Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Квадратные трёхчлены и многочлены (в т.ч. с параметрами) на ДВИ

Тема ДВИ по математике в МГУ

Квадратные трёхчлены и многочлены (в т.ч. с параметрами) на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91980

Число $x 0$ является общим корнем многочленов

3 2 3 2 3 2 x +ax + bx+ c,x + bx + cx+ a,x + cx +ax+ b.

Найдите все возможные значения $x0$ , если известно, что $a >b> c.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сделаем преобразования, чтобы уменьшить степень уравнений: если мы вычтем из друг друга уравнения, число х₀ также будет корнем полученных в результате квадратных уравнений.

Подсказка 2

А можно ли ещё уменьшить степень, чтобы у нас появилось линейное уравнение с корнем х₀?

Подсказка 3

Можно, если подобрать удачные коэффициенты, на которые мы предварительно умножим имеющиеся квадратные уравнения! Вычтем их одно из другого.

Подсказка 4

Отсюда отлично можно выразить х, надо только проверить, не будет ли коэффициент при х равным 0? Неравенство о средних поможет нам его оценить.

Подсказка 5

Итак, осталось лишь подобрать числовые значения а, b и с, чтобы удостовериться, что такая конфигурация выполняется и найденный х₀ действительно является корнем всех трёх исходных уравнений.

Показать ответ и решение

По условию $x 0$ — решение системы

(| x3+ ax2+ bx +c= 0 { x3+ bx2+cx+ a= 0 |( 3 2 x + cx +ax +b= 0

Вычтем из первого уравнения второе, тогда получим $(a− b)x2+ (b− c)x+ (c− a)= 0.$ Из второго вычтем третье: $(b− c)x2+ (c− a)x +(a− b)= 0.$ Многочлены в левых частях этих уравнений не являются тождественными нулями, поскольку $a> b> c.$ И $x0$ — общий корень этих квадратных уравнений, поскольку каждое из этих уравнений — разность двух уравнений с общим корнем $x0.$ Заметим, что теперь максимальная степень в уравнениях равна $2.$ Попробуем ее уменьшить еще раз. Для этого первое из полученных уравнений умножим на $b− c$ и вычтем из него второе полученное уравнение, умноженное на $a− b.$ Тогда получится

2 2 (b− c)((a− b)x + (b− c)x+(c− a))− (a− b)((b− c)x + (c− a)x +(a− b))= 0

После раскрытия скобок, группировки слагаемых с $x$ в одной стороне и слагаемых без $x$ — в другой получаем следующее:

2 2 2 2 2 2 (a + b+ c − bc− ab− ca)x= a +b + c − bc− ab− ca

Заметим, что $x0$ является корнем и этого уравнения.

Докажем, что коэффициент перед $x$ не равен нулю. По неравенству о средних $a2+b2≥ ab, 2$ $b2+c2≥ bc, 2$ $c2+a2≥ ca. 2$ Сложим все три неравенства и получим, что $a2+ b2+ c2 ≥ bc+ ab+ ca,$ то есть $a2+ b2+c2− bc− ab− ca≥ 0.$ Поскольку оценка получена с помощью неравенства о средних, то равенство возможно тогда и только тогда, когда $a= b= c.$ По условию $a> b> c,$ поэтому случай равенства невозможен. Таким образом, полученное уравнение можно разделить на коэффициент при $x,$ откуда $x= 1,$ что означает $x = 1. 0$

Мы доказали, что если эти три уравнения имеют общий корень, то этот корень равен $1.$ Осталось привести пример подходящих $a,$ $b$ и $c.$ Для этого подставим $x =1$ в исходную систему. Тогда мы получим три одинаковых уравнения вида $1+a +b+ c= 0.$ Подходят, например, $a =1,b= 0,c= −2.$

Ответ: 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#92262

Многочлен $f(x)$ второй степени имеет действительные коэффициенты. Попарно различные действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют условиям

f(a)= bc,f(b)= ca,f(c)=ab.

Найдите все возможные значения выражения

f(a)+-f(b)+-f(c) f(a+ b+c)

при условии, что $f(a +b+ c) ⁄=0$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте запишем f(x) в явном виде. f(x) = dx² + ex + f, где d - ненулевой коэффициент! Теперь нужно как-то использовать условие на связь a, b, c.

Подсказка 2

Составим систему из 3х уравнений. Мы бы очень хотели восстановить все коэффициенты многочлена f(x). Что можно сделать?

Подсказка 3

Может помочь вычитание уравнений! Например, вычтем из второго первое и из третьего первое. В итоге красиво собираются коэффициенты: перед d — разность квадратов, перед e — разность этих же чисел, справа — число, помноженное на эту же разность!

Подсказка 4

Если расписать разность квадратов, то у каждого из слагаемых уравнения будет общий множитель ;) Поскольку a,b,c - различные, то мы без проблем можем обе части уравнения поделить на этот множитель!

Подсказка 5

В итоге получили систему из двух линейных уравнений относительно d и e. Можем решить ее аналогичным вычитанием!

Подсказка 6

После того, как нашли d и e, можем найти f путем подстановки известных коэффициентов в любое уравнение исходной системы.

Подсказка 7

Коэффициенты f(x) восстановлены! Теперь остается аккуратно подставить значения функции в выражение [f(a)+f(b)+f(c)]/f(a+b+c)

Показать ответ и решение

Пусть многочлен $f(x)$ имеет вид $dx2+ ex +f.$ Тогда выпишем условия:

( a2d +ae+ f = bc |{ 2 |( bd2+ be+ f = ca cd+ ce+ f = ab

Вычтем из второго уравнения первое, из третьего вычтем первое:

{ (b2− a2)d+ (b− a)e= c(a− b) (c2− b2)d+ (c − b)e =a(b− c)

Так как по условию все числа попарно различны, то получаем

{ (a +b)d+e =− c (c+ b)d +e= −a

Вычитая из верхнего нижнее:

(a− c)d= a− c, d= 1

Тогда

e= −a − b− c

f =bc− a(− a− b− c)− a2 = ab+ bc+ ac

Наконец, вычислим искомое

f(a)+f(b)+f(c) --f(a+-b+c)-- =

= -------2-----bc+-ca-+ab--------------= (a +b+ c)− (a+b+ c)(a+ b+ c)+ ab+bc+ ca

ab-+bc+-ca- = ab +bc+ ca =1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#92366

Многочлен $f(x)= x4− 12x3 +ax2+ bx +81$ с действительными $a$ и $b$ допускает разложение

f(x)=(x− c1)(x− c2)(x− c3)(x− c4)

с некоторыми положительными $c1,c2,c3,c4$ . Найдите все возможные значения $f(5)$ .

Показать ответ и решение

Замечание. В оригинальном условии на экзамене была опечатка, которая делала задачу некорректной. Решение приведено для нового условия, которое дано на сайте.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

По обобщенной теореме Виета получаем $c1+ c2 +c3+ c4 =12$ и $c1c2c3c4 = 81.$ Тогда получаем, что

c1 +c2+ c3+ c4 √ ------ -----4------= 4 c1c2c3c4

По неравенству о средних мы знаем, что равенство в таком неравенстве достигается только при $c1 = c2 =c3 = c4 = 124-= 3.$ Тогда получаем

f(5) =(5− 3)4 = 24 = 16.

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#33513

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых разность между корнями уравнения $x2+$ $3ax +a4 = 0$ максимальна.

Источники: ДВИ - 2018, задача 2 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Однозначно выразить саму разность тут мы не можем, а вот её модуль — вполне. Давайте поработаем с его максимизацией.

Подсказка 2

Когда максимально полученное выражение? Проанализируйте его с помощью производной и найдите точки максимума.

Подсказка 3

Проверьте полученные числа подстановкой: нас интересует максимальное значение, не факт, что обе точки максимума его дают. Запишите ответ!

Показать ответ и решение

Модуль разности между корнями равен корню из дискриминанта, то есть $√9a2−-4a4 =∘4a2-(9−-a2)- 4$ . Как парабола относительно $a2$ с ветвями вниз, подкоренное выражение максимально при $2 9 a = 8$ , т.е. при $-3√- a =± 2 2$ .

Ответ:

$-3√-;−-3√- 2 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90318

Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения $x2+ ax− 6= 0$ равна 5. Найдите все возможные значения $a$ .

Источники: ДВИ - 2016, вариант 1, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Запишите в явном виде выражение для разности корней и найдите с помощью него дискриминант, теперь остается лишь найти значения а, при которых достигается данное значение дискриминанта

Показать ответ и решение

Из условия получаем

√-- |x1 − x2|=| D |=5 =⇒ D =25

Запишем дискриминант

2 2 2 D =a − 4⋅(−6)= a +24= 25 =⇒ a = 1

a= ±1

Ответ:

$a =±1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#70161

Старший коэффициент квадратного трехчлена $f(x)$ равен $2$ . Один из его корней равен $5 2$ . Найдите второй корень, если известно, что $f(0)=3$ .

Источники: ДВИ - 2013, вариант 1, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сразу переведём эту задачу на язык уравнений. Вспомните формулу квадратного трёхчлена и попробуйте записать каждое условие по отдельности.

Подсказка 2

Мы знаем, что корни можно найти через дискриминант, но такой способ как-то быстро убивает желание решать задачку из-за страшных уравнений, в такие моменты полезно подумать, а вдруг есть другой способ нахождения корней? Где фигурировали основные утверждения из условия?

Подсказка 3

Ну конечно же, через теорему Виета, нам об этом говорит то, что мы уже знаем один из корней, а также то, что старший и свободный коэффициенты равны конкретным числам. Не забывайте, что теорема Виета недостаточное условие для того, чтобы были вещественные корни, а значит нужно проверять подходят ли корни или что дискриминант неотрицателен (подставить так же будет полезно для проверки себя после долгих вычислений), но нам повезло и уже сказали, что есть корень 5/2!

Показать ответ и решение

Квадратный трехчлен имеет вид $ax2+ bx +c$ . По условию сразу получаем $a =2$ . Значение квадратного трехчлена в нуле равно в точности свободному коэффициенту, то есть $c= 3$ . По теореме Виета произведение корней квадратного уравнения $f(x)=0$ равно значению $c 3 a = 2$ . По условию один из корней равен $5 2$ , поэтому второй корень равен $3 2 3 2 ⋅5 = 5.$

Ответ:

$3 5$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#96419

Про квадратный трёхчлен $f(x)= ax2 +bx+ c$ известно, что $b=7$ и что $f (1) = 11. 3 3$ Найдите $f(− 1). 3$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу подставим известное из условия, каким тогда равенством будут связаны a и c?

Подсказка 2

a/9 + c = 4/3. А что будет, если подставить x:=-1/3 и воспользоваться полученным знанием?

Показать ответ и решение

2 f(x)= ax +7x+ c

( 1) a 7 11 a 4 f 3 = 9 + 3 + c= 3 =⇒ 9 + c= 3

( 1) a 7 4 7 f −3 = 9 − 9 + c= 3 −3 = −1

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#75439

Найдите многочлен второй степени, если известно, что его корни равны $− 4 7$ и $5, 3$ а свободный член равен $− 2.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам известны корни уравнения и один из его коэффициентов, для полной картины не хватает только старшего и среднего коэффициента. Какая теорема позволяет нам легко выражать корни через соотношение коэффициентов?

Подсказка 2

Конечно теорема Виета! x₁+x₂=-b/a нам пока мало что даёт, а вот из x₁x₂=c/a можно найти старший коэффициент, а уже затем через него найти и b. Осталось только аккуратно всё посчитать и подставить🤗

Показать ответ и решение

По теореме Виета имеем

--c- a= x1x2 = 2,1

b= −a(x1 +x2)= −2,3

Тогда трёхчлен имеет вид

2,1x2− 2,3x− 2

Ответ:

$2,1⋅x2 − 2,3 ⋅x − 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#89909

При каких значениях параметра $a$ отношение корней квадратного уравнения $x2+ ax +a +2 = 0$ равно двум?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть уравнение имеет корни х₁ и х₂: попробуйте записать теорему Виета и найти значения а, при которых выполняется условие х₁ = 2х₂.

Подсказка 2

Тогда останется только убедиться в том, что при таких значениях а уравнение действительно имеет два корня)

Показать ответ и решение

Из условия следует, что корня должно быть два, причем если один корень равен $x1,$ то второй должен отличаться от него в два раза. Не теряя общности можно считать, что $x1 = 2x2$ (иначе просто перенумеруем корни). Тогда по теореме Виета (корни точно есть) для уравнения имеем:

{ x1+ x2 = − a, x1⋅x2 = a +2.

{3x2 = −a, 2x22 = a+ 2.

( −a)2 2 3 =a +2,

2a2− 9a− 18= 0,

D =81 +4 ⋅18 ⋅2= 152,

$⌊ a1 = 9−-15 =− 1,5, |⌈ 4 a2 = 9-+15 = 6. 4$

Вычислим корни при найденных значениях параметра.
1) $a = −1,5$ . Тогда уравнение принимает вид:

x2− 1,5x+ 0,5 =0.

D = 2,25 − 2 = 0,25,

x1 = 1,5+-0,5= 1, x2 = 1,5−-0,5 =0,5, 2 2

действительно, $x1= 2. x2$
2) $a = 6$ . Тогда уравнение принимает вид:

2 x + 6x+ 8= 0.

D =36 − 32 =4,

x1 = −6+-2-=− 2, x2 = −6−-2-=− 4, 2 2

при этом, $x x2 = 2. 1$
Следовательно, оба найденных значения параметра нас устраивают.

Ответ:

$a = −1,5;a= 6.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90115

Один из корней уравнения $3x2 +bx +c =0$ равен $− 4, 3$ а другой – второму коэффициенту уравнения. Найдите коэффициенты $b$ и $c.$

Показать ответ и решение

По условию знаем, что корнями уравнения являются числа $x1 = − 43$ и $x2 = b.$ В таком случае имеем верную систему:

{3 (− 4)2+ b(− 4) +c = 0, 3(b)32+ b(b)+ c3= 0.

{16 − 4b+ 3c= 0, 2 4b + c= 0.

{ 4b−16 c=2 34b−,16 4b + --3- = 0.

{c = 4b−16, 3b2 +b3− 4 = 0.

Второе уравнение системы верно при $b1 = 1$ и при $b2 = − 43.$

Рассмотрим $b1 = 1:$

{ c= −4, b= 1.

Проверка полученных коэффициентов:

3x2+ x− 4= 0,

$⌊ x1 = 1, ⌈ 4 x2 = −3 .$

Этот случай идет в ответ.

Рассмотрим $b2 = − 43 :$

{c = − 64, 49 b = −3.

Проверка полученных коэффициентов:

2 4 64 3x − 3x− 9 =0,

$⌊ x1 = 16 ⁄=− 4, |⌈ 3 4 3 x2 = − 3.$

Этот случай невозможен.

Ответ:

$b= 1,c= − 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#90142

Найдите коэффициенты $a,b,c,$ если известно, что их сумма равна 1, а квадратное уравнение $ax2+ bx+ c= 0$ имеет единственное решение $x = −1.$

Показать ответ и решение

Запишем условие в виде системы уравнений:

(| a+ b+ c= 1 (|a+ b+ c= 1 (1) { a⋅(−1)2+b ⋅(− 1) +c =0 {a− b+ c= 0 (2) |( |( 2 D = 0 b − 4⋅a⋅c= 0 (3)

Немного пояснений: условие $D = 0$ мы записали, поскольку по условию $x =− 1$ единственный корень.
Вычтем из уравнения (1) уравнение (2), найдем значение $b$ и далее значения остальных переменных.

( ( ( |{ a+ b+ c= 1 ||{ a+ 12 +c =1 |{ a= 12 − c (5) 2b= 1 b= 12 b= 1 |( b2− 4⋅a⋅c= 0 ||( 1 − 4 ⋅a⋅c= 0 |( 1− 24⋅(1− c)⋅c= 0 (4) 4 4 2

Решим отдельно уравнение (4) и найдём значение $c.$

1− 2c+ 4c2 = 0, 4

2 1 4c − 2c+ 4 = 0,

16c2− 8c+ 1= 0,

(4c − 1)2 = 0,

c= 1. 4

Подставим значение $c$ в уравнение (5) и найдём $a:$

a= 1− 1 = 1. 2 4 4

Ответ:

$a = 1, 4$ $b= 1, 2$ $c = 1. 4$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#90144

Уравнение $ax2 +bx+ 2 =0,$ где $a< 0,$ имеет одним из корней число $x = 3.$ Найдите действительные корни уравнения $ax4 +bx2+ 2= 0.$

Показать ответ и решение

Сделаем во втором уравнении замену $x2 =t,t≥ 0.$ Тогда второе уравнение имеет вид $at2+ bt+ 2= 0,$ которое идентично первому уравнению (только с другой переменной). Значит, одним из корней является $t= 3.$ Найдём второй корень, для этого рассмотрим первое уравнение.

Сделаем его приведённым:

2 b 2 x + a + a= 0.

Тогда по теореме Виета произведение корней равно $2 a,$ а так как $a< 0,$ то и произведение отрицательно. Мы знаем, что у нас есть положительный корень $x1 =3,$ а значит второй корень $x2 <0.$ Значит, у уравнения относительно переменной $t$ второй корень тоже будет отрицательным, который при обратной замене не будет давать решений. Тогда у уравнения $t= 3$ – единственное решение. Сделаем обратную замену.