Сила Архимеда —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#44343

В цилиндрическом сосуде с площадью дна $S$ с помощью нити удерживают под водой кусок льда, внутри которого имеется воздушная полость (см. рисунок). Объём льда вместе с полостью равен $V$ , плотность льда $ρл$ . После того как лёд растаял, уровень воды в сосуде уменьшился на $h$ .
Найдите:
1) объём $V п$ воздушной полости;
2) силу $T$ натяжения нити в начале опыта;
Примечание. Плотность воды $ρв$ и ускорение свободного падения $g$ считайте известными.

Показать ответ и решение

Допустим, что объем льда без учёта полости равен $Vл$ . По условию задачи:

V = Vл + Vп

Поскольку масса вещества не изменяется:

V ρ = V ρ п л п п

После того, как весь лёд растаял, занимаемый им объем уменьшился на

( ) ΔV = V л − V п = Vл 1 − ρл- , ρп

где $V в$ – объем воды, получившейся из расплавившегося льда.
Уровень понижения воды найдем из условия:

( ρ ) Sh = ΔV + Vп = Vл 1 − --л + V п ρ п

Выразим $Vп$ и получим:

( ) ( ) ρв- ρв-−-ρл- Vп = Sh ρл − V ρл

Для определения натяжения нити воспользуемся вторым законом Ньютона:

T = FА − ρлV лg

По закону Архимеда $FA = ρ вVg$ , объём льда $Vл = V − V п$ . Подставляя найденный ранее объём $V п$ во второй закон Ньютона, получим:

T = ρ gSh в

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#46959

В сосуде с водой закреплена полка, наклонённая к горизонту под углом $α$ ( $sin α = 3∕5$ ). На поверхности полки удерживается тележка с закреплённым на ней деревянным бруском с помощью нити, натянутой под углом $α$ к горизонту (см. рисунок). Объём бруска $V$ , плотность воды $ρ$ , плотность дерева $0,7ρ$ .
1) Найдите силу натяжения нити при неподвижном сосуде.
2) Найдите силу натяжения нити при движении сосуда с горизонтальным ускорением $a = g∕6$ .
В обоих случаях брусок находится полностью в воде. Объёмами и массами тележки и колёс и трением в их осях пренебречь.
(«Физтех», 2015, 10)

Показать ответ и решение

1) По второму закону Ньютона на вертикальную и горизонтальную оси:

( { T1sinα + mg + N cosα = ρgV ( sin2 α + cos2α ) 7 cos α ⇒ T1 -------------- = ρgV − --ρgV ( T1cos α = N sin α ⇒ N = T1----- sin α 10 sinα

Откуда

( ) 7 9ρgV T1 = ρgV 1 − --- sin α = ------ 10 50

2) Разобьем силу Архимеда на горизонтальную и вертикальную составляющую $FA1 = ρgV$ , $FA2 = ρga$ . Уравнение движения для шара в проекциях на направление нити

T2 + 7-ρgV sin α − FA1 sinα + FA2cos α = 7-ρga cosα. 10 10

-3- -7- T2 = 10 ρV (g sin α − a cosα) = 50 ρV g

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записан второй закон Ньютона	2

Записана формула силы Архимеда	2

Записано уравнение движения для шара	2

Выражена искомая величина	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#46960

Стеклянный шар объёмом $V$ и плотностью $ρ0$ находится в сосуде с водой, плотность которой $ρ$ (рис.). Шар полностью погружён в воду. Острый угол между стенкой конического сосуда и горизонтом составляет $α$ . Внутренняя поверхность сосуда гладкая. Сосуд движется с постоянным ускорением $⃗a$ , направленным под острым углом $γ$ к вертикали. Найдите силы давления шара на дно и стенку сосуда. При каком соотношении между параметрами задачи $V$ , $ρ0$ , $ρ$ , $α$ , $γ$ шар не будет отрываться от дна при любых значениях ускорения $a > 0$ ?
(Всеросс., 2003, ОЭ, 11 )

Источники: Всеросс., 2003, ОЭ, 11

Показать ответ и решение

На шар (рис. 1) действуют сила тяжести $P = ρgV$ силы $N1$ и $N2$ со стороны дна и стенки сосуда, сила Архимеда $F a$ со стороны воды. Разложим для удобства на горизонтальную и вертикальную составляющие $Fax$ и $Fay$ . Эти составляющие найдем, записав уравнения движения в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси $x$ и $y$ для мысленно выделенного водяного шара обьемом $V$ , движущегося с ускорением $a$ :

Fax = ρVasinγ,Fay − ρV g = ρV acosγ.

Отсюда $Fax = ρV asin γ,Fay = ρV(g + acosγ).$

Запишем уравнения движения для стеклянного шара в проекциях на оси $x$ и $y :$

Fax + N2sinα = ρ0Va sinγ

Fay − ρV g+ N1 + N2cosα = ρ0Va cosγ

Из двух последних уравнений с учетом найденных выражений для $Fax$ и $Fay$ находим силы давления на и стенку:

N1 = (ρ0 − ρ)V (a cosγ − asinγcrgα +g)

N = (ρ − ρ)Va sinγ∕ sinα 2 0

Шар не будет отрываться от дна, если $N1 > 0$ , то есть $acosγ − a sinγcrgα + g > 0$ . Перепишем неравенство в виде $sinγctgα− cosγ < g∕a$ . Это неравенство выполнено для любых $a > 0$ при $sin γctgα − cosγ < 0$ . Отсюда следует, что при любых $V,ρ0,ρ(ρ0 > ρ)$ отрыва от дна не будет при $α > γ$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#46961

Деревянный и металлический шарики связаны нитью и прикреплены другой нитью ко дну сосуда с водой. Сосуд вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси $′ OO$ (рис.). В результате шарики, оставаясь полностью в воде, расположились так, как показано на рисунке. Деревянный шарик (1) находится от оси вращения на расстоянии втрое меньшем, чем металлический (2). Верхняя нить составляет угол $α$ ( $sin α = 4∕5$ ) с вертикалью. Угол между нитями равен $90∘$ . Размеры шариков малы по сравнению с их расстояниями до оси вращения.
1) Под каким углом к вертикали направлена сила Архимеда, действующая на деревянный шарик? Дайте объяснение.
2) Найдите отношение сил натяжения верхней и нижней нитей.
(Всеросс., 2011, финал, 10 )

Источники: Всеросс., 2011, финал, 10

Показать ответ и решение

Пусть плотности воды, деревянного и металлического шариков равны $ρ,ρ1$ и $ρ2$ соответственно, объёмы шариков $− V1$ и $V2$ , расстояние от оси вращения до деревянного шарика $R$ , силы натяжения верхней и нижней нитей $T 1$ и $T 2$ , угловая скорость вращения $ω$ . 1. Рассмотрим мысленно вместо деревянного шарика шарик из воды. На эти шарики действует одинаковая сила Архимеда (рис. 19).

Ускорение шариков $2 a = ω R$ . По второму закону Ньютона в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления:

F sin γ = ρV ω2R, F sinγ − T sin α = ρ V ω2R, A 1 A 1 1 1 FA cos γ = ρV1g, FA cosγ − T1 cosα = ρ1V1g.

Отсюда:

2 2 tgγ = ω-R-, tg α = ω--R-. g g

Итак, $γ = α$ , то есть получаем ответ на первый вопрос: сила Архимеда направлена под углом $α$ к вертикали, то есть, вдоль нити.

2. Найдём горизонтальные и вертикальные составляющие сил Архимеда, действующих на шарики (рис. 20):

F = ρV ω2R, F = ρV g, A1x 1 A1y 1 FA x = ρV2ω2 ⋅ 3R, FA y = ρV2g. 2 2

По второму закону Ньютона:

( || FA1x − T1 sinα = ρ1V1ω2R, ||{ FA1y − ρ1V1g − T1 cosα = 0, || FA2x + T1 sinα + T2 cosα = ρ2V2ω2 ⋅ 3R, ||( FA2y − ρ2V2g + T1 cosα − T2sinα = 0.

Из записанных уравнений находим:

( ||| (ρ − ρ1)V1ω2R = T1 sin α, |{ (ρ − ρ ) V g = T cosα, 1 1 1 ||| (ρ2 − ρ)V2ω2 ⋅ 3R = T1 sin α + T2 cosα, |( (ρ2 − ρ) V2g = T1 cosα − T2 sin α.

Отсюда:

xsinα-+--cosα- T1- 3 tg α = xcos α − sin α , гд е x = T . 2

Зная $α$ , находим:

T 19 x = -1-= --. T2 8

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записана формула силы Архимеда	2

Записана формула центростремительного ускорения	2

Записаны горизонтальная и вертикальная составляющие силы Архимеда	2

Выражена искомая величина	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#48324

В сосуде с водой закреплён клин. На гладкой поверхности клина, наклонённой к горизонту под углом $α$ ( $sinα = 3∕5$ ), удерживается тележка с закреплённым на ней эбонитовым бруском с помощью нити, натянутой под углом $α$ к горизонту (см. рисунок). Объём бруска $V$ , плотность воды $ρ$ , плотность эбонита $1,2ρ$ .
1) Найдите силу натяжения нити при неподвижном сосуде.
2) Найдите силу натяжения нити при движении сосуда с горизонтальным ускорением $a = g∕12$ .
В обоих случаях брусок находится полностью в воде. Объёмом тележки, колёс и трением в их осях пренебречь.
(«Физтех», 2015, 11)