Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Тема Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#84104

Даны высказывания:

A := число x является реш ением неравенства x− 1< 0, 2 B := число x является реш ением неравенства x − 1< 0.

Являются ли эти высказывания эквивалентными? Какое из них является необходимым условием для другого (а какое — достаточным)? Какое из этих неравенств естественно считать следствием другого неравенства?

Показать ответ и решение

Так как неравенство из утверждения $A$ имеет множество решений $(−∞; 1),$ а неравенство из утверждения $B$ имеет множество решений $(−1;1),$ и эти множества не совпадают, то неравенства не эквивалентны.

Так как $(−1;1)⊂ (−∞;1),$ то из $B$ следует $A$ (то есть для любого $x,$ удовлетворяющего $B,$ верно $A;$ заметим, что наоборот это неверно).

Ответ:

неэквивалентны, из $B$ следует $A.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#84105

Даны три утверждения:

(a) уравнение $x +x1= a$ не имеет корней;

(b) справедливо равенство $√--------- a2− 4a+ 4= 2− a;$

При каких $a$ два из утверждений (a)–(c) истинны, а одно ложно?

Показать ответ и решение

Найдём сначала подходящие значения $a$ для каждого утверждения по отдельности.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(a) Пусть $x ⁄=0,$ тогда

x2− ax +1 =0

Заметим, что $x= 0$ точно не является корнем данного уравнения, поэтому проверка после нахождения корней не нужна. Квадратное уравнение не имеет корней, когда дискриминант отрицателен, тогда

D = a2 − 4< 0

a∈(−2;2)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(b) Выделим полный квадрат в подкоренной выражении

∘ ------ (a− 2)2 =2 − a

|a− 2|= 2− a

Значит, нужно, чтобы модуль либо был равен 0, либо раскрылся со знаком минус. Это происходит в случае

a− 2≤ 0

a ∈(−∞;2]

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(c) Заметим, что $(−y)2 = y2$ и $sin2(−y)= sin2(y).$ Значит, если $(x0,y0)$ является решением данной системы, тогда $(x0,−y0)$ тоже является решением. Следовательно, чтобы решение было единственно, то данные решения должны совпадать, а это возможно только, когда $y0 = 0.$ Подставим это значение в исходную систему

{ x= a =⇒ a= −3 x= −3

Теперь мы поняли, что все $a,$ кроме $a= −3,$ нам не подходят. Осталось сделать проверку для $a= −3.$

{ x+y2 = −3 x− sin2y =− 3

{ 2 x+ 3= −y2 x+ 3= sin y

Из первого уравнения видно, что $x+ 3≤ 0,$ а из второго видно, что $x +3 ≥0.$ Следовательно, $x =−3.$ Подставив $x$ в систему, получим $y = 0.$ Значит, $(3,0)$ будет единственным решением, т.е. $a= −3$ подходит.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теперь отметим на числовой прямой, когда верно каждое из утверждений.

$PIC$

Видно, что под условия задачи подходят $a∈ {− 3} ∪(−2;2).$

Ответ:

${−3}∪ (− 2;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#84106

Найдите все пары $(a,b)$ такие, что любая пара $(x,y)$ , удовлетворяющая уравнению

x y = a,

удовлетворяет уравнению

(x+y)2 = b.

Показать ответ и решение

Исходя из условий, нам нужно подобрать такие $(a,b),$ чтобы

x 2 y = a =⇒ (x +y) = b

Значит, при подходящих $(a,b)$ второе равенство в частности должно быть верно для точек $(a,1)$ и $(2a,2),$ т.к. они удовлетворяют первому равенству, подставив их, получим систему

{ (a+ 1)2 = b (2a+ 2)2 = b

{ 2 (a+ 1)=2 b 4(a+ 1) = b

Следовательно,

4b= b ⇐ ⇒ b =0

Подставив значение $b$ в первое уравнение системы, получим

(a+ 1)2 = 0

a= −1

Мы показали, что если ситуация, описанная в задаче, и возможна, то только для $a= −1,b= 0.$ Проверим

x 2 y =− 1 =⇒ (x+ y) =0

Подходит. Значит, $(− 1,0)$ — ответ.

Ответ:

$(−1,0)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#84107

Найдите все значения $a$ , при которых истинно утверждение:

(a) для того, чтобы выполнялось неравенство $x2− 7x+ 6< 0$ , необходимо, чтобы выполнялось неравенство $|x− 3|<a$ ;

(b) для того, чтобы выполнялось неравенство $x2− 4x≤ 0$ , достаточно, чтобы выполнялось неравенство $x2− (2a +1)x+ a2 +a <0$ .

Показать ответ и решение

(a) Заметим, что $x2 − 7x+ 6= (x − 1)(x − 6),$ поэтому решения неравенства $x2 − 7x+ 6< 0$ — это $x∈ (1;6).$ Тогда $|x− 3|< a$ является необходимым условием, если его множество решений содержит $(1;6)$ (иначе найдутся такие $x,$ что неравенство $|x− 3|<a$ неверно, а условие $2 x − 7x+ 6< 0$ верно). Ясно, что $a> 0,$ иначе $|x− 3|< a$ не имеет решений. Возведем неравенство в квадрат:

(x − 3)2 < a2

Перенесем $a2$ влево и разложим по разности квадратов:

(x− 3− a)(x− 3+a)< 0

Тогда решения этого неравенства — это $x∈ (3− a;3+a),$ так как $a> 0.$ Так как это множество должно содержать $(1;6),$ то получаем систему неравенств:

{ 3 − a≤ 13+ a≥ 6

Решаем оба неравенства

{ a≥ 2a≥ 3

Решения этой системы: $a ∈[3;+ ∞)$

(b) Так как $2 x − 4x= x(x − 4),$ то неравенство $2 x − 4x≤ 0$ имеет множество решений $[0;4].$

Условие $2 2 x − (2a+ 1)x+a + a< 0$ является достаточным для $2 x − 4x≤ 0,$ если его множество решений содержится в множестве $[0;4].$

Заметим, что

x2− (2a +1)x+ a2 +a =x2− (a+(a+ 1))x+ a(a +1)

Тогда по теореме Виета корни этого квадратного трехчлена $x1 = a$ и $x2 =a +1.$ Тогда решения неравенства $2 2 x − (2a+ 1)x+a + a< 0$ — это $x∈ (a;a+ 1).$ Так как это множество должно содержаться в $[0;4]$ имеем систему

{ a≥ 0a+1 ≤4

Тогда получаем $0≤ a≤ 3,$ то есть $a ∈[0;3].$

Ответ:

(a) $a∈ [3;+∞ );$

(b) $a∈[0;3].$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#84109

При каких $a$ уравнение

7 2 2sin x= (1 +sinπa)sinx +asinx

равносильно уравнению

( 2 ) 6 2 3 (a− 1) 1+ cos x + 2sin x= 2sin x+ 2(a− 1)?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно, чтобы все корни одного уравнения являлись и корнями другого. Можем ли мы сразу сказать, какой х точно должен быть корнем обоих уравнений?

Подсказка 2

Так как х = 0 – корень первого уравнения, то он должен быть и корнем второго, определим, при каких значениях а это будет верно. Таким образом мы нашли кандидатов, остается только проверить каждый из них

Показать ответ и решение

Заметим, что $x= 0$ является корнем первого уравнения, следовательно, при нужных значениях $a$ он будет корнем и второго уравнения. Подставив $x= 0$ во второе уравнение, получим

3 (a− 1)(1+ 1)+0= 0+ 2(a − 1)

3 (a− 1)= (a− 1)

⌊ a= 1 |⌈ a= 0 a= 2

Значит, если ситуация, описанная в задаче, и возможна, то только для данных значений $a.$ Сделаем проверку, подставив их.

Пусть $a= 1,$ тогда первое уравнение примет вид

2sin7x = sinx+ sin2x

А второе —

2sin6x = 2sin2x

Заметим, что $π x= − 2$ удовлетворяет второму уравнению. Проверим, удовлетворяет ли он первому

2⋅(−1)7 = −1+ (−1)2

−2= 0

$x= − π 2$ не является корнем первого, поэтому данное $a$ нам не подходит.

Пусть $a= 0,$ тогда первое уравнение примет вид

2sin7x =sinx

А второе —

2 6 2 −1− cos x+ 2sin x =2sin x − 2

2sin6x= 1+ sin2x− 2+1

2sin6x= sin2x

Заметим, что $4∘-1 sinx = 2$ удовлетворяет второму уравнению. Проверим, удовлетворяет ли он первому

( ∘--)7 ∘ -- 2 4 1 = 4 1 2 2

(∘ -)3 ∘ -- 4 1 = 41 2 2

$∘41- sinx= 2$ не является решением первого, поэтому данное $a$ нам не подходит.

Пусть $a= 2,$ тогда первое уравнение примет вид

7 2 2sin x= sinx +2sin x

А второе —

1+cos2 x+2sin6 x= 2sin2x+ 2

2sin6x= 2sin2x +1− cos2x

2sin6x = 3sin2x

При $sin x⁄= 0$ во втором уравнении можно поделить левую и правую часть на $sin2x,$ получим

4 2 sin x= 3

Но $sin x∈ [−1;1],$ поэтому левая часть не более 2, значит, она никак не может быть равна 3. Из этого понимаем, что решений, кроме $sinx= 0,$ быть не может.

Теперь рассмотрим первое уравнение. Докажем, что у него есть решение, отличное от $sinx= 0.$ При $sinx⁄= 0$ поделим левую и правую часть на $sin x$

2sin6x = 1+2sinx

Сделаем замену $sin x= t,$ где $t∈ [−1;1],$

2t6− 2t− 1 =0

Рассмотрим правую часть как функцию

f(t)= 2t6− 2t− 1

Она непрерывна, при этом $f(− 1) =2+ 2− 1= 3> 0$ и $f(0)= −1< 0,$ значит, на интервале $(−1,0)$ есть корень данной функции. Что и требовалось доказать.

Ответ: ни при каких

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#84369

Найти все значения параметра $a$ , при каждом из которых из неравенства

2 x +a ≤0

следует неравенство

(x+ 2a)⋅√3-− x≤ 0

Показать ответ и решение

Первое решение.

Поймём, что данное следствие реализуется, если множество решений первого неравенства полностью содержится в множестве решений второго. Посмотрим, как выглядят эти множества решений.

Решим второе неравенство

√---- (x+ 2a)⋅ 3 − x≤ 0

⌊ 3 − x =0 || ( |⌈ { 3− x> 0 ( x+ 2a ≤0

⌊ x =3 ||| ({ ⌈ x< 3 ( x≤ −2a

x ∈{3}∪(−∞, min(3,−2a)]

Теперь рассмотрим решение первого неравенства в зависимости от $a$

x2 ≤− a

При $a> 0: x∈ ∅.$ Видно, что

∅ ∈{3}∪(−∞, −2a]

Значит, $a> 0$ подходят.

При $a= 0: x= 0.$ Видно, что

{0}∈ {3} ∪(−∞,0]

Значит, $a= 0$ подходит.

При $[ √---√--] a< 0: x∈ − −a, −a .$ Посмотрим как должны располагаться множества на числовой прямой

$PIC$

Из этого понимаем, что нужные $a$ будут удовлетворять условию

√ --- −a≤ min(3,−2a)

( { √−a-≤3 ( √--- −a ≤− 2a

Решаем систему с учётом, что $a< 0,$ получаем

({ a ≥− 9 1 ( a ≤− 4

В итоге, объединив все случаи, получаем $a∈ [−9,−0,25]∪[0,+ ∞).$ _____________________________________________

Второе решение.

Введем плоскость $xOa$ . В ней решением неравенства при конкретном $a$ будет пересечение прямой $a= a0$ с областью, которая задается неравенством. То, что одно уравнение является следствием другого, означает, что пересечение прямой $a =a0$ с множеством, задаваемым вторым неравенством, будет полностью содержать в себе пересечение прямой $a =a0$ с множеством, задаваемым первым неравенством.

Неравенство $2 x + a≤ 0$ задает область "под параболой" $2 a =− x$ .

Неравенство $√ ---- (x+ 2a) 3− x ≤0$ представим в виде равносильной совокупности:

⌊ |( 3− x= 0 ||⌈{ 3− x >0 ( x+ 2a ≤0

Эта система на плоскости представляет собой вертикальную прямую $x= 3$ и область, лежащую "ниже"прямой $a= − x2$ и "левее"c $x = 3:$

$PIC$

Теперь проанализируем решения неравенств при каждом $a$ .

1 случай.) $a> 0$ .

При таких значениях $a$ первое неравенство не имеет решений. Значит, любое другое неравенство будет его следствием.

2 случай.) $a= 0$ .

Решением первого неравенство будет ${0}$ , а решением второго $(−∞;0]$ . Т.е. второе неравенство является следствием первого.

3 случай.) $0> a> −0.25$ .

Как мы видим из рисунка, существуют точки "внутри"параболы, которые не принадлежат области второго неравенства. Т.е. второе неравенство не будет следствием первого.

4 случай.) $− 0.25≥ a≥ −9$ .

При таких значениях $a$ все решения первого неравенство лежат внутри множества решений второго. Т.е. второе неравенство —- следствие первого.

5 случай.) $− 9> a$ .

При таких значеиях $a$ среди решений первого неравенства есть решения $> 3$ . Но у второго неравенства таких решений быть не может. Т.е. второе неравенство не является следствием первого.

Итого получаем $a∈ [− 9;−0.25]∪[0;+ ∞)$

Ответ:

$[−9;− 0,25]∪[0;+∞ )$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31914

При каких $a$ из неравенства $2x+ a< 2$ следует неравенство $x< −2$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте о том, что значит фраза, что из одного неравенства следует другое?

Подсказка 2

Показать ответ и решение

По определению, неравенство Б является следствием неравенства А (или из неравенства А следует неравенство Б), если каждое решение неравенства А является также решением неравенства Б; иными словами, множество решений неравенства А содержится в множестве решений неравенства Б. По условию из $2−a x < 2$ следует $x< −2$ , тогда должно быть $2−a 2 ≤−2$ , так что $a ≥6$ . Случай равенства подходит, потому что тогда неравенства будут эквивалентны, так что естественно каждое из них является следствием другого.

Ответ:

$[6;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31915

При каких $a$ неравенства $2x +a <3$ и $x − 4a< −1$ равносильны?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неравенства называются равносильными тогда, когда множества их решений совпадают. Найдите множество решений каждого из неравенств!

Подсказка 2

Множества решений неравенств должны совпадать. Найдите такие а, при которых это выполнимо!

Показать ответ и решение

Напомним, что два неравенства называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Иными словами, равносильные неравенства являются следствиями друг друга. По условию $3−-a x < 2 ⇐⇒ x < 4a − 1$ , тогда $3−a 2 = 4a− 1$ , так что $a =5∕9$ .

Ответ:

$5∕9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31916

При каких значениях $a$ система

{ x+ ay = 2; 3x− 2y =6

имеет бесконечное множество решений?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда у нас у системы из двух линейных уравнений получается бесконечное число решений?

Подсказка 2

Да, когда одно из двух уравнений получается из второго умножением на какое-то число. У нас известны числовые коэффициенты перед х в обоих уравнениях, а значит, мы можем определить, на какое число нужно домножить уравнение!

Показать ответ и решение

Решений будет бесконечное число, если второе уравнение получается умножением первого на $3$ , то есть при $a =− 2∕3$ . Если же это не так, то в комбинации $3⋅(1)− (2)$ останется ненулевой коэффициент только перед $y$ , то есть $y = 0$ , а $x$ определяется однозначно, так что решение всего одно.

Ответ:

$− 2∕3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#31917

Найдите все значения $a$ , при которых для того, чтобы выполнялось неравенство $x2− 7x +6 <0$ , необходимо, чтобы выполнялось неравенство $|x− 3|<a.$

Подсказки к задаче

Пояснение

1. для (1) достаточно (2) означает, что из (2) следует (1)

Подсказка 1

Найдите множество решений каждого из неравенств! Множество решений второго уравнения будет зависеть от а, не пугайтесь, это нормально! И подумайте о том, что значит необходимость выполнения второго неравенства

Подсказка 2

Необходимость выполнения второго означает, что для всех решений первого неравенства второе точно выполнено (то же самое, что если второе не выполнено, то и первое не выполнено, это и означает, что второе неравенство необходимо для первого). Что тогда можно сказать про решения второго неравенства?

Подсказка 3

Верно, решения второго неравенства должны полностью покрывать множество решений первого неравенства. Осталось лишь найти такие значения а, при которых это достигается!

Показать ответ и решение

Решением первого неравенства является $x∈ (1,6)$ . Необходимость выполнения второго означает, что для всех решений первого неравенства второе точно выполнено (то же самое, что если второе не выполнено, то и первое не выполнено, это и означает, что второе неравенство необходимо для первого). Тогда решения второго неравенства должны полностью покрывать множество решений первого неравенства. У второго неравенства решением является либо точка при $a= 0$ , либо интервал $(3− a;3+a)$ при $a> 0$ , так что имеем условия $6≤ 3+ a$ и $3− a≤ 1$ , пересекая которые, получаем ответ: $a ≥3$ .

Ответ:

$[3,+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#31918

При каких значениях параметра $b$ уравнение

4 2 √ - √ - 2 √- bx +b + (2 + 2)b+ 2 2= b(b+ 2)+4x

имеет бесконечно много корней?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как должно выглядеть линейное уравнение, чтобы у него было бесконечно много решений?

Подсказка 2

Верно! Оно должно сводиться к виду 0х = 0. Найдите значения параметра, при которых это выполнимо!

Показать ответ и решение

Перед нами линейное уравнение относительно $x$ . У него бесконечно много корней тогда и только тогда, когда оно выглядит, как $0⋅x= 0$ , то есть

{ b4− 4= 0 2 √- √ - 2 √ - b + (2+ 2)b+2 2− b (b+ 2)= 0

{ b= ±√2 (b− 2)(b+ 1)(b+ √2)=0

b= −√2-

Ответ:

$− √2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#32516

При каких $a$ и $b$ каждое решение уравнения $(x+y)2 = a x−y$ удовлетворяет уравнению $x= b y$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первую очередь хочется подумать об ОДЗ, так как в обоих уравнениях есть знаменатели. Подойдёт ли нам пара (x, y), являющаяся решением первого уравнения, которая не входит в ОДЗ второго уравнения?

Подсказка 2

Нет, не подойдёт, потому что тогда не все решения первого уравнения являются решениями второго. Тогда рассмотрим отдельно случай y = 0, который не входит в ОДЗ второго уравнения, чтобы найти заведомо не подходящие значения a.

Подсказка 3

Теперь попробуем понять, что вообще нужно. Пусть у первого уравнения есть решения. Много ли вообще их может быть? Можно заметить, что и в числителе, и в знаменателе во все слагаемые переменные входят в первой степени, это напоминает однородные уравнения. С помощью этого замечания понимаем, что если (x, y) - решение, то (xt, yt) - тоже решение при ненулевом t. Тогда взяв t = 1/y, получим решение (x/y, 1). Что тогда можно заметить?

Подсказка 4

Что если относительно x/y у первого уравнения есть решение, то оно должно быть единственное, которое как раз и будет равняться b. В противном случае хотя бы одно из решений относительно x/y не будет равняться b. Тогда рассмотрим случай a ≥ 0 и поймём, когда уравнение имеет одно решение.

Подсказка 5

Осталось рассмотреть случай a < 0. Но при отрицательных значениях а первое уравнение из условия не имеет решений. Подходит ли этот случай, то есть содержатся ли элементы пустого множества решений в множестве решений второго уравнения? Осталось объединить все случаи и записать ответ!

Показать ответ и решение

Если $a <0$ , то решений у первого уравнения нет, поэтому каждое решение удовлетворяет второму уравнению при любом $b$ (про элементы пустого множества можно утверждать всё, что угодно, ведь их нет. Это пример того, что импликация из неверной предпосылки всегда истинна).

Если $a= 1,$ то у первого уравнения есть решение $x= 1,y =0$ , которое не удовлетворяет второму уравнению из-за того, что знаменатель обращается в ноль. Это значение параметра не подходит.

Теперь рассмотрим $a⁄= 1$ . Тогда $x +y ⁄=x − y ⇐⇒ y ⁄= 0$ . Ещё $x+ y ⁄= −(x − y) ⇐⇒ x⁄= 0$ . С учётом $y ⁄=0$ :

x +y 2y 2 x-− y =1 +x-− y = 1+ x−-1 y

Если $a= 0$ , то первое уравнение равносильно $y = −x⁄= 0,$ так что любое его решение удовлетворяет $xy = b$ при $b=− 1$ и только при нём.

Если $a> 0,a ⁄=1$ , то первое уравнение равносильно

1+ --2--=± √a ⇐⇒ x =1 + -√2---- xy − 1 y ± a− 1

Таким образом, при рассматриваемых значениях $a$ мы уже не сможем подобрать такое $b = xy$ , чтобы ему удовлетворяли все решения, ведь при каждом $a∈(0;+∞ )∖{1}$ получаются два различных значения для $b.$

Ответ:

$(a< 0,b ∈ℝ) или (a =0,b= −1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#32518

При каких значениях параметра $a$ уравнения

2 sin3x= asinx +(4− 2|a|)sin x

sin3x+ cos2x= 1+ 2sinxcos2x

равносильны?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Условие на равносильность подразумевает, что если число является корнем одного, то оно является корнем другого. В первом уравнении есть параметр, а во втором его нет, поэтому имеет смысл начать решение именно с него. sin(3x), как и cos(2x), можно выразить через sin(x), попробуем сделать это и дорешать полученное второе уравнение.

Подсказка 2

Итак, получили sin(x) = 0 или sin(x) = 1/2. С учётом условия, можем подставить эти корни в первое уравнение, чтобы найти необходимое условие на параметр a, то есть найдём все a, которые могли бы подойти, другие точно не подойдут.

Подсказка 3

Подставив sin(x) = 1/2 получим условие |a| = a, то есть a ≥ 0. Значит, отрицательные a не подходят. Тогда можем раскрыть модуль и работать с полученным уравнением. Выразив sin(3x) через sin(x), останется многочлен от sin(x) третьей степени, однако два корня уже знаем: это 0 и 1/2. Тогда найдём третий корень.

Подсказка 4

Получаем третье условие: sin(x) = (a - 3)/2. Вспоминаем, что нам вообще нужно: корни второго подходят под первое уравнение, значит, осталось проверить только то, что корни первого подходят под второе. А значит, нужно найти такие a, при которых третье условие на синус либо совпадает с условиями из второго уравнения, либо даёт пустое множество иксов (а это равносильно тому, что (a - 3)/2 не попадает в область значений синуса).

Показать ответ и решение

Преобразуем второе уравнение

3 2 3 2 1 3sinx − 4sin x +1− 2sin x =1+ 2sinx − 4sin x ⇐⇒ sinx = 2sin x⇐⇒ sinx= 0,sin x= 2

Заметим, что с учётом $3 sin3x =3sinx− 4sin x$ первое уравнение является условием на многочлен от $sinx$ вида

4sin3x+ (4− 2|a|)sin2x+ (a − 3)sinx =0

Одним корнем будет $sinx= 0$ , а другим, лежащим на промежутке $[−1,1]$ должен быть $1 sinx= 2$ , то есть

1 1 a− 3 2 +(4− 2|a|)⋅4 + -2--= 0⇐⇒ 1+ 2− |a|+ a− 3 =0 ⇐⇒ a≥ 0

То есть мы можем вынести $( ) sinx sinx − 12$ и получить

( 1) sinx sin x− 2 (4sinx − 2a+ 6)=0

Последним решением будет $sinx = a−23$ , возможны два случая

Этот корень лежит на отрезке $[−1,1]$ , тогда он должен совпадать с $0$ или $12$ , откуда $a= 3$ или $a =4$ .
Корень лежит вне отрезка, то есть $a−23> 1⇐ ⇒ a> 5$ или $a−32-< −1⇐⇒ a < 1$ .

Ответ:

$[0;1)∪{3;4}∪(5;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#43120

Найдите все значения $x$ , каждое из которых хотя бы при одном значении параметра $a$ удовлетворяет неравенству

x− (3+ 21−a2) ------------≥ 0. x2− 7x+ 6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте лучше попробуем найти дополнение этих х. То есть такие точки, для которых при всех а это неравенство меньше 0.

Показать ответ и решение

Вместо этого будем искать такие $x$ , что при всех значениях $a$ неравенство не выполнено, то есть дробь отрицательна. Достаточно рассматривать значения выражение $1−a2 t=3 +2 ∈(3,5]$ , то есть при любом $t∈ (3,5]$ верно

x − t (x−-1)(x−-6) <0

Если знаменатель отрицателен, то есть $x ∈(1,6)$ , тогда числитель должен быть положителен (при любом $t$ ) и $x > 5$ . Если же знаменатель положителен, то из числителя $x≤ 3$ , то есть решения будут $x∈ (−∞,1)$ . Объединяя результаты, имеем $x∈ (− ∞,1)∪(5,6)$ , только при таких $x$ решений нет для любых значений параметра $a$ , то есть решения найдутся при $x ∈(1,5]∪(6,+∞ )$ (не забываем ОДЗ).

Ответ:

$(1,5]∪(6,+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#78773

Найдите все значения $a$ , при которых система уравнений

({ y− 1= a(x − 1); --2x- √ - ( |y|+ y = x

имеет хотя бы одно решение, и решите ее при каждом $a$ .

Источники: ШВБ-2017, 11.5 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте с самого начала попробуем разобраться с модулем. Можем ли мы раскрыть его с отрицательным знаком?

Показать ответ и решение

Если $y ≤0,$ то $|y|+ y = 0,$ что нарушает ОДЗ второго уравнения системы. Значит, $y >0,$ и система принимает вид:

{ y− 1= a(x − 1), x= y√x

Рассмотрим случаи.

(a) Если $x= 0,$ то $y = 1− a,$ отсюда $a< 1.$

(b) Если $x> 0,$ тогда система принимает вид:

{ y = √x, √x− 1= a(√x-− 1)(√x+ 1)

Разберём варианты последнего уравнения системы:

$(b.1)$ Если $√x-− 1 =0$ тогда $x = 1, y = 1, a∈ ℝ.$

$(b.2)$ Если $√x-− 1 ⁄=0$ тогда сократим на $(√x− 1)$ и получим:

a(√x+ 1)= 1⇒ √x = 1− 1= 1−-a> 0⇒ 0 <a <1. a a

Найденное решение $(1−a)2 1−-a x= a , y = a$ совпадает с предыдущим, если $1−a 1 a = 1⇒ a= 2.$ Итак, при $( 1) (1 ) a ∈ 0;2 ∪ 2;1$ решения имеют вид $(1−a)2 1−a x= a , y = a .$

$PIC$

Ответ:

При $a∈ (− ∞;0]∪{1} (x;y)∈{(0;1− a),(1;1)} 2$

При $( ) ( ) (( ) ) a∈ 0;1 ∪ 1;1 (x;y)∈ {(0;1− a),(1;1), 1−-a 2;1−-a } 2 2 a a$

При $a∈ [1;+∞ ) (x;y)= (1;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#100459

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых ровно одно из следующих двух утверждений является истинным:

1) “Уравнение $cos(cosx)+ sin(sinx)= a$ имеет ровно два корня на отрезке $[0;π]$ ”;

2) “Уравнение $4 4 sin x+ cos x+ sin2x= a$ имеет корни.”

Показать ответ и решение

1) Функция $f(x)= cos(cosx)+sin(sinx)$ возрастает на промежутке от 0 до $π 2$ (каждое из слагаемых монотонно возрастающая функция) и убывает на промежутке от $π 2$ до $π$ (так как $f(π− x)= f(x)$ ). Поэтому

E (f)= [f(0);f(π∕2)]= [cos1;1+ sin1]

Данное уравнение имеет ровно два корня на отрезке $[0;π]$ при $a∈$ $[cos1;1+ sin1)$ .

2) Во втором уравнении используем замену $t=sin 2x$ :

( 2 2 )2 2 2 sin x+ cos x − 2 sin xcos x+ sin2x= a

t2 1 − 2 + t= a

2 t − 2t− 2= −2a

Область значений функции $g(t)=t2− 2t− 2= (t− 1)2− 3$ на отрезке $[−1;1]$ есть множество

E(g)= [g(1);g(−1)]=[−3;1]

Данное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда

−2a∈ [−3;1]

[ 1 3] a∈ −2;2

3) Поскольку

1+ sin1 >1+ sin π= 3, 6 2

то ровно одно из данных утверждений 1 ), 2) является истинным при

[ 1 ) (3 ) a∈ − 2;cos1 ∪ 2;1+ sin1

Ответ:

$[− 1;cos1)∪ (3;1+ sin1) 2 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#80573

Найдите все значения $a> 0$ , при каждом из которых из неравенства

2 2 x + y ≤ a

следует неравенство

(|x|+ 3)(|y|+ 3)≤25.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если мы хотим, чтобы из первого неравенства следовало второе, то нам было бы хорошо построить цепочку неравенств, где второе выражение оценивается сверху первым. Тогда мы сможем как-то связать между собой 25 и a.

Подсказка 2

В каком известном неравенстве присуствуют квадраты чисел? Как добиться того, чтобы в нём появились модули?

Подсказка 3

Воспользуйтесь неравенством между средними арифметическим и геометрическим! Тогда нам нужно, чтобь в одной из его частей извлекался корень из квадрата!

Подсказка 4

Раскройте скобки во втором выражении и попробуйте при помощи неравенства о средних оценить сверху 4|x| (аналогично с y). Тогда мы получим оценку сверху на a! Не забудьте показать, почему другие a не подходят ;)

Показать ответ и решение