.28 Функциональные последовательности. Поточечная и равномерная сходимости.

Это неверно - поточечной сходимости будет недостаточно. Рассмотрим в качестве примера функциональную последовательность

В силу того, что при при , будем иметь, что всюду на отрезке последовательность поточечно сходится к нулевой функции ( умножается на , что не превосходит единицы.)

То есть можно записать, что ( - тождественно нулевая на отрезке функция).

Но при этом

Таким образом, для любого , но для предельной функции (интеграл от нулевой функции равен нулю).

Таким образом, нельзя утверждать, что из поточечной сходимости к на отрезке обязательно следует сходимость интегралов к .