Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Функции, многочлены и квадратные трёхчлены на МВ (Финашке)

Тема МВ / Финашка (Миссия выполнима. Твоё признание — финансист!)

Функции, многочлены и квадратные трёхчлены на МВ (Финашке)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела мв / финашка (миссия выполнима. твоё признание — финансист!)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#104127

Найдите все квадратные трёхчлены, минимальные значения каждого из которых на отрезках $[0;1]$ , $[1;2]$ и $[2;3]$ равны 3, 6 и 7 соответственно.

Источники: Миссия выполнима - 2025, 11.3 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, решения в одну строчку тут не будет.. Придется разбирать случаи. А в каких точках на промежутке могут быть минимальные значения у квадратного трёхчлена?

Подсказка 2

Действительно, минимальные значения будут или на границах, или в вершине параболы. Давайте отдельно разбираться с серединным отрезком - [1;2] и где может быть минимальное значение, заодно выясним монотонность функции на этом отрезке!

Подсказка 3

Нужно понять, где находится вершина параболы, опять разбирать случаи... Мы уже что-то можем сказать про отрезок [1;2], так что логично сравнить вершину с 1

Подсказка 4

Ага, определили, где вершина, отсюда сразу знаем знак коэффициента перед x². Зная про минимальные значения и составляя уравнения, получаем единственный подходящий квадратный трёхчлен, ура!

Показать ответ и решение

Пусть уравнение нашей параболы $f(x)=ax2+ bx+ c.$

Заметим, что на отрезке $[1;2]$ минимальное значение не может достигаться в точке 2, так как в противном случае на отрезке $[2;3]$ минимальным значением было бы число 6, что противоречит условию задачи. Таким образом, минимальное значение на отрезке $[1;2]$ либо в точке 1, либо внутри интервала $(1;2)$ , что соответствует вершине параболы.

Рассмотрим случай, когда минимальное значение на отрезке $[1;2]$ достигается в вершине параболы, назовем эту точку $x0 ∈(1;2).$ Ясно, что в этом случае в точке $x0$ будет достигаться либо максимальное, либо минимальное значение параболы $f(x0)= 6,$ что невозможно, так как по условию задачи существуют такие точки $x1, x2$ , что $f(x1)= 3$ и $f(x2)=7.$ Таким образом получаем, что $f(1)=6.$ Заметим также, что на отрезке $[1;2]$ парабола не может убывать, так как в таком случае ее минимум достигался бы в точке 2. Следовательно, $f(x)$ возрастает при $x∈ [1;2].$

Рассмотрим случай, когда точка вершины параболы $x0 ≤ 1,$ тогда $a> 0.$ Так как при $x> 1$ парабола возрастает, то минимальное значение на отрезке $[2;3]$ достигается в точке 2 и равно $f(2)=7.$ Если вершина параболы лежит вне отрезка $[0;1],$ , то получаем, что $f(0)=3,$ откуда однозначно определяем параболу $f(x)= −x2+4x +3,$ что противоречит заданному условию $a> 0.$ Если вершина параболы лежит внутри отрезка $[0;1].$ Тогда, при изменении аргумента $1− x0 < 1$ , значение параболы $f(1)− f(x0)$ изменяется на 3, при этом $f(2)− f(1)=1,$ что невозможно.

Теперь рассмотрим случай, когда $x0 ≥ 1,$ отсюда $a< 0.$ Так как парабола возрастает на отрезке $[0;1],$ то получаем $f(0)= 3,$ тогда минимум на отрезке $[2;3]$ будет достигаться на одном из его концов, то есть либо $f(2)= 7,$ либо $f(3)= 7.$ Первый случай мы уже рассматривали, получив $f(x)= −x2+ 4x+ 3,$ здесь такая парабола тоже не подходит, так как $f(2)=7,$ что противоречит условию. Решая систему для второго случая, получим $f(x)=− 56x2+ 236 x +3.$ Осталось проверить, что такая парабола действительно подходит. В самом деле, вершина параболы принадлежит отрезку $[2;3],$ причем минимальное значение на этом отрезке равно $f(3)=7,$ а на отрезках $[0;1]$ и $[1;2]$ парабола возрастает, принимая минимальный значения в $f(0)= 3$ и $f(1)=6$ соответственно.

Ответ:

$− 5x2 + 23x +3 6 6$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#63951

Найдите наименьшее значение функции

∘ --2------- ∘--2------- f(x)= 2x + 2x +13+ 2x + 8x+ 26.

Источники: Миссия выполнима - 2023, 11.7 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Конечно, эту задачу можно решить с помощью производной… Но давайте попробуем найти более красивое решение! Давайте подумаем, нам нужно найти минимальное значение суммы двух корней, а что мы знаем про корни и как тогда можно представить их?

Подсказка 2

Да, корни всегда положительны! Поэтому мы можем представить их как отрезок или же вектор на плоскости! То есть, корень – это длина нашего вектора! В таком случае, каких векторы можно взять(с какими координатами), чтобы длина первого равнялась первому корню, а длина второго равнялась второму корню?

Подсказка 3

Так, длина вектора – это корень из суммы квадратов его координат! Первое подкоренное выражение обращается в ноль при x=-3 и при x=2, а второе при x=1 и при x=-5. Поэтому первый вектор равен (x+3;2-x), а второй вектор: (1-x)(x+5). Что можно сказать про сумму этих векторов?

Подсказа 4

Да, сумма этих векторов равна другому вектору: (4; 7). А длина этого вектора равна √65. Но заметим, что сумма длин исходных векторов не меньше чем длина получившегося вектора! Осталось показать, что минимальное значение достигается и задача решена!

Показать ответ и решение

Рассмотрим векторы

⃗ ⃗ ⃗a= (x +3;2− x),b= (1− x;x+ 5) и⃗s= ⃗a+ b= (4;7)

Так как

∘ -2-------- ⃗ ∘ --2------- |⃗a|= 2x + 2x+ 13, |b|= 2x + 8x +26

то

f(x)= |⃗a|+|⃗b|≥|⃗a+⃗b|= |⃗s|= √65

Равенство $|⃗a|+|⃗b|= |⃗a +⃗b|$ выполняется, когда эти векторы сонаправлены; соответствующие значения $x$ является корнем уравнения $x1+−3x = 2−xx+5$ и равно $− 1311-$ .

Ответ:

$√65$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#96828

Приведите пример квадратного многочлена $f(x)$ и кубического многочлена $g(x)$ таких, что уравнению $f(g(x))= 0$ удовлетворяют числа $±1;±2$ и $± 3.$

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.5 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на то, что наше уравнение — это по сути квадратное уравнение относительно g(x). Как его тогда можно представить?

Подсказка 2

Тогда оно раскладывается в виде произведения двух скобок. Нам нужно сделать так, чтобы при некоторых из указанных шести корней обнулялась первая скобка, а при остальных — вторая. Как их можно распределить?

Подсказка 3

Попробуйте найти такой кубический многочлен, что в точках -3, 1, 2 он принимает одно значение, а в -1, -2, 3 — другое!

Показать ответ и решение

Будем искать такие $f(x)$ и $g(x)$ для которых выполняется

f(g(x))= (g(x)− α)(g(x)− β),

причем, $α= g(−3)=g(1)=g(2)$ , а $β = g(− 2) =g(−1)= g(3),$

где $g(x)= px3+ qx2+ rx +s.$ Система уравнений

{ g(− 3)= g(1) =g(2) g(−2)= g(−1)= g(3)

оказывается недоопределенной и эквивалентна $q = 0$ и $r= −7p.$ Тогда для получения примера функции $g(x)$ достаточно положить $p =1$ и $s= 0.$ В итоге

g(x)=x3+ 0x2− 7x +0,α= −6,β = 6

f(x)=(x+ 6)(x− 6)= x2 − 36

Ответ:

$f(x)= x2 − 36,g(x)= x3− 7x$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#102069

Функция $f$ такова, что для любого действительного числа $x$ выполнено равенство

9f(f(x))= 3f(x)+8x.

Решите уравнение $f(x)= 0.$

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — корень уравнения $f(x)= 0$ , то есть $f(a)= 0$ . Подставим $x =a$ в данное равенство $9f(f(x))= 3f(x)+ 8x$ :

9f(f(a))= 3f(a)+ 8a

8a f(0)= 9

Подставим $x =0$ :

9f(f(0))= 3f(0)

(8a) 8a f -9 = 27-

Подставим $x = 8a9$ :

( ( ) ) ( ) 9f f 8a = 3f 8a + 64a- 9 9 9

f (8a) = 8a- 27 27

Подставим $8a x = 27$ :

( (8a) ) (8a) 64a 9f f 27 = 3f 27 + 27-

98a= 38a+ 64a 27 27 27

Из последнего равенства получаем, что $a =0$ . Таким образом, если уравнение имеет корень, то этот корень может быть только равным нулю. Покажем, что $x= 0$ является корнем исходного уравнения. Пусть $f(0) =b$ . Аналогично предыдущим выкладкам подставим $x =0,x= b,x = b 3$ в данное равенство и получим, что $b= 0$ .

Итак, исходное уравнение имеет единственное решение $x =0$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#74605

Найдите наименьшее значение функции

f(x)=|x|+2|x − 1|+ 3|x− 2|+ ...+ 11|x− 10|

Источники: Миссия выполнима 2018

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим внимательно на функцию f, что можно сказать про неё вне зависимости от того, как раскроются модули?

Подсказка 2

Верно, в любом случае f - линейная функция(просто из соображений того, что у нас нигде нет степени x большей единицы)! В таком случае, что можно сказать про её промежутки монотонности?

Подсказка 3

Да, сначала f убывает, а после этого возрастает! Тогда надо найти промежуток, на котором f убывает, а после этого промежутка возрастает.

Подсказка 4

Заметим, что если 6 < x < 7, то угловой коэффициент нашей прямой будет меньше 0, а если 7 < x < 8, то угловой коэффициент уже больше 0!

Показать ответ и решение

Заметим, что как бы ни раскрывались модули, $f(x)$ будет линейной функцией, которая имеет вид $f(x)= kx+ b, i i$ где коэффициенты зависят от промежутка на числовой прямой. Тогда разобьем числовую прямую на $12$ отрезков: $(−∞;0),(0;1),(1;2),...,(9;10),(10;+∞ ).$ Тогда $ki$ это угловой коэффициент на $i$ -том промежутке.

Заметим, что $− 66≤ k1 <k2 <k3 < ...< k10 < k11 = 66.$ Это значит, что $f(x)$ сначала убывает, а потом возрастает, так как $k8 = 1+ 2+ 3+...+7− 8− ...− 11= −10$ при $x ∈(6;7),$ а $k9 = 1+ 2+3 +...+ 8− 9− 10 − 11= 6$ при $x∈ (7;8).$ Значит, наименьшее значение функции достигается при $x= 7.$ Оно равно $f(7)=146.$

Ответ: 146

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#98021

Найдите наименьшее значение функции $f(x)= |x|+ |x +1|+...+|x+ 2022|.$

Источники: Миссия выполнима 2018

Показать ответ и решение

Разобьем выражение на следующие пары:

(|x|+ |x+2022|)+ (|x+ 1|+ |x +2021|)+ (|x+ 2|+ |x+ 2020|)+...

Рассмотрим первую пару.

|x|+ |x+ 2022|≥ (− x)+(2022+ x)= 2022

Аналогично для всех пар вида

|x +k|+ |x+ 2022 − k|, k≤ 1010

Так как можно оценить как

|x+ k|+ |x +2022− k|≥ (−x− k)+(x+ 2022− k)= 2022− 2k

Тогда исходное выражение принимает минимальное значение, если в каждой паре достигается равенство, а оно достигается при $x =− 1011.$

Следовательно, наименьшее значение равно:

0+ 2+ 4+6 +8+ ...+ 2020+ 2022= 2⋅(0+ 1+ 2+3 +4+ ...+ 1011)= 2⋅ 1011⋅1012= 1023132 2

Ответ: 1023132

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#65460

Функция $f(x)$ такова, что $f(f(x))= x$ и $f(f(x+ 2)+ 2)= x$ для любого $x$ . Найдите $f(2017)$ , если $f(0)= 1$ .

Источники: Миссия выполнима - 2017, 11.6 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как воспользоваться одновременно двумя равенствами из условия? Быть может, попробуем преобразовать одно из них?

Подсказка 2

Возьмите функцию от обеих частей в одном из равенств, чтобы воспользоваться другим.

Подсказка 3

Отлично, теперь мы умеем связывать (x+2) и f(x). Обратите внимание, что мы ещё не воспользовались f(0). Осталось лишь придумать, как же добраться от значения в нуле к значению в 2017, используя полученные равенства ;)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Из равенства $f(x)= f(f(f(x+ 2)+2))=f(x+ 2)+2$ мы получаем формулу $f(x+ 2)= f(x)− 2$ . Кроме того, $f(1)= f(f(0))= 0$ . Но тогда $f(2017)=f(1)− 2 ⋅1008= −2016.$

Второе решение.

Докажем, что для любого целого $n≥ 0$ верно $f(n)=1 − n,$ откуда будет следовать $f(2017)= −2016.$

Шаг индукции: если $f(n)= 1− n,$ то при подстановке $x = n$ в равенство $f(f(x))= x$ получаем $f(1− n)= n$ и при подстановке $x =− n− 1$ в равенство $f(f(x +2)+ 2)= x$ получаем $f(n+ 2) =− n− 1 =1 − (n+ 2).$ Таким образом, переход доказан для всех чисел одинаковой чётности, поэтому нужно проверить выполнение предположения для базы индукции на чётных и на нечётных отдельно.