Тема МВ / Финашка (Миссия выполнима. Твоё признание — финансист)

Функции на МВ (Финашке)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела мв / финашка (миссия выполнима. твоё признание — финансист)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#63951

Найдите наименьшее значение функции

∘ --2------- ∘--2------- f(x)= 2x + 2x +13+ 2x + 8x+ 26.

Источники: Миссия выполнима - 2023, 11.7 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Конечно, эту задачу можно решить с помощью производной… Но давайте попробуем найти более красивое решение! Давайте подумаем, нам нужно найти минимальное значение суммы двух корней, а что мы знаем про корни и как тогда можно представить их?

Подсказка 2

Да, корни всегда положительны! Поэтому мы можем представить их как отрезок или же вектор на плоскости! То есть, корень – это длина нашего вектора! В таком случае, каких векторы можно взять(с какими координатами), чтобы длина первого равнялась первому корню, а длина второго равнялась второму корню?

Подсказка 3

Так, длина вектора – это корень из суммы квадратов его координат! Первое подкоренное выражение обращается в ноль при x=-3 и при x=2, а второе при x=1 и при x=-5. Поэтому первый вектор равен (x+3;2-x), а второй вектор: (1-x)(x+5). Что можно сказать про сумму этих векторов?

Подсказа 4

Да, сумма этих векторов равна другому вектору: (4; 7). А длина этого вектора равна √65. Но заметим, что сумма длин исходных векторов не меньше чем длина получившегося вектора! Осталось показать, что минимальное значение достигается и задача решена!

Показать ответ и решение

Рассмотрим векторы

⃗ ⃗ ⃗a= (x +3;2− x),b= (1− x;x+ 5) и⃗s= ⃗a+ b= (4;7)

Так как

∘ -2-------- ⃗ ∘ --2------- |⃗a|= 2x + 2x+ 13, |b|= 2x + 8x +26

то

f(x)= |⃗a|+|⃗b|≥|⃗a+⃗b|= |⃗s|= √65

Равенство $|⃗a|+|⃗b|= |⃗a +⃗b|$ выполняется, когда эти векторы сонаправлены; соответствующие значения $x$ является корнем уравнения $x1+−3x = 2−xx+5$ и равно $− 1311-$ .

Ответ:

$√65$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#96828

Приведите пример квадратного многочлена $f(x)$ и кубического многочлена $g(x)$ таких, что уравнению $f(g(x))= 0$ удовлетворяют числа $±1;±2$ и $± 3.$

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.5 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на то, что наше уравнение — это по сути квадратное уравнение относительно g(x). Как его тогда можно представить?

Подсказка 2

Тогда оно раскладывается в виде произведения двух скобок. Нам нужно сделать так, чтобы при некоторых из указанных шести корней обнулялась первая скобка, а при остальных — вторая. Как их можно распределить?

Подсказка 3

Попробуйте найти такой кубический многочлен, что в точках -3, 1, 2 он принимает одно значение, а в -1, -2, 3 — другое!

Показать ответ и решение

Будем искать такие $f(x)$ и $g(x)$ для которых выполняется

f(g(x))= (g(x)− α)(g(x)− β),

причем, $α= g(−3)=g(1)=g(2)$ , а $β = g(− 2) =g(−1)= g(3),$

где $g(x)= px3+ qx2+ rx +s.$ Система уравнений

{ g(− 3)= g(1) =g(2) g(−2)= g(−1)= g(3)

оказывается недоопределенной и эквивалентна $q = 0$ и $r= −7p.$ Тогда для получения примера функции $g(x)$ достаточно положить $p =1$ и $s= 0.$ В итоге

g(x)=x3+ 0x2− 7x +0,α= −6,β = 6

f(x)=(x+ 6)(x− 6)= x2 − 36

Ответ:

$f(x)= x2 − 36,g(x)= x3− 7x$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#96830

Найдите множество значений функции $y = log x. 2x−1$

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.7 (см. www.fa.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ функции: $x> 1,x⁄= 1. 2$ Пропотенцируем уравнение $y = log x 2x− 1$ по основанию логарифма: $(2x − 1)y = x$ и, переобозначив $z =2x− 1$ , получим

y 1 z = 2(z+ 1) при z > 0,z ⁄=1.

Выясним, при каких $y$ данное уравнение имеет решение, удовлетворяющее $z > 0,z ⁄=1.$ Сразу исключим два очевидных случая $y ≤0$ и $y ≥ 1.$

Остается рассмотреть вариант $0< y < 1.$ Заметим, что левая часть уравнения $zy$ для указанных степеней $y$ является выпуклой вверх функцией, т.к.

(zy)′′ = y(y− 1)zy−2 < 0.

Это значит, что её график лежит строго ниже любой касательной к нему (кроме точки касания) и для случая, когда правая часть уравнения $1 2(z+ 1)$ является касательной к графику при $1 y = 2$ , уравнение $y 1 z = 2(z+1)$ корней среди $z > 0,z ⁄=1$ не имеет.

Во всех оставшихся случаях $zy$ будет пересекаться с прямой $12(z +1)$ при $z >0,z ⁄=$ $1.$

Действительно, в случае $0 <y < 12$ касательная, проведённая к $zy$ в точке $z =1,$ оказывается в некоторой левой окрестности точки касания выше прямой $12(z+ 1),$ а следовательно, и сам график $zy$ находится выше прямой $12(z+ 1)$ в некоторой (возможно меньшей) левой окрестности точки $z = 1.$ Однако в точке $z = 0$ функция $zy$ обнуляется и её график становится уже ниже прямой $12(z+ 1).$ В силу непрерывности обеих функций строго внутри интервала $(0,1)$ найдётся точка пересечения их графиков.

В случае $12 < y < 1$ будет наблюдаться аналогичная ситуация: в некоторой правой окрестности точки касания $z = 1$ график $zy$ находится выше прямой $12(z+1).$ Однако,

y xl→im+∞ 1-z---= xl→im+∞2zy− 1 =0, 2(z+ 1)

следовательно, рано или поздно график функции $zy$ станет ниже прямой $1(z+1), 2$ и в силу непрерывности обеих функций на луче $(1,+ ∞ )$ найдётся точка пересечения их графиков.

Ответ:

$(0;1 )∪( 1;1) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#74605

Найдите наименьшее значение функции

f(x)=|x|+2|x − 1|+ 3|x− 2|+ ...+ 11|x− 10|

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрим внимательно на функцию f, что можно сказать про неё вне зависимости от того, как раскроются модули?

Подсказка 2

Верно, в любом случае f - линейная функция(просто из соображений того, что у нас нигде нет степени x большей единицы)! В таком случае, что можно сказать про её промежутки монотонности?

Подсказка 3

Да, сначала f убывает, а после этого возрастает! Тогда надо найти промежуток, на котором f убывает, а после этого промежутка возрастает.

Подсказка 4

Заметим, что если 6 < x < 7, то угловой коэффициент нашей прямой будет меньше 0, а если 7 < x < 8, то угловой коэффициент уже больше 0!

Показать ответ и решение

Заметим, что как бы ни раскрывались модули, $f(x)$ будет линейной функцией, которая имеет вид $f(x)= kx+ b, i i$ где коэффициенты зависят от промежутка на числовой прямой. Тогда разобьем числовую прямую на $12$ отрезков: $(−∞;0),(0;1),(1;2),...,(9;10),(10;+∞ ).$ Тогда $ki$ это угловой коэффициент на $i$ -том промежутке.

Заметим, что $− 66≤ k1 <k2 <k3 < ...< k10 < k11 = 66.$ Это значит, что $f(x)$ сначала убывает, а потом возрастает, так как $k8 = 1+ 2+ 3+...+7− 8− ...− 11= −10$ при $x ∈(6;7),$ а $k9 = 1+ 2+3 +...+ 8− 9− 10 − 11= 6$ при $x∈ (7;8).$ Значит, наименьшее значение функции достигается при $x= 7.$ Оно равно $f(7)=146.$

Ответ: 146

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#98021

Найдите наименьшее значение функции $f(x)= |x|+ |x +1|+...+|x+ 2022|.$

Показать ответ и решение

Разобьем выражение на следующие пары:

(|x|+ |x+2022|)+ (|x+ 1|+ |x +2021|)+ (|x+ 2|+ |x+ 2020|)+...

Рассмотрим первую пару.

|x|+ |x+ 2022|≥ (− x)+(2022+ x)= 2022

Аналогично для всех пар вида

|x +k|+ |x+ 2022 − k|, k≤ 1010

Так как можно оценить как

|x+ k|+ |x +2022− k|≥ (−x− k)+(x+ 2022− k)= 2022− 2k

Тогда исходное выражение принимает минимальное значение, если в каждой паре достигается равенство, а оно достигается при $x =− 1011.$

Следовательно, наименьшее значение равно:

0+ 2+ 4+6 +8+ ...+ 2020+ 2022= 2⋅(0+ 1+ 2+3 +4+ ...+ 1011)= 2⋅ 1011⋅1012= 1023132 2

Ответ: 1023132

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#65460

Функция $f(x)$ такова, что $f(f(x))= x$ и $f(f(x+ 2)+ 2)= x$ для любого $x$ . Найдите $f(2017)$ , если $f(0)= 1$ .

Источники: Миссия выполнима - 2017, 11.6 (см. mission.fa.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Из равенства $f(x)= f(f(f(x+ 2)+2))=f(x+ 2)+2$ мы получаем формулу $f(x+ 2)= f(x)− 2$ . Кроме того, $f(1)= f(f(0))= 0$ . Но тогда $f(2017)=f(1)− 2 ⋅1008= −2016.$

Второе решение.

Докажем, что для любого целого $n≥ 0$ верно $f(n)=1 − n,$ откуда будет следовать $f(2017)= −2016.$

Шаг индукции: если $f(n)= 1− n,$ то при подстановке $x = n$ в равенство $f(f(x))= x$ получаем $f(1− n)= n$ и при подстановке $x =− n− 1$ в равенство $f(f(x +2)+ 2)= x$ получаем $f(n+ 2) =− n− 1 =1 − (n+ 2).$ Таким образом, переход доказан для всех чисел одинаковой чётности, поэтому нужно проверить выполнение предположения для базы индукции на чётных и на нечётных отдельно.