.02 Комбинаторика

Наше вероятностное пространство будет выглядеть так

То есть элементарный исход - это последовательность из 10 орлов или решек Пети и 11 орлов или решек у Васи.

Ясно, что в данном случае все такие последовательности равновероятны, поэтому наше вероятностное пространство - классическое. И вопрос состоит в том, сколько таких элементарных исходов, в которых в последовательности Васи орлов больше, чем в последовательности Пети.

Итак, пусть у Пети было орлов, и, значит, решек. А у Васи пусть было орлов и решек. Нас спрашивают, какова вероятность того, что ?

Применим здесь такой интересный прием, как симметрия. Понятно, что если всюду в формулировке задачи заменить орлы на решки, то ничего не изменится. То есть, вероятность того, что у Васи орлов больше такая же, какая и вероятность того, у Васи решек больше.

То есть вероятность того, что будет такая же, как и вероятность того, что .

И как же из этого тривиального наблюдения о том, что

мы получим решение задачи?

А теперь заметим, что

равносильно условию того, что

(вот такое замечательное свойство сравнений натуральных чисел).

А теперь, условие

равносильно тому, что

И что же мы получаем. А получаем вот такую цепочку:

Но понятно, что

(это два взаимоисключающих события, одно из которых обязательно случится).

Но, раз их вероятности равны, а в сумме они дают 1, то каждое из них имеет вероятность . То есть .