Закл (финал) 9 класс

Разделим контакты на группы по контактов. Контакт в каждой группе пронумеруем номером от до и будем обозначать — контакты в соответствующих группах с номером Если Вася перерезает контакт в одной группе, например, то Петя режет Если Вася режет провод между контактами из разных групп с одинаковыми номерами, например, то Петя перережет провод Если Вася режет провод между контактами из разных групп, например, причем то Петя режет и Из описанной стратегии Пети следует, что провода, которые ему нужно перерезать, не будут отрезаны до его хода, поэтому ход Пети всегда возможен.

Таким образом, Петя всякий раз поддерживает на свой ход инвариант: у контактов отходит одинаковое число проводов, при этом от одного из них столько же проводов отходило уже после хода Васи. Поэтому отрезание последнего провода от одного из контактов случится после хода Васи и, следовательно, Петя выиграет.

Предположим обратное: для любых двух комитетов имеется не более общих членов. Тогда воспользуемся леммой Корради. — множество депутатов, — количество комитетов (подмножества ), — количество человек в комитете (количество элементов в подмножестве), — комитет № Тогда из предположения следует, что при По лемме получаем оценку на мощность множества депутатов:

Получаем противоречие. Значит, нашлись комитета, имеющих более общих членов.

Назовём покрытием ситуацию, когда уголок покрыл какую-то клетку. Получается, что каждый уголок делает три покрытия. Рассмотрим клетки с координатами (координаты целые и начинаются с Их По условию у каждой клетки должно быть одинаковое количество покрытий. Это значит, что суммарно эти клеток имеют от всех покрытий. С другой стороны, каждый уголок может покрывать не более одной отмеченной клетки. Это означает, что суммарное количество покрытий этих клеток не превосходит от общего числа покрытий. Таким образом, нельзя.

Предположим, что да. Пусть ось симметрии — тогда понятно, что она же является осью симметрии многочлена Нам известно, что в точках многочлен зануляется, значит, его осью симметрии является прямая Таким образом, .

Заметим, что многочлен имеет корни и Однако у него не более двух корней, значит, какие-то совпадают.

В силу и наличия оси симметрии у многочлена получаем, что Из этого следует, что Однако если расписать это равенство для трёхчлена то мы получим, что то есть придём к противоречию.

Проведем через точку прямую, параллельную Отметим на ней точку так, чтобы

В четырехугольнике по постороению сторона равна и параллельна стороне следовательно, — параллелограмм и следовательно, как накрест лежащие.

Рассмотрим треугольник В нем угол между равными сторонами и равен значит, это треугольник равносторонний и По неравенству треугольника для получаем причем Тогда что и требовалось доказать. Единственный случай, в котором неравенство обращается в равенство, достигается, когда попадает на прямую Это равносильно тому, что (т.к. отрезок мы строили как параллельный ).

Докажем, что числа и дают одинаковые остатки при делении на Тогда из условия будет следовать, что число делится на

Если числа и дают различные остатки при делении на три, то число не делится на а число наоборот, делится на Следовательно, по крайней мере, два из трех чисел дают одинаковые остатки при делении на Но тогда число делится на а для этого необходимо, чтобы и третье число давало тот же остаток при делении на что и первые два числа.

Заметим, что на шахматной доске имеется диагоналей, содержащих нечётное число клеток и не имеющих общих клеток. Следовательно, число фишек не может быть больше Удовлетворяющая условию задачи расстановка фишек изображена на рисунке.