Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Логарифмические, показательные, рациональные неравенства на Ломоносове

Тема Ломоносов

Логарифмические, показательные, рациональные неравенства на Ломоносове

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ломоносов

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80457

Найдите все такие наборы чисел $x ,x,...,x 1 2 n+1$ , что $x = x 1 n+1$ и при всех $k= 1,...,n$ выполнено равенство

2 2log2xk⋅log2xk+1 − log2xk =9.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, выражение слева от знака равенства очень напоминает квадрат разности. Действительно, так оно и есть! Давайте часть логарифмов перенесём в другую сторону, добавим к обоим частям уравнения кое-что и получим настоящий квадрат разности!

Подсказка 2

Теперь внимательно посмотрим на получившуюся формулу. Действительно, квадрат суммы всегда неотрицателен, значит все логарифмы в последовательности по модулю ≥ 3. Нетрудно доказать, что если хотя бы один из логарифмов равен 3, то все остальные тоже равны 3, аналогично если хотя бы 1 равен -3, то все другие тоже равны -3.

Подсказка 3

Но что же делать, если какой-то логарифм строго больше 3. Как-то сложно разбираться с таким случаем. Давайте попробуем доказать, что такого не бывает. Для этого представим, что какой-то логарифм строго больше 3 и выпишем цепочку неравенств, которая из этого следует.

Показать ответ и решение

Можно переписать данное уравнение так:

2 2 log2xk+1− 9 =(log2xk− log2xk+1)

Отсюда следует, что $|log x |≥3 2 k+1$ для любого $k$ от 1 до $n$ и так как $x = x n+1 1$ , то $|log x|≥ 3 2 k$ верно для любого $k$ . Заметим, что если $log2xt =3$ для некоторого $t$ , то $9+log22xt- log2xt+1 = 2log2xt = 3$ , $log2xt+2 = 3$ и т. д. и тогда для любого $k$ верно $xk = 8$ . Аналогично, если $log2t= −3$ для некоторого $t$ , то тогда для любого $k$ верно $1 xk =8$ . Далее будем считать, что $|log2xk+1|>3$ .

Предположим, что для некоторого $k$ верно, что $log2xk >3$ . Тогда из равенства $(2log2xk+1− xk)xk = 9$ следует, что $0 <2log2 xk+1− log2xk < 3< log2xk$ и $0< log2xk+1 < log2xk$ . Отсюда следует, что $log2xk+1$ положительное и больше 3. Аналогично, из этого следует, что $0< log2xk+2 < log2xk+1$ , $log2xk+2$ положительное и больше 3 и т. д. Но тогда

log2 xk <log2xk+1 <...<log2 xn+1 =log2x1 <log2 x2 <...log2xk−1 <log2xk?!

Аналогично, в случае когда для некоторого $k$ верно, что $log2xk < −3$ , то для последующих $xk+1,...$ будет последовательно устанавливаться, что $log2xt+1 > log2xt$ , $xt+1$ отрицательное и меньше -3.

Ответ:

$(8,8,...,8),(1,1,...,1) 8 8 8$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#48594

Решите неравенство

( )( ( 7) ) logπ6 (2x− 5)− logπ6(7 − 2x) cos x+ 4 − cos(2x − 1) (|x − 4|− |2x− 5|)≥ 0.

Источники: Ломоносов-2016, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Найдем ОДЗ и разберемся с каждой скобкой по очереди, начнем с логарифмов. Вспомним, что log_a(b) - log_a(c) на ОДЗ имеет такой же знак, что и выражение (а-1)(b-с). А чему оно равно?

Подсказка 2

Оно просто равно 12-4x, просто напишем это выражение вместо скобки с логарифмами. Перейдем к модулям. Заметили ли Вы, что в связи с ОДЗ они раскрываются однозначно? Причем скобка с модулями и 12-4х имеют общий множитель.

Подсказка 3

У нас получается (х-3)^2 * (скобка с косинусами). Замечаем, что тройка - корень, а иначе скобку второй степени можно убрать. Найдем, в каких точках скобка с косинусами обнуляется (разность косинусов - была какая-то формулка), и сопоставим это с ОДЗ.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ 2x− 5> 0 7− 2x> 0

5 7 x∈ (2;2)

На ОДЗ $(|x− 4|− |2x− 5|)= (4 − x)− (2x − 5)= 9− 3x,$ а по формуле разности косинусов

( ( 7) ) ( 12x +3) ( −4x+ 11) cos x+ 4 − cos(2x− 1) = −2sin --8--- sin --8----

По методу рационализации знак $( ) logπ6(2x − 5)− logπ6(7− 2x)$ на ОДЗ совпадает со знаком $( ) π6 − 1 (2x− 5− (7− 2x))= 46(π− 6)(x − 3)$

В итоге получаем неравенство

( ) ( ) − sin 12x+-3 sin −4x+-11 (x− 3)(π − 6)(x− 3)≥ 0 8 8

( ) ( ) sin 12x+-3- sin −4x-+11 (x− 3)2 ≥0 8 8

На ОДЗ

12x-+3-∈( 6⋅5+3;6-⋅7-+3) ∈(4;6)∈ (π;2π), 8 8 8

поэтому $(12x+3) sin 8 < 0.$

Учтём решение $x = 3,$ сразу запишем в ответ. Остаётся неравенство

( −4x+ 11) sin ---8--- ≥ 0

На ОДЗ

( ) ( ) −-4x-+11 ∈ −7⋅2+-11;−-5⋅2+11 ∈(−1;1)∈ − π;π , 8 8 8 2 2

поэтому неравенство равносильно

−4x+-11- 11- 0 ≤ 8 ⇐ ⇒ x ≤ 4

Ответ:

$(5;11]∪{3} 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#48593

Решите неравенство

2 3 logx2+4x+3(x− 4) ⋅log−x2+3x+4(3− x) ≤ 0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очень хорошим действием было бы найти область определения. Тогда, когда мы будем работать с аргументами логарифмов, мы сможем сразу учесть их знак.

Подсказка 2

Да, (х-4)² после вынесения степени преобразуется в 4-х, (3-х)³ - в 3-х. Теперь вспомним, что на ОДЗ log_a(b) имеет такой же знак, что и выражение (a-1)(b-1). Сделаем так с двумя логарифмами.

Подсказка 3

Правильно располагаем корни на числовой прямой при решении методом интервалов и не забываем про ОДЗ.

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство

2 3 log(x+1)(x+3)(x− 4) ⋅log−(x−4)(x+1)(3− x) ≤ 0

Отсюда ОДЗ: $x <3,x ∕∈ [−3,−1],x ∈(−1,4),x2+4x+ 3⁄= 1,x2 − 3x− 4⁄= −1$ . То есть $x ∈(−1,3)$ и $x2+ 4x +2,x2− 3x − 3⁄= 0$ .

Здесь $x− 4< 0$ , потому можно преобразовать неравенство

logx2+4x+3(4− x)⋅log−x2+3x+4(3− x)≤0

Применим метод рационализации, выражение слева можно заменить на

2 2 (x + 4x+2)(3 − x)⋅(−x + 3x +3)(2− x)≤ 0

√ - √ - ( 3− √21)( 3+ √21) (x+ 2− 2)(x+ 2+ 2)(x− 3)(x− 2) x− --2--- x− --2--- ≥ 0

Осталось упорядочить корни, учесть, что $x ∈(−1,3)$ и заключить $√-- x ∈(3−221,√2-− 2)∪ [2,3)$ . Здесь $√2 − 2,3$ исключаются, поскольку не входят в ОДЗ.

Ответ:

$(3−√21;√2-− 2)∪ [2;3) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#77697

Решите неравенство

( 2 ) ( 2) 2 log5 5x + 2x ⋅log5 5+ x > log55x

Источники: Ломоносов - 2011, 11 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Аргументы логарифмов очень похожи между собой. Быть может, есть смысл преобразовать выражение так, чтобы из всего разнообразия аргументов у нас осталось только 2 различных?

Подсказка 2

Преобразуйте неравенство так, чтобы из логарифмов остались лишь те, что с аргументами 5 + 2/x и x^2.

Подсказка 3

Выходит, что у нас произведение скобок больше 0...разберем случаи! Одна из скобок выглядит проще, поэтому разберем случаи ее знаков)

Подсказка 4

Разберите случаи x < -2/5 и x > 0. Обратите внимание, что ОДЗ помогает отсечь некоторые промежутки!

Показать ответ и решение

ОДЗ :

(| 5+ 2 >0, { 5x2x+ 2x> 0, |( 2 5x > 0.

Сделаем преобразования:

( 2) 2 2 log5 5+ x ⋅log5(5x + 2x)>log55x

( 2) ( ( 2) ) log5 5+ x ⋅ log5 5+ x +log5x2 > 1+log5x2

( ( ) ) ( ( ) ) log5 5+ 2 − 1 ⋅ log5 5+ 2 + log5x2+ 1 > 0 x x

Используя ограничение из ОДЗ, $5+ 2 >0 ⇔ x∈ (− ∞;− 2) ∪(0;+∞ ), x 5$ имеем два случая:

1) При $x< − 2(⇒ log (5+ 2)< 1) : 5 5 x$

( ) log5(5x2+ 2x)< −1←на−−О−Д−→З 25x2+ 10x − 1 <0 ⇔ x∈ x−;− 2 , 5

где $x± = −1±√2, 5$ причем $x− < − 2< x+. 5$

2) При $( 2 ) x> 0 ⇒ log5(5+ x >1 :$

2 наОД З 2 log5(5x + 2x) >− 1←−−−−→ 25x + 10x− 1> 0⇔ x ∈(x+;+∞ )

Объединяя промежутки, получаем: $x ∈( −1−√2-;− 2)∪( −1+√2-;+ ∞). 5 5 5$

Ответ:

$(−1− √2 2) (− 1+√2- ) ---5--;− 5 ∪ ---5---;+ ∞$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#88258

Решите неравенство

∘ -2--- ∘ --2---------3 x − 1≤ 5x − 1− 4x− x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно было бы просто возвести обе части в квадрат, но не стоит забывать про ОДЗ. Не очень хочется долго считать возможные значения для каждого корня. Как можно покороче всё раскрыть?

Подсказка 2

Верно, мы можем просто записать условие, что меньшая из частей неравенства неотрицательна, получая цепочку неравенств. Решая её и пересекая значения, мы и найдём правильный ответ

Показать ответ и решение

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому спокойно возводим в квадрат, не забыв про ОДЗ

2 2 3 0 ≤x − 1≤ 5x − 1 − 4x− x

Заметим, что все решения неравенства, удовлетворяющие $x2− 1≥ 0$ , будут удовлетворять и $5x2− 1− 4x − x3 ≥ 0$ , поэтому решать отдельно второе неравенство и находить в явном виде ОДЗ избыточно.

Получаем:

{ 0≤ x2− 1 −4x2+ 4x+x3 ≤0

{ x∈(−∞; −1]∪[1;+∞ ) x∈(−∞; 0]∪ {2}

x∈(−∞; −1]∪{2}

Ответ:

$(−∞;− 1]∪ {2}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#63472

Решите неравенство

√- √ -(log3)4−x2 √- √- −(log 2)2x−1 ( 3 − 2) 2 ≤ ( 3+ 2) 3

Источники: Ломоносов-2010, 11.1 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что интересного можно заметить про основания наших выражений? По свойствам степеней в правой части возведём (√2 + √3) сначала в -1 степень, а потом уже во всё что остаётся.

Подсказка 2

Если верно преобразовать основание в правой части, то перед нами теперь сравнение показательных функций с одинаковыми основаниями. А как мы обычно работаем с такими неравенствами?

Подсказка 3

Как наши основания сравниваются с единичкой: больше они или меньше? В связи с этим, сохраняется ли знак сравнения для показателей степени.

Подсказка 4

Заметим, что новые основания степеней взаимно обратны по свойствам логарифма. А значит мы можем провернуть тот же фокус, что делали с исходным неравенством: в левой части вынесем из показателя степени минус и возведём log₂3 сначала в -1 степень.

Подсказка 5

Снова оценим основания и перейдём к сравнению показателей. Осталось решить обычное квадратное неравенство и задачка убита!

Показать ответ и решение

По формуле разности квадратов $(√3− √2)(√3-+√2-)=3 − 2= 1$ . Поэтому неравенство эквивалентно

√- √- (log 3)4−x2 √ - √ -(log2)2x−1 ( 3− 2) 2 ≤ ( 3− 2) 3

Так как основание степени слева и справа одинаковое и меньше единицы (ведь $(√3− √2)2 = 5− 2√6-< 5− 2√4-=1),$ то неравенство равносильно

4−x2 2x−1 (log23) ≥ (log32)

Остаётся провернуть тот же фокус, используя $log32⋅log23 =1$ . Получим

(log 2)x2−4 ≥ (log 2)2x−1 ⇐⇒ 3 3

Так как $log3 2<log33= 1$

x2 − 4≤ 2x− 1⇐⇒ x2− 2x− 3≤ 0

(x− 3)(x+ 1)≤ 0

В итоге по методу интервалов $x∈[−1,3].$

Ответ:

$[−1;3]$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#113670

Решите неравенство

1 1 1 √-−x−-2 − √x-+4-≤1 +∘-(x+-4)(−x−-2).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу запишем ОДЗ:) Какое преобразование сделаем, чтобы избавиться от дробей?

Подсказка 2

Домножим обе части неравенства на корень из произведения! Какие два случая хочется разобрать?

Подсказка 3

Если разность корней отрицательна, то всё хорошо. А как будем решать, если обе части неравенства получились положительными?

Подсказка 4

Возведем обе части в квадрат!

Подсказка 5

Отлично, получилось квадратное уравнение относительно корня из произведения. Осталось решить, сделать обратную замену и не забыть про ОДЗ ;)

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ: $x∈ (−4;− 2).$ Домножим обе части на положительное $∘ (x+-4)(−x−-2)$ и получим

√---- √----- ∘ ------------ x +4− − x− 2 ≤ (x+ 4)(−x− 2)+1

Левая часть не положительна при

x+ 4≤ −x− 2

x≤ −3

Значит, при $x∈ (− 4;−3]$ неравенство выполнено. Если же $x ∈(−3;−2),$ то обе части полученного неравенства положительны, то есть его можно возвести в квадрат:

( ) (√x-+4-− √ −x−-2)2 ≤ ∘ (x-+4)(−-x− 2)+ 1 2

------------ ------------ x+ 4− 2∘(x+ 4)(−x− 2)− x − 2 ≤(x+ 4)(−x− 2)+2∘ (x +4)(− x− 2)+ 1

Делаем замену $∘ ------------ t= (x+ 4)(−x − 2)> 0,$ и получаем

t2+ 4t− 1≥ 0

D = (− 4)2− 4⋅(− 1) =20

−4+ √20 −4− √20 t1 = ---2---, t2 =--2----

( −4− √20] [−4+ √20 ) t∈ −∞; ---2----∪ ---2---;+∞

t∈(− ∞;−2− √5]∪ [− 2+√5;+ ∞)

Заметим, что $t> 0,$ поэтому берем второй луч и делаем обратную замену:

∘ (x+-4)(−x−-2)≥− 2+√5-> 0

(x+ 4)(−x− 2)≥5 +4− 4√5> 0

x2+ 6x+17− 4√5≤ 0

D= 62− 4⋅(17− 4√5)= −32+ 16√5-

∘√---- ∘ ----- x1 = −6+-4---5− 2-=− 3+ 2 √5− 2, 2

−6−-4∘√5-−-2 ∘√---- x2 = 2 = −3− 2 5− 2

[ ∘ √---- ∘ √----] x ∈ −3 − 2 5− 2;− 3+2 5− 2

Пересекаем с нашим случаем $x∈ (− 3;−2):$

( ∘√----] x∈ −3;−3+ 2 5− 2

В итоге получаем, что $( ∘ √----] x∈ −4;− 3+2 5− 2 .$

Ответ:

$(− 4;− 3+2∘ √5−-2]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#70346

Решите неравенство

√x+-8− |2x+ 1| √7−-x−-|2x+-1| ≥ 1

Источники: Ломоносов-2007, отборочный тур, 11

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Приведите неравенство в виду a/b ≥ 0.

Подсказка 2

Получили в числителе разность 2 корней, а можно ли сделать данное выражение более приятным?

Подсказка 3

Вспомните формулу разности квадратов.

Показать ответ и решение

Ограничения: $− 8≤ x≤ 7.$

√x+-8− |2x+ 1|− √7-− x+ |2x +1| -------√7−-x−-|2x+-1|-------≥ 0

√---- √---- √x-+8−--7-− x-≥ 0 7− x− |2x+ 1|

√x-+8− √7-− x √7-−-x− ∘-(2x+1)2 ≥ 0

Рассмотрим неравенство вида $√ -- √-- A− B ≥ 0$ . Домножим обе части на $(√-- √-) A + B ≥0.$ Этот переход действительно равносильный, так как $√A-+ √B-= 0 ⇐⇒ A= B =0$ — решение.

$( )( ) √A-− √B- √A-+ √B- ≥0 ⇐ ⇒ A ≥ B.$

Тогда на ОДЗ получившееся неравенство равносильно

-(x+-8)−-(7− x) (7− x)− (2x+ 1)2 ≥ 0

2x +1 [ 1 3) −4x2− 5x-+6-≥0 ⇐ ⇒ (−∞;− 2)∪ −2;4

Пересекая с $− 8≤ x≤ 7$ получаем ответ.

Ответ:

$[−8;−2)∪[− 1;3) 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#70342

Решите неравенство

√ ---- x+ 1− 1 ≤−x|x− 2|− 4x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, запишем ОДЗ: x ≥ -1. Видим модуль. Как мы обычно справляемся с модулями?

Подсказка 2

Верно! Рассматриваем случаи. Случай -1 ≤ x ≤ 2 достаточно интересный. Возводить в квадрат — так себе идея. Что же можно сделать ещё?

Подсказка 3

Запомните идею: если одна функция возрастает на промежутке, а другая убывает, то на этом промежутке у них не более одного пересечения. Как применить, поймите самостоятельно.

Подсказка 4

Теперь второй случай x ≥ 2. Ну здесь всё совсем просто, достаточно понять знаки выражений. Успехов!

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x≥ −1.$ Рассмотрим два случая раскрытия модуля:

В первом случае $− 1 ≤x <2 :$

√ ---- 2 2 x+ 1≤ x − 6x+ 1= (x− 3) − 8

На данном промежутке слева возрастающая функция, а справа — убывающая. Равенство достигается при $x= 0,$ поэтому неравенство выполняется при $− 1 ≤x ≤0.$

Во втором случае $x ≥2:$

√ ---- 2 x+1 ≤− x − 2x+ 1

При $x≥ 2$ выражение справа отрицательное, а слева положительное, поэтому решений у неравенства нет.

Ответ:

$[−1;0]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#47064

Решите неравенство

3⋅21−x+-1 --1--- 2x− 1 ≥ 1− 2− x.

Источники: Ломоносов-2005

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим наше неравенство, которое нам сходу не решить, поскольку здесь степени и некоторые из них не со знаком умножения. Поэтому надо сделать замену. На что мы можем заменить, если в показателях степени у нас х всегда с коэффициентом ±1?

Подсказка 2

Мы можем сделать замену t = 2^x. Тогда в обеих частях получается некоторая дробь, в числителе и знаменателе которой многочлен. Значит мы можем решать это как обычно, получим подходящие промежутки, после чего нам надо будет заключить 2^x на них и получить ответ!

Показать ответ и решение

После замены $t= 2x$ получаем неравенство