Тема 16. Сложные задачи прикладного характера

16.02 Задачи №16 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела сложные задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#100618

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 4 года. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить 312500 рублей.

Какую сумму (в рублях) планируется взять в кредит, если он будет полностью погашен этими четырьмя платежами?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 1

Показать ответ и решение

Пусть размер взятого кредита $S$ тыс. рублей, $x= 312,5$ тыс. рублей — сумма выплат. Составим таблицу

|------|------------------------|----------------------------|-----------| |Номер | Долг до начисления %, | Долг после начисления %, | Вы плата, | |-года--|------ты-с.-рублей--------|--------ты-с.-рублей----------|тыс. рублей| | 2027 | S | 1,25S | x | |------|------------------------|----------------------------|-----------| | | | | | | 2028 | 1,25S− x | 1,25⋅(1,25S− x) | x | |------|------------------------|----------------------------|-----------| | 2029 | 1,25(1,25S− x)− x | 1,25(1,25(1,25S − x)− x) | x | |------|------------------------|----------------------------|-----------| | 2030 |1,25(1,25(1,25S− x)− x)− x |1,25(1,25(1,25(1,25S − x)− x) − x) x | -------------------------------------------------------------------------|

Так как за 4 года кредит полностью погашен, сумма долга после четвертой выплаты равна нулю, получаем уравнение:

1,25(1,25(1,25(1,25S− x)− x)− x)− x= 0 1,254S− x(1,253+ 1,252+ 1,25+ 1)= 0 x⋅(1,253+ 1,252+ 1,25 +1) S = ---------1,254--------- ( ) 312,5⋅ 53 + 52-+ 5+ 1 S = ------43---42---4----- 54 44 312,5⋅(53⋅4-+52⋅42+-5⋅43+-44) S = 54 312,5⋅1476 S = ---54---- S = 738

Таким образом, в кредит планируется взять $738 000$ рублей.

Ответ: 738000

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#100621

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 4 года. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить 324000 рублей.

Какую сумму (в рублях) планируется взять в кредит, если он будет полностью погашен этими четырьмя платежами?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 2

Показать ответ и решение

Пусть размер взятого кредита $S$ тыс. рублей, $x =324$ тыс. рублей — сумма выплат. Составим таблицу

|------|---------------------|-------------------------|----------| |Номер | Долг до начисления %,| Д олг после начисления %, | Выплата, | |-года--|-----тыс. рублей-----|-------тыс. рублей-------|тыс. рублей | 2027 | S | 1,2S | x | |------|---------------------|-------------------------|----------| | | | | | | 2028 | 1,2S − x | 1,2⋅(1,2S− x) | x | |------|---------------------|-------------------------|----------| | 2029 | 1,2(1,2S− x)− x | 1,2(1,2(1,2S− x)− x) | x | |------|---------------------|-------------------------|----------| | 2030 |1,2(1,2(1,2S − x)− x)− x|1,2(1,2(1,2(1,2S − x) − x)− x) x | -------------------------------------------------------------------

1,2(1,2(1,2(1,2S − x) − x)− x)− x= 0 1,24S − x(1,23+ 1,22+ 1,2+ 1)= 0 x ⋅(1,23 +1,22+ 1,2+ 1) S =--------1,24-------- ( ) 324⋅ 63+ 62+ 6 +1 S = ------53--52--5----- 64 54 324⋅(63⋅5+-62⋅52-+6-⋅53-+54) S = 64 324⋅3355 S = ---64--- 3355 S = -4-- S =838,75

Таким образом, в кредит планируется взять $838 750$ рублей.

Ответ: 838750

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#100622

В мае 2027 года планируется взять кредит в банке на сумму 1400 тыс. рублей на 8 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 17% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 14% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года;

— к маю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.

На сколько рублей последняя выплата будет меньше выплаты 2030 года?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 3

Показать ответ и решение

Пусть $S = 1400$ тыс. руб. — размер взятого кредита. Поскольку долг должен уменьшаться на одну и ту же величину после каждого платежа, то каждый год долг должен уменьшаться на $S- 8$ тыс. руб., и мы получим схему дифференцированных платежей. Составим таблицу.

|Номер-|Долг-до начисления-%,|Долг после начисления %,-Выплата,--| | года | ты с. рублей | ты с. рублей | ты с. рублей | |------|--------------------|-----------17----------|--S---17----| | 2028 | S | S+ 100S | 8 + 100S | |------|--------------------|----------------------|------------| | 2039 | 7S | 7S + 17-⋅ 7S |S-+ -17-⋅ 7 S| |------|--------8-----------|-----8----100--8-------|8---100-8---| | 2030 | 6S | 6S + 17-⋅ 6S |S-+ -17-⋅ 6 S| |------|--------8-----------|-----8----100--8-------|8---100-8---| | | 5 | 5 17 5 |S 17 5 | | 2031 | 8S | 8S + 100-⋅8S |8-+ 100 ⋅8 S| |------|--------------------|----------------------|------------| | 2032 | 4S | 4S + 14-⋅ 4S |S-+ -14-⋅ 4 S| |------|--------8-----------|-----8----100--8-------|8---100-8---| | 2033 | 3S | 3S + 14-⋅ 3S |S-+ -14-⋅ 3 S| |------|--------8-----------|-----8----100--8-------|8---100-8---| | | 2 | 2 14- 2 |S- -14- 2 | |-2034--|--------8S----------|-----8S-+-100-⋅8S------|8-+-100 ⋅8-S| | | 1 | 1 14 1 |S 14 1 | | 2035 | 8S | 8S + 100-⋅8S |8-+ 100 ⋅8 S| -----------------------------------------------------------------

Найдем разницу в тыс. рублей между выплатами 2030 и 2035 годов:

S-+ 17-⋅ 6S − S−-14 ⋅ 1S = 8 100 8 8 100 8 = -S-⋅(17⋅6− 14)= S-⋅88-= 800 800 1400⋅88 = 800 =154

Тогда последняя выплата меньше выплаты 2030 года на 154 тыс. рублей.

Ответ: 154000

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#100624

В июне 2028 года планируется взять кредит на 10 лет в размере 1500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 22% по сравнению с концом предыдущего года;

— каждый январь с 2034 по 2038 год долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июне каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июнь предыдущего года;

— к июню 2038 года кредит должен быть полностью погашен.

На сколько рублей последняя выплата будет меньше выплаты 2033 года?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 4

Показать ответ и решение

Пусть $S = 1500$ тыс. руб. — размер взятого кредита. Поскольку долг должен уменьшаться на одну и ту же величину после каждого платежа, то каждый год долг должен уменьшаться на $-S 10$ тыс. руб., и мы получим схему дифференцированных платежей. Составим таблицу, все расчеты будем вести в тыс. рублей:

|Номер-|Долг-до начисления-%,|Долг после начисления %,-В-ыплата,---| |-года--|----ты-с.-рублей------|------ты-с.-рублей-------|-тыс. рублей-| | | | 22 | S 22 | | 2029 | S | S+ 100S | 10 + 100S | |------|--------------------|----------------------|-------------| | 2030 | 9-S | 9-S + 22-⋅ 9-S |-S + 22-⋅ 9-S| |------|--------10----------|----10----100--10------|10---100--10--| | 2031 | 8-S | 8-S + 22-⋅ 8-S |-S + 22-⋅ 8-S| |------|--------10----------|----10----100--10------|10---100--10--| | | 7- | 5- 22- 7- |-S 22- 7- | | 2032 | 10S | 10S + 100 ⋅10S |10 + 100 ⋅10S | |------|--------6-----------|----6-----22--6-------|-S---22--6---| | 2033 | 10S | 10S + 100-⋅10S |10 + 100-⋅10S | |------|--------------------|----------------------|-------------| | 2034 | 5-S | 5-S + 18-⋅ 5-S |-S + 18-⋅ 5-S| |------|--------10----------|----10----100--10------|10---100--10--| | 2035 | 4-S | 4-S + 18-⋅ 4-S |-S + 18-⋅ 4-S| |------|--------10----------|----10----100--10------|10---100--10--| | | 3 | 3 18 3 | S 18 3 | | 2036 | 10S | 10S + 100-⋅10S |10 + 100-⋅10S | |------|--------------------|----------------------|-------------| | 2037 | 2-S | 2-S + 18-⋅ 2-S |-S + 18-⋅ 2-S| |------|--------10----------|----10----100--10------|10---100--10--| | 2038 | 1-S | 1S + 18-⋅ 1S |-S + 18-⋅ 1-S| ----------------10----------------8----100--8--------10---100--10---

Найдем разницу в тыс. рублей между выплатами 2033 и 2038 годов:

-S + 22-⋅ 6-S − S-− 18-⋅-1S = 10 100 10 10 100 10 = -S--⋅(22⋅6− 18)= S-⋅114-= 1000 1000 = 1500⋅114-= 171 1000

Тогда последняя выплата меньше выплаты 2033 года на 171 тыс. рублей.

Ответ: 171000

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#99785

Предприятие планирует 1 июня 2027 года взять в банке кредит на 2 года в размере 8400 тыс. рублей. Банк предложил предприятию два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.

|---------|--------------------------------------------------------------| Вариант 1 – Каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концо&#x | | предыдущ его года; | – с февраля по май каж дого года необходимо вы платить часть долг&#x043 – кредит должен быть полностью погаш ен за два года двумя равным&#x0 |Вариант 2|–пл1-а гтое чжиасмлиа. каж-дого-квартала, начиная с-1 июля-2027 ------------ | | возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего квартала; | | |– во втором месяце каждого квартала необходимо выплатить част&#x044 | | долга; | – на конец каждого квартала долг долж ен быть на одну и ту ж е вели&#x0447 | | меньше долга на конец предыдущ его квартала; | -----------–-к 1-июня 2029 года-кредит-должен быть-полностью-погаш-ен.------

На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для предприятия варианту погашения кредита?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 5

Показать ответ и решение

Обозначим размер кредита $S =8400$ тыс. рублей. Далее все расчеты будем вести в тыс. рублей.

Рассмотрим первый вариант.

Пусть размер выплаты равен $x,$ тогда в первый год после начисления процентов сумма долга составила $1,1S,$ а после выплаты составила $1,1S− x.$

На второй год сумма сначала увеличилась до $1,1(1,1S− x),$ а затем была полностью выплачена, то есть сокращена до нуля. Тогда имеем уравнение:

1,1(1,1S − x)− x = 0 1,12S = 2,1x 1,12S- x = 2,1 = 4840

Общая сумма выплат в тыс. рублей в первом варианте равна

2x= 9680.

Рассмотрим второй вариант.

Так как в каждом году по 4 квартала, то кредит берется на 8 кварталов, то есть каждый квартал долг сокращался на $S- 8.$

Исходя из вышесказанного, составим таблицу:

|№-квартала-|Д-олг-до начисления-%|--Д-олг после-начисления%--|--Р-азме&#x04-------------------------------- |----------|-------------------|-------------------------|-------------------|--------------------| | 1 | S | S+ 0,03S | 1S +0,03S | 7S | |----------|-------------------|-------------------------|-----8-------------|--------8-----------| |---...----|--------...--------|-----------...-----------|--------...--------|--------...---------| | k | 8−-k-+1S | 8−-k+-1S +0,03⋅ 8−-k+-1S| 1S+ 0,03 ⋅ 8−-k+-1S| 8−-kS | |----------|--------8----------|----8--------------8-----|-8-----------8-----|--------8-----------| |---...----|--------...--------|-----------...-----------|--------...--------|--------...---------| | | 1 | 1 1 | 1 1 | | -----8--------------8S-----------------8S-+0,03⋅8S------------8S+-0,03-⋅8S--------------0----------|

Суммируя выплаты в рублях по всем кварталам, с привлечением формулы суммы арифметической прогрессии получим

( 7 1) S + 0,03S⋅ 1+ 8 + ...+ 8 = 1 = S + 0,03S⋅ 1-+-8⋅8 = ( ) 2 9 =S ⋅ 1+ 0,03 ⋅8 ⋅4 = 1,135S = 9534

Тогда искомая разница в тыс. рублей между вариантами погашения кредита равна

9680 − 9534 =146.

Ответ: 146000

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#100205

Предприятие планирует 1 июня 2029 года взять в банке кредит на 2 года в размере 8,8 млн рублей. Банк предложил предприятию два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.

|---------|--------------------------------------------------------------| Вариант 1 – Каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концо&#x | | предыдущ его года; | – с февраля по май каж дого года необходимо вы платить часть долг&#x043 – кредит должен быть полностью погаш ен за два года двумя равным&#x0 |Вариант 2|–пл1-а гтое чжиасмлиа. каж-дого-квартала, начиная с-1 июля-2029 ------------ | | возрастает на 6% по сравнению с концом предыдущего квартала; | | |– во втором месяце каждого квартала необходимо выплатить част&#x044 | | долга; | – на конец каждого квартала долг долж ен быть на одну и ту ж е вели&#x0447 | | меньше долга на конец предыдущ его квартала; | -----------–-к 1-июня 2031 года-кредит-должен быть-полностью-погаш-ен.------

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 6

Показать ответ и решение

Обозначим размер кредита $S =8800$ тыс. рублей. Далее все расчеты будем вести в тыс. рублей.

Рассмотрим первый вариант.

Пусть размер выплаты равен $x,$ тогда в первый год после начисления процентов сумма долга составила $1,2S,$ а после выплаты составила $1,2S− x.$

На второй год сумма сначала увеличилась до $1,2(1,2S− x),$ а затем была полностью выплачена, то есть сокращена до нуля. Тогда имеем уравнение:

1,2(1,2S − x)− x = 0 1,22S = 2,2x 1,22S- x = 2,2 = 5760

Общая сумма выплат в тыс. рублей в первом варианте равна

2x = 11520.

Рассмотрим второй вариант.

Исходя из вышесказанного, составим таблицу:

|№-квартала-|Д-олг-до начисления-%|--Д-олг после-начисления%--|--Р-азме&#x04-------------------------------- |----------|-------------------|-------------------------|-------------------|--------------------| | 1 | S | S+ 0,06S | 1S +0,06S | 7S | |----------|-------------------|-------------------------|-----8-------------|--------8-----------| |---...----|--------...--------|-----------...-----------|--------...--------|--------...---------| | k | 8−-k-+1S | 8−-k+-1S +0,06⋅ 8−-k+-1S| 1S+ 0,06 ⋅ 8−-k+-1S| 8−-kS | |----------|--------8----------|----8--------------8-----|-8-----------8-----|--------8-----------| |---...----|--------...--------|-----------...-----------|--------...--------|--------...---------| | | 1 | 1 1 | 1 1 | | -----8--------------8S-----------------8S-+0,06⋅8S------------8S+-0,06-⋅8S--------------0----------|

( 7 1) S + 0,06S⋅ 1+ 8 + ...+ 8 = 1 = S + 0,06S⋅ 1-+-8⋅8 = ( ) 2 9 =S ⋅ 1+ 0,06 ⋅8 ⋅4 = 1,27S =11176

Тогда искомая разница в тыс. рублей между вариантами погашения кредита равна

11520 − 11176= 344.

Ответ: 344000

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#100626

В июле 2029 года планируется взять кредит в банке на 2 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:

– в январе каждого года долг возрастает на $r%$ по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

– в июле 2033 года выплачивается остаток по кредиту в размере 406 тыс. рублей.

Найдите $r,$ если общая сумма выплат по кредиту составит 2752 тыс. рублей.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 7

Показать ответ и решение

Пусть сумма кредита $S = 2000$ тыс. рублей, $x$ тыс. рублей — величина, на которую уменьшался долг каждый год в период с 2030 по 2032 годы, $t= -r-. 100$ Составим таблицу, все вычисления будут в тысячах рублей.

|----|---------------------|------------------------|------------| |Год |С ум ма до начисления %,|С умма после начисления %, Выплата, | |----|------ты-с.-рублей------|-------тыс. рублей------|-ты-с.-рублей--| |2030-|----------S----------|---------S-+-tS----------|---tS+-x----| |2031-|--------S-−-x--------|-----(S-−-x)+-t(S-− x)----|-t(S-− x)+-x-| |2032-|--------S−-2x--------|----(S−-2x)+-t(S-− 2x)---|t(S−-2x)+-x-| -2033----------S−-3x-------------(S−-3x)+-t(S-− 3x)--------406-----

Так как кредит полностью погашен в 2033 году, сумма долга после выплаты 2033 года равна 0, получаем первое уравнение:

(S− 3x)+ t(S − 3x) − 406= 0 S− 3x+ tS− 3tx= 406

Так как по условию общая сумма выплат равна 2752 тыс. рублей, то получаем второе уравнение:

(x+ tS)+ (x + t(S− x))+ (x + t(S− 2x))+ 406 = 2752 3x + 3tS − 3tx= 2346 x +tS − tx =782 tS =782− x +tx

Подставим полученное значение $tS$ в первое уравнение:

S− 3x+ tS− 3tx= 406 S − 3x + (782− x+ tx)− 3tx = 406 S − 4x− 2tx +782= 406 4x+ 2tx = 376 +S

По условию $S = 2000$ тыс. рублей, поэтому

4x+ 2tx= 2376 2x +tx =1188 x(t+ 2)= 1188 x = 1188 t+ 2

Значит, подставив во второе уравнение, получим

tS =782− x +tx 1188 1188t- tS =782− t+ 2 + t+ 2 2000t(t+ 2)= 782(t+ 2)− 1188+ 1188t 1000t(t+ 2)= 391(t+ 2)− 594+ 594t 1000t2+ 2000t− 391t− 782 +594− 594t= 0 1000t2+ 1015t− 188= 0

По формуле корней квадратного уравнения:

− 1015± √10152+-4000⋅188 t1,2 =----------2000----------.

Нам нужен $t> 0,$ поэтому

√---2--------- √ ----- t= −1015+-5-203-+-160⋅188= −-203-+--71289-= −-203-+267 = 64-= -16. 2000 400 400 400 100

Таким образом,

r = 100t =16.

Ответ: 16

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#100628

В июне 2028 года планируется взять кредит в банке на 1,6 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года долг возрастает на $r%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июне 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июнь предыдущего года;

— в июне 2032 года выплачивается остаток по кредиту в размере 468 тыс. рублей.

Найдите $r,$ если общая сумма выплат по кредиту составит 2280 тыс. рублей.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 8

Показать ответ и решение

Пусть сумма кредита $S = 1600$ тыс. рублей, $x$ тыс. рублей — величина, на которую уменьшался долг каждый год в период с 2029 по 2031 годы, $t= -r-. 100$ Составим таблицу, все вычисления будут в тысячах рублей.

|----|---------------------|------------------------|------------| |Год |С ум ма до начисления %,|С умма после начисления %, Выплата, | |----|------ты-с.-рублей------|-------тыс. рублей------|-ты-с.-рублей--| |2029-|----------S----------|---------S-+-tS----------|---tS+-x----| |2030-|--------S-−-x--------|-----(S-−-x)+-t(S-− x)----|-t(S-− x)+-x-| |2031-|--------S−-2x--------|----(S−-2x)+-t(S-− 2x)---|t(S−-2x)+-x-| -2032----------S−-3x-------------(S−-3x)+-t(S-− 3x)--------468-----

Так как кредит полностью погашен в 2032 году, сумма долга после выплаты 2032 года равна 0, получаем первое уравнение:

(S− 3x)+ t(S − 3x) − 468= 0 S− 3x+ tS− 3tx= 468

Так как по условию общая сумма выплат равна 2280 тыс. рублей, то получаем второе уравнение:

(x+ tS)+ (x + t(S− x))+ (x + t(S− 2x))+ 468 = 2280 3x + 3tS − 3tx= 1812 x +tS − tx =604 tS =604− x +tx

Подставим полученное значение $tS$ в первое уравнение:

S− 3x+ tS− 3tx= 468 S − 3x + (604− x+ tx)− 3tx = 468 S − 4x− 2tx +604= 468 4x+ 2tx = 136 +S

По условию $S = 1600$ тыс. рублей, поэтому

4x+ 2tx= 1736 2x+ tx= 868 x(t+ 2)= 868 x = -868- t+ 2

Значит, подставив во второе уравнение, получим

tS =604− x +tx 868- 868t tS = 604 − t+2 + t+ 2 1600t(t+ 2)= 604(t+ 2)− 868+ 868t 400t(t+ 2)= 151(t+ 2)− 217+ 217t 400t2+ 800t− 151t− 302 +217− 217t= 0 400t2+ 432t− 85 = 0

По формуле четного коэффициента:

−216± √2162+-400⋅85- t1,2 =--------400--------.

Нам нужен $t> 0,$ поэтому

√ ---------- √ ---- t= −-216-+4--542+52-⋅85 = −54-+--5041-= −54-+71-= 17-. 400 100 100 100

Таким образом,

r = 100t =17.

Ответ: 17

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#100630

В июле 2029 года планируется взять кредит на 5 лет в размере 910 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле 2030 и 2031 годов долг остаётся равным 910 тыс. рублей;

— выплаты в 2032, 2033 и 2034 годах равны;

— к июлю 2034 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат по кредиту.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 9

Показать ответ и решение

Пусть $S = 910$ тыс. рублей, $x$ тыс. рублей— выплата в 2032, 2033 и 2034 году. Так как в 2030, 2031 года долг остается равным $910$ тыс. рублей, то в эти годы выплачиваются только начисленные проценты.

Тогда можно составить следующую таблицу, отслеживающую изменения долга (все вычисления ведутся в тыс. рублей)

|----|---------------|------------------|----------|---------------------| |Год | начДиосллген диоя %, | наДчоилсгл пеонисяле%, | Выплат&# Долг после --------тыс. рублей------тыс. рублей-----ты-с.-рублей-------ты-с.-рублей------- |2030-|------S--------|------1,2S--------|---0,2S----|----------S----------| |2031-|------S--------|------1,2S--------|---0,2S----|----------S----------| |2032-|------S--------|------1,2S--------|----x-----|-------1,2S-−-x-------| |2033-|----1,2S−-x-----|---1,2(1,2S-−-x)----|----x-----|----1,2(1,2S−-x)−-x----| -2034--1,2(1,2S-−-x)−-x--1,2(1,2(1,2S−-x)−-x)------x------1,2(1,2(1,2S-−-x)−-x)− x-

Так как кредит полностью погашен в 2034 году, сумма долга после выплаты 2034 года равна нулю, получаем уравнение:

1,2(1,2(1,2S− x)− x)− x= 0 1,23S − 1,22x − 1,2x− x =0 3 2 1,2 S = x(1,2 + 1,2 +1) x = ---1,23S---- 1,22+ 1,2+ 1 1,23⋅910 x= --3,64- 5 123-⋅910--- x = 10⋅ 364 2 x = 432

Найдем общую сумму выплат в тыс. рублей:

0,4S +3x = 0,4⋅910+ 3⋅432= = 364+ 1296 = 1660

Тогда общая сумма выплат равна $1660$ тыс. рублей.

Ответ: 1660000 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#100632

В мае 2028 года планируется взять кредит на 6 лет в размере 1324 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в мае 2029, 2030 и 2031 годов долг остаётся равным 1324 тыс. рублей;

— выплаты в 2032, 2033 и 2034 годах равны;

— к маю 2034 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат по кредиту.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 10

Показать ответ и решение

Пусть $S = 1324$ тыс. рублей, $x$ тыс. рублей— выплата в 2032, 2033 и 2034 году. Так как в 2029, 2030, 2031 года долг остается равным $1 324$ тыс. рублей, то в эти годы выплачиваются только начисленные проценты.

|----|---------------|------------------|----------|---------------------| |Год | начДиосллген диоя %, | наДчоилсгл пеонисяле%, | Выплат&# Долг после --------тыс. рублей------тыс. рублей-----ты-с.-рублей-------ты-с.-рублей------- |2029-|------S--------|------1,1S--------|---0,1S----|----------S----------| |2030-|------S--------|------1,1S--------|---0,1S----|----------S----------| |2031-|------S--------|------1,1S--------|---0,1S----|----------S----------| |2032-|------S--------|------1,1S--------|----x-----|-------1,1S-−-x-------| |2033-|----1,1S−-x-----|---1,1(1,1S-−-x)----|----x-----|----1,1(1,1S−-x)−-x----| -2034--1,1(1,1S-−-x)−-x--1,1(1,1(1,1S−-x)−-x)------x------1,1(1,1(1,1S-−-x)−-x)− x-

Так как кредит полностью погашен в 2034 году, сумма долга после выплаты 2034 года равна нулю, получаем уравнение:

1,1(1,1(1,1S− x)− x)− x= 0 1,13S − 1,12x − 1,1x− x =0 3 2 1,1 S = x(1,1 + 1,1 +1) x = ---1,13S---- 1,12+ 1,1+ 1 1,13⋅1324 x = --3,31-- 4 113⋅ 1324 x= 10⋅ 331 1 x = 532,4

Найдем общую сумму выплат в тыс. рублей:

0,3S+ 3x =0,3⋅1324+ 3⋅532,4= = 397,2+ 1597,2= 1994,4

Тогда общая сумма выплат равна $1994400$ рублей.

Ответ: 1994400 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#100634

В июле 2027 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2028, 2029, 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— в июле 2033, 2034, 2035, 2036 и 2037 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2037 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2400 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2029 году?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 11

Показать ответ и решение

Пусть $x$ тыс. рублей — величина, на которую уменьшался долг каждый год в период с 2028 по 2032 годы. Пусть $y$ тыс. рублей — величина, на которую уменьшался долг каждый год в период с 2033 по 2037 годы. Тогда можно составить следующую таблицу, отслеживающую изменения долга (все вычисления ведутся в тыс. рублей):

|----|-------------|-----------------------|----------------|------------| |Год |начДиосллгендиоя %,| нДачоилсгл пеноисяле%, | Плате&#x0436 Долг после -------тыс. рублей--------тыс. рублей----------ты-с.-рублей------тыс. рублей-- |2028-|----1500-----|----1500+-0,15⋅1500-----|--0,15⋅1500+-x---|--1500−-x---| |2029-|---1500-− x---|-1500−-x+-0,15(1500−-x)--|0,15(1500−-x)+-x-|--1500-− 2x--| |2030-|--1500−-2x---|1500−-2x+-0,15(1500−-2x)-|0,15(1500-− 2x)+-x|--1500-− 3x--| |2031-|--1500−-3x---|1500−-3x+-0,15(1500−-3x)-|0,15(1500-− 3x)+-x|--1500-− 4x--| |2032-|--1500−-4x---|1500−-4x+-0,15(1500−-4x)-|0,15(1500-− 4x)+-x|1500−-5x=-S-| |2033-|------S------|-------S-+0,15S--------|----0,15S+-y-----|---S-−-y----| |2034-|----S-− y----|---S-−-y+-0,15(S−-y)----|-0,15(S-−-y)+y---|---S-− 2y---| |2035-|----S−-2y----|--S-−-2y+-0,15(S−-2y)---|-0,15(S−-2y)+-y--|---S-− 3y---| |2036-|----S−-3y----|--S-−-3y+-0,15(S−-3y)---|-0,15(S−-3y)+-y--|---S-− 4y---| -2037------S−-4y-------S-−-4y+-0,15(S−-4y)-----0,15(S−-4y)+-y----S-−-5y =-0--

Из таблицы следует, что $S = 5y.$ Тогда имеем:

1500 = 5x + 5y ⇒ x+ y = 300

Так как сумма всех платежей равна 2400 тыс. рублей, то

5x + 0,15(1500+ 1500− x+ 1500 − 2x + 1500− 3x+ 1500− 4x)+ +5y+ 0,15(S+ S − y +S − 2y+ S− 3y+ S − 4y)= 2400

Отсюда получаем

5(x + y)+0,15(5⋅1500− 10x+ 5S− 10y)= 2400 5(x+ y)+ 0,15(5 ⋅1500− 10x+ 15y)= 2400 5⋅300+ 1125− 1,5x+ 2,25y = 2400 1,5x − 2,25y = 225 |:1,5 x− 1,5y = 150

С учетом $x+ y =300$ получаем систему:

{ x − 1,5y = 150 x +y = 300

Вычитая из второго уравнения первое, получаем

2,5y = 150 ⇔ y = 60 ⇒ x =240

Тогда платеж в 2029 году в тыс. рублей составит

0,15⋅(1500− x)+ x= 0,15 ⋅(1500− 240)+240 =429

Ответ: 429000

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#100635

В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2780 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2027 году?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 12

Показать ответ и решение

Пусть $x$ тыс. рублей — величина, на которую уменьшался долг каждый год в период с 2027 по 2031 годы. Пусть $y$ тыс. рублей — величина, на которую уменьшался долг каждый год в период с 2032 по 2036 годы. Тогда можно составить следующую таблицу, отслеживающую изменения долга (все вычисления ведутся в тыс. рублей):

|----|-------------|----------------------|---------------|------------| |Год |начДиосллгендиоя %,| нДачоилсглепносиляе %, | Платеж, Д олг после -------тыс. рублей--------ты-с. рублей---------тыс. рублей----тыс. рублей- |2027-|----1300-----|----1300+-0,2⋅1300-----|--0,2-⋅1300+-x---|--1300−-x---| |2028-|---1300-− x---|-1300−-x+-0,2(1300-− x)-|0,2(1300−-x)+-x-|--1300−-2x--| |2029-|--1300−-2x---|1300−-2x+-0,2(1300-− 2x)|0,2(1300-−-2x)+-x-|--1300−-3x--| |2030-|--1300−-3x---|1300−-3x+-0,2(1300-− 3x)|0,2(1300-−-3x)+-x-|--1300−-4x--| |2031-|--1300−-4x---|1300−-4x+-0,2(1300-− 4x)|0,2(1300-−-4x)+-x-|1300−-5x=-S-| |2032-|------S------|-------S-+0,2S--------|----0,2S-+y-----|----S−-y----| |2033-|----S-− y----|---S-−-y+-0,2(S−-y)----|--0,2(S−-y)+-y--|---S-−-2y----| |2034-|----S−-2y----|--S-−-2y+-0,2(S−-2y)---|-0,2(S-− 2y)+-y-|---S-−-3y----| |2035-|----S−-3y----|--S-−-3y+-0,2(S−-3y)---|-0,2(S-− 3y)+-y-|---S-−-4y----| -2036------S−-4y-------S-−-4y+-0,2(S−-4y)-----0,2(S-− 4y)+-y----S−-5y =-0--

Из таблицы следует, что $S = 5y.$ Тогда имеем:

1300 = 5x + 5y ⇒ x+ y = 260

Так как сумма всех платежей равна 2780 тыс. рублей, то

5x+ 0,2(1300+ 1300− x +1300− 2x+ 1300− 3x+ 1300 − 4x)+ +5y +0,2(S + S− y+ S − 2y +S − 3y+ S− 4y)= 2780

Отсюда получаем

5(x+ y)+ 0,2(5⋅1300− 10x + 5S − 10y) =2780 5(x+ y)+ 0,2(5⋅1300− 10x + 15y)= 2780 5⋅260+ 1300− 2x+ 3y = 2780 3y − 2x = 180 |:2 1,5y − x = 90

С учетом $x+ y =260$ получаем систему:

{ 1,5y− x= 90 x+ y = 260

Складывая два уравнения, получаем

2,5y =350 ⇔ y = 140 ⇒ x = 120

Тогда платеж в 2027 году в тыс. рублей составит

0,2⋅1300+ x= 260+ 120= 380

Ответ: 380000

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#72048

В октябре 2027 года Анна планирует взять кредит в банке на 7 лет в размере 4 350 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 10% от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по сентябрь необходимо выплатить часть долга;

— в октябре каждого года в первые пять лет действия кредита (2028-2032 гг.) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на октябрь предыдущего года;

— в 2033 и 2034 годах выплаты по кредиту равны;

— к октябрю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.

Известно, что общая сумма выплат по кредиту должна составить 6 025 тыс. рублей. Сколько рублей составит выплата в 2031 году?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 13

Показать ответ и решение

Пусть $S = 4350$ тыс. рублей. Составим таблицу, отслеживающую сумму долга в течение всего действия кредита. Пусть $A$ тыс. рублей — сумма, на которую уменьшается долг в течение первых пяти лет кредитования, а $x$ тыс. рублей — равные выплаты по кредиту в 2033 и 2034 годах.

|----|---------------------|------------------------|--------------| |Год |С ум ма до начисления %,|С умма после начисления %, Выплата, | |----|------ты-с.-рублей------|-------тыс. рублей------|--тыс. рублей-| |2028-|----------S----------|--------S-+-0,1S---------|---0,1S+-A----| |2029 | S − A | S − A+ 0,1(S − A) | 0,1(S− A )+A | |2030-|--------S−-2A--------|---S-−-2A+-0,1(S-−-2A-)---|0,1(S-−-2A)+-A-| |----|---------------------|------------------------|--------------| |2031-|--------S−-3A--------|---S-−-3A+-0,1(S-−-3A-)---|0,1(S-−-3A)+-A-| |2032-|--------S−-4A--------|---S-−-4A+-0,1(S-−-4A-)---|0,1(S-−-4A)+-A-| |2033 | S− 5A | 1,1(S − 5A) | x | |2034-|----1,1(S-−-5A)−-x----|----1,1(1,1(S-− 5A-)− x)--|------x-------| --------------------------------------------------------------------

Таким образом, так как к концу 2034 года долг выплачен полностью, то получаем следующее уравнение:

1,1(1,1(S − 5A )− x)− x = 0 1,12(S− 5A) =x(1,1+ 1)

Из условия общая сумма выплат равна 6 025 тыс. рублей. Следовательно, получаем еще одно равенство:

0,1(S+ S − A + S− 2A + S− 3A +S − 4A)+ 5A+ 2x= 6025

В итоге получаем следующую систему:

( ||| 1,12(S− 5A)= x(1,1 +1) { ||| 0,1(S+ S − A + S− 2A + S− 3A+ S − 4A )+ 5A + 2x= 6025 ( S = 4350 ( { 1,21(4350 − 5A) = 2,1x ( 0,1(5⋅4350− 10A )+5A + 2x= 6025

Выразим $x$ из второго уравнения:

2175− A + 5A+ 2x= 6025 2x= 3850− 4A x= 1925− 2A

Подставим это выражение в первое уравнение и получим

1,21⋅4350− 1,21 ⋅5A = 2,1(1925− 2A) 5263,5− 6,05A = 4042,5− 4,2A 1,85A = 1221 A = 660

Найдем выплату в 2031 году:

0,1(S− 3A)+ A = 0,1(4350− 3⋅660)+ 660= 897

Тогда выплата в 2031 году равна 897 тыс. рублей.

Ответ:

897 тыс. рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#100637

В октябре 2027 года Борис планирует взять кредит в банке на 7 лет в размере 2560 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 15% от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по сентябрь необходимо выплатить часть долга;

— в октябре каждого года в первые пять лет действия кредита (2028-2032 гг.) долг должен быть на одну и ту же величину $Q$ рублей меньше долга на октябрь предыдущего года;

— в 2033 и 2034 годах выплаты по кредиту равны;

— к октябрю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите величину $Q$ , если общая сумма выплат по кредиту должна составить 4168 тыс. рублей.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 14

Показать ответ и решение

Пусть $S = 2560$ тыс. рублей. Составим таблицу, отслеживающую сумму долга в течение всего действия кредита. Пусть $A$ тыс. рублей — сумма, на которую уменьшается долг в течение первых пяти лет кредитования, а $x$ тыс. рублей — равные выплаты по кредиту в 2033 и 2034 годах. Тогда искомое $Q$ равно $1000A$ .

|----|---------------------|------------------------|---------------| |Год |С ум ма до начисления %,|С умма после начисления %, Вы плата, | |2028-|------ты-с.-рSублей------|-------тыSс.+ р0у,б1л5еSй------|--ты0с,1.5 рSуб+леAй--| |2029-|--------S-− A--------|----S−-A-+-0,15(S−-A)----|-0,15(S−-A)+-A--| |2030-|--------S−-2A--------|---S-− 2A-+-0,15(S−-2A)--|0,15(S-− 2A-)+A-| |2031-|--------S−-3A--------|---S-− 3A-+-0,15(S−-3A)--|0,15(S-− 3A-)+A-| |2032-|--------S−-4A--------|---S-− 4A-+-0,15(S−-4A)--|0,15(S-− 4A-)+A-| -2033----------S−-5A----------------1,15(S−-5A)---------------x-------- -2034------1,15(S−-5A)−-x--------1,15(1,15(S−-5A)−-x)-----------x--------

Таким образом, так как к концу 2034 года долг выплачен полностью, то получаем следующее уравнение:

1,15(1,15(S− 5A)− x)− x= 0 1,152(S− 5A) =x(1,15 +1)

Из условия общая сумма выплат равна 4 168 тыс. рублей. Следовательно, получаем еще одно равенство:

0,15(S +S − A+ S − 2A + S− 3A + S− 4A)+ 5A +2x = 4168

В итоге получаем следующую систему:

$pict$

Выразим $x$ из второго уравнения:

1920− 1,5A + 5A+ 2x =4168 2x = 2248 − 3,5A x = 1124 − 1,75A

Подставим это выражение в первое уравнение и получим

1,3225⋅2560 − 1,3225 ⋅5A = 2,15(1124− 1,75A) 3385,6− 6,6125A= 2416,6 − 3,7625A 2,85A= 969 A = 340

Тогда первые пять лет долг уменьшался на 340 тыс. рублей, то есть на $340000$ рублей, тогда $Q = 340 000.$

Ответ: 340000

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#72049

В августе 2027 года Дмитрий планирует взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг увеличивается на 10% от суммы долга на конец предыдущего года;

— в январе 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг увеличивается на 14% от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июль необходимо выплатить часть долга;

— в августе каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на август предыдущего года;

— к августу 2035 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите сумму кредита (в млн рублей), если она на 1 700 тыс. рублей меньше суммы общих выплат по кредиту.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 15

Показать ответ и решение

Пусть $S$ млн рублей — сумма, взятая в кредит. Составим таблицу, отслеживающую сумму долга в течение всего действия кредита. Пусть $x$ млн рублей — сумма, на которую уменьшается долг каждый год в течение всего срока кредитования.

|Год-|С-ум-ма до-начисления-%,|С-умма-после начисления %,--Вы-плата,---| | | | | | |----|------млн рублей-----|-------млн-рублей-------|--млн-рублей---| |2028-|----------S----------|--------S-+-0,1S---------|---0,1S+-x----| |2029-|--------S-−-x--------|-----S−-x+-0,1(S-−-x)----|-0,1(S-−-x)+-x-| |2030 | S− 2x | S− 2x+ 0,1(S − 2x) | 0,1(S− 2x)+ x | |----|---------------------|------------------------|--------------| |2031-|--------S−-3x--------|----S−-3x+-0,1(S-−-3x)----|-0,1(S−-3x)+-x-| |2032-|--------S−-4x--------|---S-−-4x-+-0,14(S−-4x)---|0,14(S-−-4x)+x-| |2033-|--------S−-5x--------|---S-−-5x-+-0,14(S−-5x)---|0,14(S-−-5x)+x-| |2034 | S− 6x | S − 6x + 0,14(S− 6x) |0,14(S − 6x)+x | |2035-|--------S−-7x--------|---S-−-7x-+-0,14(S−-7x)---|0,14(S-−-7x)+x-| --------------------------------------------------------------------

Так как к августу 2035 года кредит должен быть полностью погашен, то $S − 8x = 0,$ откуда $S = 8x.$

По условию, если $∑$ — общая сумма выплат в млн рублей, то $∑ −S =1,7.$ По таблице имеем:

∑ = 0,1(S +S − x+ S− 2x+ S − 3x)+ +0, 14(S − 4x +S − 5x+ S− 6x+ S − 7x)+ 8x= = 0,96S +4,32x

Тогда получаем уравнение

0,96S+ 4,32x− S = 1,7

Так как $1 x = 8S,$ то

1 0,96S + 4,32⋅ 8S− S = 1,7 ⇔ S = 3,4

Тогда сумма, взятая в кредит, равна 3,4 млн рублей.

Ответ:

3,4 млн рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#100638

В августе 2027 года Алина планирует взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2028,2029,2030 и 2031 годов долг увеличивается на 15% от суммы долга на конец предыдущего года;

— в январе 2032,2033,2034 и 2035 годов долг увеличивается на 13% от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июль необходимо выплатить часть долга;

— к августу 2035 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите сумму кредита (в млн рублей), если она на 1690 тыс. рублей меньше суммы общих выплат по кредиту.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 16

Показать ответ и решение

|----|---------------------|------------------------|--------------| |Год |С ум ма до начисления %,|С умма после начисления %, Выплата, | |----|------млн рублей-----|-------млн-рублей-------|--млн-рублей---| |2028-|----------S----------|--------S-+0,15S--------|---0,15S-+x----| |2029-|--------S-−-x--------|----S-−-x+-0,15(S−-x)----|-0,15(S−-x)+-x-| |22003031-|--------SS−−-23xx--------|---SS-−−-23xx++-00,1,155((SS−−-23xx))---|00,,1515((SS-−− 2 3xx))++-xx| |2032-|--------S−-4x--------|---S-−-4x+-0,13(S−-4x)---|0,13(S-− 4x)+-x| |2033-|--------S−-5x--------|---S-−-5x+-0,13(S−-5x)---|0,13(S-− 5x)+-x| |2034-|--------S−-6x--------|---S-−-6x+-0,13(S−-6x)---|0,13(S-− 6x)+-x| |2035-|--------S−-7x--------|---S-−-7x+-0,13(S−-7x)---|0,13(S-− 7x)+-x| --------------------------------------------------------------------

Так как к августу 2035 года кредит должен быть полностью погашен, то $S − 8x = 0,$ откуда $S = 8x.$

По условию, если $∑$ — общая сумма выплат в млн рублей, то $∑ − S =1,69.$ По таблице имеем:

∑ =0,15(S + S− x+ S − 2x +S − 3x)+ +0,13(S− 4x+ S − 5x + S− 6x+ S− 7x)+ 8x= = 0,15⋅4S − 0,15⋅6x+ 0,13⋅4S − 0,13⋅22x+ 8x= = 1,12S +4,24x

Тогда получаем уравнение

1,12S+ 4,24x− S = 1,69

Так как $1 x = 8S,$ то

1 1,12S + 4,24⋅8S − S = 1,69 ⇔ S = 2,6

Тогда сумма, взятая в кредит, равна 2,6 млн рублей.

Ответ: 2,6 млн рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#72050

В июне 2028 года Ольга планирует взять кредит в банке N на 4 года в размере 3,6 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе 2029 и 2030 годов долг увеличивается на $r%$ от суммы долга на конец предыдущего года;

— в январе 2031 и 2032 годов долг увеличивается на 18% от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июнь каждого года действия кредита необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2032 года кредит должен быть погашен полностью.

Ольге предложили взять кредит в банке G на таких же условиях, но только в первые два года долг будет увеличиваться на 18%, а в последующие два года — на $r%.$ Найдите $r,$ если общая сумма выплат по кредиту в банке G больше суммы выплат в банке N на 162 тыс. рублей.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 17

Показать ответ и решение

Пусть $S = 3600$ тыс. рублей, $t =0,01r,$ $x$ и $y$ тыс. рублей — суммы, на которые долг уменьшается каждый год в течение всего срока кредитования в каждом из банков. Составим таблицу, отслеживающую изменения долга с 2028 по 2032 годы.

Для банка N:

|----|---------------------|------------------------|--------------| |Год |С ум ма до начисления %,|С умма после начисления %, Вы плата, | |----|------ты-с.-рублей------|-------тыс. рублей------|--тыс. рублей-| |2029-|----------S----------|---------S-+-tS----------|----tS-+x-----| |2030 | S − x | S − x+ t(S − x) | t(S − x)+ x | |2031-|--------S−-2x--------|---S-−-2x-+-0,18(S−-2x)---|0,18(S-−-2x)+x-| |----|---------------------|------------------------|--------------| -2032----------S−-3x------------S-−-3x-+-0,18(S−-3x)----0,18(S-−-3x)+x--

Для банка G:

|----|---------------------|------------------------|-------------| |Год |С ум ма до начисления %,|С умма после начисления %, Выплата, | |----|------ты-с.-рублей------|-------тыс. рублей------|-ты-с.-рублей--| |2029-|----------S----------|--------S+-0,18S--------|--0,18S+-y---| |2030 | S − y | S − y + 0,18(S− y) |0,18(S − y)+y | |2031-|--------S−-2y--------|-----S−-2y+-t(S-−-2y)-----|-t(S−-2y)+y--| |----|---------------------|------------------------|-------------| -2032----------S−-3y--------------S−-3y+-t(S-−-3y)-------t(S−-3y)+y---

Тогда, так как в 2032 году долг выплачен полностью, то $S − 4x = 0$ и $S − 4y = 0,$ откуда $S = 4x$ и $x= y.$ Если $∑$ — общая сумма выплат, то

∑ ∑ − = 162 G N

Найдем общие суммы выплат:

∑ = 0,18(S +S − x)+ t(S − 2x +S − 3x)+4x G ∑ = t(S + S− x)+ 0,18(S − 2x +S − 3x)+4x N

Тогда имеем:

∑ ∑ − = (0,18− t)(2S − x)− (0,18− t)(2S− 5x)= 4x(0,18− t) G N

Получаем уравнение

162= 3600(0,18− t) ⇔ t= 0,135 ⇒ r = 13,5

Ответ:

13,5

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#100639

В июне 2028 года Егор планирует взять кредит в банке N на 4 года в размере 5 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе 2029 и 2030 годов долг увеличивается на 14% от суммы долга на конец предыдущего года;

— в январе 2031 и 2032 годов долг увеличивается на $r%$ от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июнь каждого года действия кредита необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2032 года кредит должен быть полностью погашен.

Егору предложили взять кредит в банке G на таких же условиях, но только в первые два года долг будет увеличиваться на $r%,$ а в последующие два года - на 14%. Найдите $r,$ если общая сумма выплат по кредиту в банке G меньше суммы выплат в банке N на 175 тыс. рублей.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 18

Показать ответ и решение

Пусть $S = 5000$ тыс. рублей, $t =0,01r,$ $x$ и $y$ тыс. рублей — суммы, на которые долг уменьшается каждый год в течение всего срока кредитования в каждом из банков. Составим таблицу, отслеживающую изменения долга с 2028 по 2032 годы.

Для банка N:

|----|---------------------|------------------------|--------------| |Год |С ум ма до начисления %,|С умма после начисления %, Выплата, | |----|------ты-с.-рублей------|-------тыс. рублей------|--тыс. рублей-| |2029-|----------S----------|---------S-+-tS----------|----tS+-x-----| |22003031-|--------SS−−2xx--------|---S-S−-−2xx++0t,1(S4(−S−x)2x)---|0,t14(S(S−−x 2)x+)x+-x-| |2032-|--------S−-3x--------|---S-−-3x+-0,14(S−-3x)---|0,14(S-− 3x)+-x| --------------------------------------------------------------------

Для банка G:

|Год|-Сумма-до начисления-%,|Сумма-после-начисления-%,|---Выплата,--| | | тыс. рублей | тыс. рублей | ты с. рублей | -29------------S-------------------S-+-0,14S------------0,14S+-y---- |30-|---------S−-y---------|----S−-y+-0,14(S−-y)----|0,14(S-−-y)+y-| |31-|--------S-− 2y--------|----S−-2y+-t(S−-2y)----|-t(S−-2y)+-y-| -32----------S-− 3y-------------S−-3y+-t(S−-3y)------t(S−-3y)+-y--

∑ ∑ − = 175 G N

Найдем общие суммы выплат:

∑ = 0,14(S +S − x)+t(S− 2x+ S − 3x)+ 4x ∑G = t(S + S− x)+ 0,14(S− 2x+ S − 3x)+ 4x N

Тогда имеем:

∑ − ∑ = (0,14− t)(2S− x)− (0,14− t)(2S− 5x)= 4x(0,14− t) G N

Получаем уравнение

175= 5000(0,14− t) ⇔ t =0,105 ⇒ r = 10,5

Ответ: 10,5

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#72051

В сентябре 2027 года Михаил планирует взять кредит в банке на 6 лет в размере 1 500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– в январе 2028, 2029 и 2030 годов долг увеличивается на $r%$ от суммы долга на конец предыдущего года;

– в январе 2031, 2032 и 2033 годов долг увеличивается на $(r+ 3)%$ от суммы долга на конец предыдущего года;

– в период с февраля по август необходимо выплатить часть долга;

– в сентябре каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на сентябрь предыдущего года;

– к сентябрю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $r,$ если общая сумма выплат по кредиту должна составить 2 175 тыс. рублей.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 19

Показать ответ и решение

Пусть $S = 1500$ тыс. рублей, $t =0,01r,$ $p= 0,01(r+ 3),$ $x$ тыс. рублей — сумма, на которую долг уменьшается каждый год в течение всего срока кредитования. Составим таблицу, отслеживающую изменения долга с 2027 по 2033 годы.

|Год|-Сумма-до начисления-%,|Сумма-после-начисления-%,|--Вы-плата,--| | | | | | |---|------тыс. рублей-----|------тыс. рублей------|-тыс. рублей| |28-|----------S-----------|---------S+-tS---------|---tS-+x----| |29-|--------S-−-x---------|-----S−-x+-t(S−-x)-----|-t(S-−-x)+-x-| |30 | S − 2x | S− 2x+ t(S− 2x) | t(S− 2x)+ x | |---|----------------------|-----------------------|------------| |31-|--------S-− 3x--------|----S−-3x+-p(S−-3x)----|p(S-− 3x)+-x| |32-|--------S-− 4x--------|----S−-4x+-p(S−-4x)----|p(S-− 4x)+-x| -33----------S-− 5x-------------S−-5x+-p(S−-5x)-----p(S-− 5x)+-x-

По условию имеем:

S − 6x = 0 ⇔ S = 6x

Общая сумма выплат по кредиту составляет

t(S + S− x+ S − 2x)+ +p (S − 3x+ S− 4x+ S − 5x)+ 6x = =t(3S− 3x)+ p(3S − 12x)+ 6x= ( S) = 0,01r 3S− 2- + 0,01(r+ 3)(3S− 2S)+ S = = 0,01r⋅2,5S + 0,01(r +3)⋅S +S = = S(0,025r+ 0,01(r +3)+ 1)= = S(0,035r+ 1,03)= 2175

Так как $S = 1500,$ то окончательно получаем

2175 0,035r = 1500 − 1,03 =0,42 ⇔ r = 12

Ответ:

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#100640

В сентябре 2027 года Мария планирует взять кредит в банке на 6 лет в размере 4,5 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе 2028,2029 и 2030 годов долг увеличивается на $r%$ от суммы долга на конец предыдущего года;

— в январе 2031,2032 и 2033 годов долг увеличивается на $(r− 3)%$ от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по август необходимо выплатить часть долга;

— в сентябре каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на сентябрь предыдущего года;

— к сентябрю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.

Известно, что общая сумма выплат по кредиту должна составить 7,2 млн рублей. Сколько рублей составит выплата 2032 года?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 20

Показать ответ и решение

Пусть $S = 1500$ тыс. рублей, $t =0,01r,$ $p= 0,01(r− 3),$ $x$ тыс. рублей — сумма, на которую долг уменьшается каждый год в течение всего срока кредитования. Составим таблицу, отслеживающую изменения долга с 2027 по 2033 годы.

|----|---------------------|------------------------|------------| |Год |С ум ма до начисления %,|С умма после начисления %, Выплата, | |----|------ты-с.-рублей------|-------тыс. рублей------|-тыс. рублей-| |2028-|----------S----------|---------S-+-tS----------|---tS+-x----| |2029-|--------S-−-x--------|-----S-−-x+-t(S-−-x)-----|-t(S-− x)-+x-| |22003031-|--------SS−−-23xx--------|----SS−−-23xx++-tp(S(S-−−-2x3)x)----|tp((SS−−-23xx))++-xx-| |2032-|--------S−-4x--------|----S-−-4x+-p(S-−-4x)----|p(S−-4x)+-x-| |2033-|--------S−-5x--------|----S-−-5x+-p(S-−-5x)----|p(S−-5x)+-x-| ------------------------------------------------------------------

По условию имеем:

S − 6x = 0 ⇔ S = 6x

Общая сумма выплат по кредиту составляет

t(S + S− x+ S − 2x)+ +p (S − 3x+ S− 4x+ S − 5x)+ 6x = =t(3S− 3x)+ p(3S − 12x)+ 6x= ( S) = 0,01r 3S− 2- + 0,01(r− 3)(3S− 2S)+ S = = 0,01r⋅2,5S + 0,01(r − 3)⋅S +S = = S(0,025r+ 0,01(r − 3)+ 1)= = S(0,035r+ 0,97)= 7200

Так как $S = 4500,$ то окончательно получаем

0,035r = 7200− 0,97 =0,63 ⇔ r = 18 4500

Найдем выплату в 2032 году:

p(S− 4x)+ x= 4 1 = 0,01(18− 3)(4500− 6 ⋅4500)+ 6 ⋅4500= 975

Тогда выплата в 2032 году составила 975 тыс. рублей.

Ответ: 975000

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2