины отрезка касательной между точками касания — 5.

Функция определена при Функция

определена при Далее

Тогда получаем при уравнение

С учётом ОДЗ только одно значение подходит в ответ.

При (подставим в аргумент функции ):

Заметим, что так как .

Следовательно, при :

Преобразуем аргумент в правой части, получим:

Подставим полученное выражение для в условие задачи. Получим, что при :

Проверим, когда выражение принимает нулевое значение. Это происходит только при то есть . Этот трёхчлен не имеет вещественных корней, поскольку его старший член положительный, а дискриминант отрицательный. Разделим обе части на это выражение:

Заметим, что получившаяся функция при удовлетворяет условию, поскольку . Следовательно, это и есть ответ.

Сначала докажем, что при любых Согласно свойству для и существует такое что тогда с помощью свойства получаем

Далее, пусть — произвольный элемент согласно свойству существует такое что Для этого и произвольного имеем где таково, что (см. свойство Тогда, используя доказанное выше, свойство и равенство получаем

что и требовалось доказать.

Из-за симметрии можно считать, что Положим и перепишем уравнение в виде где Если то

Если (а, значит, то при будет верно неравенство

Действительно, точка локального максимума:

функции не лежит на отрезке поэтому максимальное значение на данном отрезке принимает на его концах. Вместе с тем, имеем

поскольку при а также

при

Остаётся случай где находим тройку

Очевидно, что где не подходит. Пусть Тогда и Итак, Из исходного равенства имеем откуда то есть Подставляя в условие, получаем

Тогда Так как (так как то Кроме того, то есть откуда Итак, Легко проверить простой подстановкой, что ответ подходит.

Заметим, что удовлетворяет условию. Пусть Тогда Подставим это равенство в наше уравнение.

Ясно, что — многочлен нечетной степени. Тогда у него есть вещественный корень то есть Тогда получим, что Так как поэтому — другой корень многочлена Пусть Аналогичными рассуждениями получаем, что — корень, отличный от и Продолжая это действие, мы получаем бесконечную серию корней многочлена откуда Тогда

Если то условие выполняется. Если где Тогда

что равносильно поэтому любой линейный многочлен подходит.

Пусть где Тогда

Поскольку коэффициенты мономов в левой и правой части уравнения должны быть равны, то и, поскольку равенство невозможно — противоречие.

Пусть тогда следовательно Пусть Тогда то есть Тогда по теореме Безу Подставим это равенство

Получаем тождество Подставим для удобства и получим Пусть Тогда имеем равенство Тогда Тогда для любого целого откуда а потому где Следовательно, Легко проверить, что все такие многочлены подходят.

Пусть Тогда получаем, что откуда По теореме Безу имеем Но — неприводимый многочлен. Тогда можно переобозначить и переписать это равенство в следующем виде: где и (то есть выделим максимальную степень неприводимого многочлена). Подставим это равенство в исходное уравнение

Заметим, что Тогда

Сократим это равенство на

Снова подставим Тогда то есть Так как имеем — противоречие! Тогда остается случай который условию удовлетворяет.

Пусть радиус полива равен В точках и расположены поливалки, нора находится в Поменяем направление — пусть мышь выбегает из норы и стремится на сухую землю. Путь мыши может быть какой угодно формы, но, так или иначе, ей придётся покинуть область двойного полива — пусть это произойдёт в точке Тогда оптимальный путь до точки — это отрезок а оптимальный путь от до сухой земли — это где лежит на радиусе Значит, кандидаты на оптимальный путь — ломаные вида и определяются они одним параметром — положением точки

Мышь мокнет от каждой поливалки, поэтому нужно минимизировать сумму расстояний, пройденных под каждой поливалкой. Путь под поливалкой равен путь под поливалкой равен поэтому нужно найти минимально возможное значение

Опишем положение через угол где

Тогда:

По теореме косинусов:

Далее, а найдём как основание равнобедренного треугольника с боковыми сторонами и известным углом между ними:

Значит:

Нужно найти минимум функции которая характеризует степень намокания — берём производную:

Нулю может равняться только скобка (угол меняется в таких пределах, что в ноль не обращается). Решаем уравнение:

Если то

Значит, экстремум равен:

На всякий случай проверим, точно ли это точка минимума. Если бы мышь взяла курс ровно наверх, то приняла бы значение что больше, чем Если бы побежала направо — равнялось бы Так что мы действительно нашли минимум.

Длина пути при этом равна:

Пусть объём бассейна равен первые две трубы заполнили 30% бассейна за часов, а оставшиеся 70% бассейна были заполнены за часов:

Мы стремимся минимизировать сумму вычислим производную:

Найдём точку экстремума:

Проверяя получаем, что точка действительно является точкой минимума функции и лежит в необходимом диапазоне значений, бассейн быстрее всего наполнится при

Для натурального положим Тогда число хорд длины равно количеству нулей функции

В качестве примера выберем следующую кусочно-линейную функцию : при и

при Заметим, что при функция принимает значение только в точке Следовательно, если то обе точки и лежат в отрезке В частности, и нули функции лежат в промежутке Для при имеем Значит, имеет единственный нуль то есть хорда длины 2025 у функции единственна. При натуральном функция монотонно убывает при и монотонно возрастает при при этом Таким образом, у этой функции ровно два нуля, то есть функция имеет по две хорды длины Итого у неё 4049 различных хорд.

Теперь перейдём к оценке. Без ограничения общности будем считать, что хорда длины 2025 соединяет точки и то есть

Положим

Из условия следует, что у функции конечное число нулей, а также эта функция непрерывна. Пусть все её нули лежат в промежутке Тогда функция знакопостоянна на лучах и При необходимости, заменив функцию на будем считать, что при

Предположим, что при Заметим, что

поэтому при и при Значит, функция имеет нуль, то есть у функции есть хорда любой натуральной длины, что противоречит условию.

Таким образом, при Значит, при и при Далее мы докажем, что при натуральных и в сумме дающих 2025, функция имеет хотя бы 4 хорды длин и Применяя это утверждение для каждой такой пары, получим оценку. Иными словами, докажем, что у функций и при суммарно хотя бы 4 нуля.

Предположим, что это не так. Тогда функция имеет не более одного нуля. Значит, не может быть отрицательной. Действительно, если то по непрерывности и знакам при больших функция имеет хотя бы два нуля, противоречие.

Итого причём равенство нулю достигается не более чем в одной точке. Покажем, что для некоторого Рассмотрим наименьшее натуральное для которого делится на 2025, и обозначим остатки …, от деления чисел …, по модулю 2025. Если положим если положим Рассмотрим разности

Если то и если же то и Если то В случае получаем поскольку и Таким образом,

и одно из крайних слагаемых положительно. Значит, найдётся что возможно только при и Тогда для получаем

Заметим, что

Поскольку то и в частности, и то есть В случае и получаем а также при больших Тогда у есть нули на промежутках то есть хотя бы 4 нуля.

Если то так как у не более одного нуля. Тогда В этом случае у есть нули на и а также в точке и ещё один нуль в точке есть у что даёт хотя бы 4 нуля. Случай разбирается аналогично.

Предположим, что такая функция существует. Положим

Заметим, что

Также заметим, что

Два корня этого уравнения мы уже знаем, так как

Отсюда

Значит,

Заметим, что

Отсюда

Проверим все случаи:

1)

2)

3)

В любом случае приходим к противоречию, а значит, искомой функции не существует.

Возьмем какое-нибудь число Тогда возможны два варианта:

1. Если то и

2. Предположим Тогда Иначе
(а) Если
(b) Если
И так как то

Таким образом, для любого либо либо есть три различных числа таких, что

При этом любая функция с таким свойством подходит. Тогда найдем число функций с необходимым свойством.

1. Нет ни одной тройки элементов, что Значит, для всех чисел верно Такая функция одна.

2. Есть одна тройка элементов, что Выбрать тройку можно способами. При этом есть два способа задать функцию в тройке. Итого функций.

3. Есть две тройки элементов, что Выбрать первую тройку можно способами, остальные три элемента образуют вторую тройку. Но варианты, в которых выбрали в первую тройку и выбрали все кроме одинаковые. То есть способов разбить элементы на две тройки. При этом в каждой тройке есть два способа задать функцию. Итого функций.

Всего число функций равно

Подставим и в равенство. Получим систему

Решив которую, получаем

Первое решение. Распишем косинус двойного угла

Получаем уравнение вида

где Так как

вторая производная положительна при любом , то первая производная — монотонно возрастающая функция. Тогда имеет не больше одного решения. Точка подходит. Также заметим, что при и при . А значит, возрастает при и убывает при . Кроме того, функция чётна. Тогда уравнение может иметь решение только в случаях или . Решив эту совокупность, получим

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Левую часть уравнения преобразуем по формуле разности косинусов, правую — по формуле косинуса двойного аргумента:

В правой части применим формулу разности квадратов и введём обозначения:

Тогда наше уравнение запишется в виде

Перенесём всё в правую часть и вынесем множитель

Ясно, что выражение в скобках строго больше 1 в виду неравенства

Значит, при уравнение решений не имеет, то есть оно может иметь решения только при или

Проверяем эти значения подстановкой в уравнение и убеждаемся, что при этих значениях уравнение верно.

Делаем обратную замену и получаем ответ