12.05 Исполнитель «Чертежник» - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#5920

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на $(c,d )$ , где $c$ и $d$ — целые числа, которые перемещают Чертёжника из точки с координатами $(x, y)$ в точку с координатами $(x + c,y + d)$ .

Цикл

$\text{[math]}$ ПОВТОРИ число РАЗ

$\text{[math]}$ последовательность команд

$\text{[math]}$ КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным). Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

сместиться на (8, 21)

ПОВТОРИ $k$ РАЗ

сместиться на $(c,d)$

сместиться на (-14, 10)

КОНЕЦ ПОВТОРИ

сместиться на (19, 33)

КОНЕЦ
Укажите количество возможных значений числа $k > 1$ , для которого найдутся такие значения чисел $c,d$ , что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать ответ и решение

Решение аналитически

После выполнения команды вне цикла сместиться на (8, 21) и выполнения завершающей команды вне цикла сместиться на $(19,33)$ Чертёжник окажется в точке с координатами $(27,54 )$ . После выполнения только Цикла ПОВТОРИ $k$ РАЗ Чертёжник переместится на $k ⋅ (c − 14,d + 10)$ .

Так как требуется, чтобы после выполнения программы Чертёжник вернулся в исходную точку (0,0), имеем два уравнения: $k ⋅ (c − 14) + 27 = 0$ и $k ⋅ (d + 10) + 54 = 0$ . Получится система уравнений состоящая из уравнения $k ⋅ (c + 15 ) = − 27$ и уравнения $k ⋅ (d + 10) = − 54$ .

Переменные $c$ , $d$ и $k$ должны быть целыми, причём $k > 1$ . Следовательно, числа -27 и -54 должны быть кратны $k$ , подходящие $k$ равны: 3, 9, 27, количество подходящих $k$ равно 1.

Решение программой

 ans = 0
 for k in range(2, 100):
     fl = 0
     for c in range(-300,300):
         for d in range(-300,300):
             if (8 + k * (c - 14) + 19) == 0 and (21 + k * (d + 10) + 33) == 0:
                 ans += 1
                 fl = 1
                 break
         if fl:
             break
 print(ans)

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#6290

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на $(c,d )$ , где $c$ и $d$ — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами $(x,y)$ в точку с координатами $(x + c,y + d)$ .

Цикл

ПОВТОРИ число РАЗ

последовательность команд

КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).

Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

сместиться на (17, 11)

ПОВТОРИ $k$ РАЗ

сместиться на $(c,d)$

сместиться на ( $− 5, − 13$ )

КОНЕЦ ПОВТОРИ

сместиться на ( $− 73, − 60$ )

КОНЕЦ

Укажите количество чисел $k > 1$ , для которого найдутся такие значения чисел $c$ и $d$ , что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать ответ и решение

Аналитическое решение:

Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за $Δx,$ второй – за $Δy.$

Запишем изменения координат:

$Δx = 17 + k(c − 5) − 73;$

$Δy = 11 + k(d − 13) − 60.$

Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

{ 17 + k(c − 5) − 73 = 0 11 + k(d − 13) − 60 = 0

Преобразуем выражение:

{ k (c − 32 ) = 56 k (d − 28) = 49

Можно заметить, что нам требуется определить количество чисел k, которые являются делителем и 56, и 49. Есть только одно такое число – 7.

Программное решение:

ans = 0
for k in range(2, 100):
    fl = 0
    for c in range(-300,300):
        for d in range(-300,300):
            if (17 + k * (c - 5) - 73) == 0 and (11 + k * (d - 13) - 60) == 0:
                ans += 1
                fl = 1
                break
        if fl:
            break
print(ans)

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#6291

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на $(c,d )$ , где $c$ и $d$ — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами $(x,y)$ в точку с координатами $(x + c,y + d)$ .

Цикл

ПОВТОРИ число РАЗ

последовательность команд

КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).

Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

сместиться на (-30, -110)

ПОВТОРИ $k$ РАЗ

сместиться на $(c,d)$

сместиться на ( $76, − 93$ )

КОНЕЦ ПОВТОРИ

сместиться на ( $0,5$ )

КОНЕЦ

Укажите количество чисел $k > 1$ , для которых найдутся такие значения чисел $c$ и $d$ , что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать ответ и решение

Аналитическое решение:

Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за $Δx,$ второй – за $Δy.$

Запишем изменения координат:

$Δx = − 30 + k(c + 76 ) + 0;$

$Δy = − 110 + k(d − 93) + 5.$

Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

{ − 30 + k(c + 76) + 0 = 0 − 110 + k(d − 93) + 5 = 0

Преобразуем выражение:

{ k(c + 76) = 30 k(d − 93) = 105

Можно заметить, что нам требуется определить количество чисел k, которые являются делителем и 30, и 105. Таких чисел три – 3, 5 и 15.

Программное решение:

ans = 0
for k in range(2, 100):
    fl = 0
    for c in range(-300, 300):
        for d in range(-300, 300):
            if (-30 + k * (c + 76)) == 0 and (-110 + k * (d - 93) + 5) == 0:
                ans += 1
                fl = 1
                break
        if fl:
            break
print(ans)

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#6292

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на $(c,d )$ , где $c$ и $d$ — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами $(x,y)$ в точку с координатами $(x + c,y + d)$ .

Цикл

$ПО В ТО Р И чи сло РА З$

$посл едовател ьность ком анд$

$КО Н ЕЦ П ОВ ТО Р И$

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).

Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

$НА Ч АЛ О$

$см еститься на (− 32,− 73)$

$П О ВТ О РИ k РА З$

$смест иться на (c,d)$

$смест иться на (246,− 114)$

$К О НЕ Ц П О ВТ О РИ$

$см еститься на (− 16,13)$

$КО Н ЕЦ$

Укажите количество чисел $k > 1$ , для которых найдутся такие значения чисел $c$ и $d$ , что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать ответ и решение

Аналитическое решение:

Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за $Δx,$ второй – за $Δy.$

Запишем изменения координат:

$Δx = − 32 + k(c + 246 ) − 16;$

$Δy = − 73 + k (d − 114 ) + 13.$

Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

{ − 32 + k (c + 246 ) − 16 = 0 − 73 + k (d − 114 ) + 13 = 0

Преобразуем выражение:

{ k(c + 246) = 48 k(d − 114) = 60

Можно заметить, что нам требуется определить количество чисел k, которые являются делителем и $48$ , и $60$ . Таких чисел пять — $2,3,4,6$ и $12$ .

Программное решение:

ans = 0
for k in range(2, 100):
    fl = 0
    for c in range(-300, 300):
        for d in range(-300, 300):
            if (-32 + k * (c + 246) - 16) == 0 and (-73 + k * (d - 114) + 13) == 0:
                ans += 1
                fl = 1
                break
        if fl:
            break
print(ans)

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#6293

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на $(c,d )$ , где $c$ и $d$ — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами $(x,y)$ в точку с координатами $(x + c,y + d)$ .

Цикл

ПОВТОРИ число РАЗ

последовательность команд

КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).

Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

сместиться на (-29, -100)

ПОВТОРИ $k$ РАЗ

сместиться на $(c,87)$

сместиться на ( $32,d$ )

КОНЕЦ ПОВТОРИ

сместиться на ( $− 25, 19$ )

КОНЕЦ

Укажите максимальное значение числа $k > 1$ , для которого найдутся такие значения чисел $c$ и $d$ , что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать ответ и решение

Аналитическое решение:

Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за $Δx,$ второй – за $Δy.$

Запишем изменения координат:

$Δx = − 29 + k(c + 32 ) − 25;$

$Δy = − 100 + k(87 + d) + 19.$

Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

{ − 29 + k (c + 32) − 25 = 0 − 100 + k(87 + d) + 19 = 0

Преобразуем выражение:

{ k (c + 32 ) = 54 k (87 + d) = 81

Можно заметить, что нам требуется такое максимальное число k, чтобы оно было делителем и 81, и 54, т.е. НОД этих чисел. НОД(81,54)=27.

Программное решение:

ans = 0
for k in range(2, 100):
    fl = 0
    for c in range(-300, 300):
        for d in range(-300, 300):
            if (-29 + k * (c + 32) - 25) == 0 and (-100 + k * (d + 87) + 19) == 0:
                ans = k
                fl = 1
                break
        if fl:
            break
print(ans)

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#6294

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на $(c,d )$ , где $c$ и $d$ — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами $(x,y)$ в точку с координатами $(x + c,y + d)$ .

Цикл

ПОВТОРИ число РАЗ

последовательность команд

КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).

Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

сместиться на (-29, -100)

ПОВТОРИ $k$ РАЗ

сместиться на $(c,87)$

сместиться на ( $32,d$ )

КОНЕЦ ПОВТОРИ

сместиться на ( $− 25, 19$ )

КОНЕЦ

Укажите количество чисел $k > 1$ , для которых найдутся такие значения чисел $c$ и $d$ , что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать ответ и решение

Аналитическое решение:

Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за $Δx,$ второй – за $Δy.$

Запишем изменения координат:

$Δx = − 29 + k(c + 32 ) − 25;$

$Δy = − 100 + k(87 + d) + 19.$

Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

{ − 29 + k (c + 32) − 25 = 0 − 100 + k(87 + d) + 19 = 0

Преобразуем выражение:

{ k (c + 32 ) = 54 k (87 + d) = 81

Можно заметить, что нам требуется определить количество чисел k, которые являются делителем и 54, и 81.Таких чисел три – 3, 9, 27.

Программное решение:

ans = 0
for k in range(2, 100):
    fl = 0
    for c in range(-300, 300):
        for d in range(-300, 300):
            if (-29 + k * (c + 32) - 25) == 0 and (-100 + k * (d + 87) + 19) == 0:
                ans += 1
                fl = 1
                break
        if fl:
            break
print(ans)

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#6295

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на $(c,d )$ , где $c$ и $d$ — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами $(x,y)$ в точку с координатами $(x + c,y + d)$ .

Цикл

ПОВТОРИ число РАЗ

последовательность команд

КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).

Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

сместиться на (-238, -592)

ПОВТОРИ $k$ РАЗ

сместиться на $(c,731)$

сместиться на ( $920,d$ )

КОНЕЦ ПОВТОРИ

сместиться на ( $− 210, 16$ )

КОНЕЦ

Укажите максимальное значение числа $k > 1$ , для которого найдутся такие значения чисел $c$ и $d$ , что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать ответ и решение

Аналитическое решение:

Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за $Δx,$ второй – за $Δy.$

Запишем изменения координат:

$Δx = − 238 + k(c + 920 ) − 210;$

$Δy = − 592 + k(731 + d) + 16.$

Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

{ − 238 + k (c + 920 ) − 210 = 0 − 592 + k (731 + d) + 16 = 0

Преобразуем выражение:

{ k (c + 920 ) = 448 k (731 + d) = 576

Можно заметить, что нам требуется такое максимальное число k, чтобы оно было делителем и 448, и 576, т.е. НОД этих чисел. НОД(448,576)=64.

Программное решение:

ans = 0
for k in range(100, 1, -1):
    fl = 0
    for c in range(-1000, 0):
        for d in range(-1000, 0):
            if (-238 + k * (c + 920) - 210) == 0 and (-592 + k * (d + 731) + 16) == 0:
                ans = k
                fl = 1
                break
        if fl:
            break
    if fl:
        break
print(ans)

Ответ: 64

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#6296

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на $(c,d )$ , где $c$ и $d$ — целые числа, которые перемещают Чертёжника из точки с координатами $(x, y)$ в точку с координатами $(x + c,y + d)$ .

Цикл

$ПО В ТО Р И чи сло РА З$

$посл едовател ьность ком анд$

$КО Н ЕЦ П ОВ ТО Р И$

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).

Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

$НА Ч АЛ О$

$см еститься на (− 238,− 592)$

$П О ВТ О РИ k РА З$

$смест иться на (c,731)$

$смест иться на (920,d)$

$К О НЕ Ц П О ВТ О РИ$

$см еститься на (− 210,16)$

$КО Н ЕЦ$

Укажите количество чисел $k < 72$ , для которых найдутся такие значения чисел $c$ и $d$ , что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать ответ и решение

Аналитическое решение:

Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за $Δx,$ второй – за $Δy.$

Запишем изменения координат:

$Δx = − 238 + k(c + 920 ) − 210;$

$Δy = − 592 + k(731 + d) + 16.$

Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

{ − 238 + k (c + 920 ) − 210 = 0 − 592 + k (731 + d) + 16 = 0

Преобразуем выражение:

{ k (c + 920 ) = 448 k (731 + d) = 576

Можно заметить, что нам требуется определить количество чисел $k$ , которые являются делителем и $448$ , и $576$ . Отсеяв делители большие или равные $72$ , мы получим совпадения в следующих числах: $1,2,4, 8,16,32$ и $64$ . Этих чисел $7$ , значит это ответ к задаче.

Программное решение:

ans = 0
for k in range(1, 72):
    fl = 0
    for c in range(-1000, 0):
        for d in range(-1000, 0):
            if (-238 + k * (c + 920) - 210) == 0 and (-592 + k * (d + 731) + 16) == 0:
                ans += 1
                fl = 1
                break
        if fl:
            break
print(ans)

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#6297

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на $(c,d )$ , где $c$ и $d$ — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами $(x,y)$ в точку с координатами $(x + c,y + d)$ .

Цикл

ПОВТОРИ число РАЗ

последовательность команд

КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).

Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

сместиться на (194, -209)

ПОВТОРИ $k$ РАЗ

сместиться на $(c,937)$

сместиться на ( $0,d$ )

КОНЕЦ ПОВТОРИ

сместиться на ( $− 860, − 531$ )

КОНЕЦ

Укажите максимальное значение числа $k > 1$ , для которого найдутся такие значения чисел $c$ и $d$ , что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать ответ и решение

Аналитическое решение:

Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за $Δx,$ второй – за $Δy.$

Запишем изменения координат:

$Δx = 194 + k(c + 0) − 860;$

$Δy = − 209 + k(937 + d) − 531.$

Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

{ 194 + k(c + 0 ) − 860 = 0 − 209 + k (937 + d) − 531 = 0

Преобразуем выражение:

{ k (c + 0) = 666 k (937 + d) = 740

Можно заметить, что нам требуется такое максимальное число k, чтобы оно было делителем и 666, и 740, т.е. НОД этих чисел. НОД(666,740)=74.

Программное решение:

ans = 0
for k in range(100, 1, -1):
    fl = 0
    for c in range(-1000, 100):
        for d in range(-1000, 100):
            if (194 + k * (c + 0) - 860) == 0 and (-209 + k * (d + 937) - 531) == 0:
                ans = k
                fl = 1
                break
        if fl:
            break
    if fl:
        break
print(ans)

Ответ: 74

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#6574

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на $(c,d )$ , где $c$ и $d$ — целые числа, которые перемещают Чертёжника из точки с координатами $(x, y)$ в точку с координатами $(x + c,y + d)$ .

Цикл

$\text{[math]}$ ПОВТОРИ число РАЗ

$\text{[math]}$ последовательность команд

$\text{[math]}$ КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным). Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

$\text{[math]}$ сместиться на (12, 11)

$\text{[math]}$ ПОВТОРИ $k$ РАЗ

$\text{[math]}$ сместиться на $(c,d)$

$\text{[math]}$ сместиться на (12, $− 15$ )

$\text{[math]}$ КОНЕЦ ПОВТОРИ

$\text{[math]}$ сместиться на (20, $− 35$ )

КОНЕЦ

Укажите количество возможных значений числа $k > 1$ , для которого найдутся такие значения чисел $c$ и $d$ , что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать ответ и решение

Аналитическое решение:

После выполнения команды вне цикла сместиться на $(12,11 )$ и выполнения завершающей команды вне цикла сместиться на $(20,− 35)$ Чертёжник окажется в точке с координатами $(32,− 24)$ . После выполнения только Цикла ПОВТОРИ $k$ РАЗ Чертёжник переместится на $k ⋅ (c + 12,d − 15)$ .

Так как требуется, чтобы после выполнения программы Чертёжник вернулся в исходную точку $(0,0)$ , имеем два уравнения: $k ⋅ (c + 12) + 32 = 0$ и $k ⋅ (d − 15) − 24 = 0$ .

Получится система уравнений состоящая из уравнения $k ⋅ (c + 12) = − 32$ и уравнения $k ⋅ (d − 15) = 24$ .

Переменные $c$ , $d$ и $k$ должны быть целыми, причём $k > 1$ . Следовательно, числа $− 32$ и 24 должны быть кратны $k$ , подходящие $k$ равны 2, 4, 8 количество подходящих $k = 1 + 1 + 1 = 3$ .

Программное решение:

ans = 0
for k in range(2, 100):
    fl = 0
    for c in range(-300, 300):
        for d in range(-300, 300):
            if (12 + k * (c + 12) + 20) == 0 and (11 + k * (d - 15) - 35) == 0:
                ans += 1
                fl = 1
                break
        if fl:
            break
print(ans)

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#6575

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на $(c,d )$ , где $c$ и $d$ — целые числа, которые перемещают Чертёжника из точки с координатами $(x, y)$ в точку с координатами $(x + c,y + d)$ .

Цикл

$\text{[math]}$ ПОВТОРИ число РАЗ

$\text{[math]}$ последовательность команд

$\text{[math]}$ КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным). Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

$\text{[math]}$ сместиться на (5, 42)

$\text{[math]}$ ПОВТОРИ $k$ РАЗ

$\text{[math]}$ сместиться на $(c,d)$

$\text{[math]}$ сместиться на (58, 75)

$\text{[math]}$ КОНЕЦ ПОВТОРИ

$\text{[math]}$ сместиться на (2, 7)

КОНЕЦ
Укажите количество возможных значений числа $k > 1$ , для которого найдутся такие значения чисел $c,d$ , что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать ответ и решение

Аналитическое решение:

После выполнения команды вне цикла сместиться на (5, 42) и выполнения завершающей команды вне цикла сместиться на $(2,7)$ Чертёжник окажется в точке с координатами $(7,49)$ . После выполнения только Цикла ПОВТОРИ $k$ РАЗ Чертёжник переместится на $k ⋅ (c + 58,d + 75)$ .

Так как требуется, чтобы после выполнения программы Чертёжник вернулся в исходную точку (0,0) (0,0), имеем два уравнения: $k ⋅ (c + 58) + 7 = 0$ и $k ⋅ (d + 75) + 49 = 0$ . Получится система уравнений состоящая из уравнения $k ⋅ (c + 15 ) = − 7$ и уравнения $k ⋅ (d + 75) = − 49$ .

Переменные $c$ , $d$ и $k$ должны быть целыми, причём $k > 1$ . Следовательно, числа -7 и -49 должны быть кратны $k$ , подходящее $k$ равно 7, количество подходящих $k = 1$ .

Программное решение:

ans = 0
for k in range(2, 100):
    fl = 0
    for c in range(-300, 300):
        for d in range(-300, 300):
            if (5 + k * (c + 58) + 2) == 0 and (42 + k * (d + 75) + 7) == 0:
                ans += 1
                fl = 1
                break
        if fl:
            break
print(ans)

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#6576

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на $(c,d )$ , где $c$ и $d$ — целые числа, которые перемещают Чертёжника из точки с координатами $(x, y)$ в точку с координатами $(x + c,y + d)$ .

Цикл

$\text{[math]}$ ПОВТОРИ число РАЗ

$\text{[math]}$ последовательность команд

$\text{[math]}$ КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным). Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

$\text{[math]}$ сместиться на (46, 84)

$\text{[math]}$ ПОВТОРИ $k$ РАЗ

$\text{[math]}$ сместиться на $(c,d)$

$\text{[math]}$ сместиться на (-27, 48)

$\text{[math]}$ КОНЕЦ ПОВТОРИ

$\text{[math]}$ сместиться на (26, 24)

КОНЕЦ
Укажите количество возможных значений числа $k > 1$ , для которого найдутся такие значения чисел $c,d$ , что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать ответ и решение

Аналитическое решение:

После выполнения команды вне цикла сместиться на (46, 84) и выполнения завершающей команды вне цикла сместиться на $(26,24)$ Чертёжник окажется в точке с координатами $(72,108 )$ . После выполнения только Цикла ПОВТОРИ $k$ РАЗ Чертёжник переместится на $k ⋅ (c − 27,d + 48)$ .

Так как требуется, чтобы после выполнения программы Чертёжник вернулся в исходную точку (0,0), имеем два уравнения: $k ⋅ (c − 27) + 72 = 0$ и $k ⋅ (d + 48) + 108 = 0$ . Получится система уравнений состоящая из уравнения $k ⋅ (c − 27) = − 72$ и уравнения $k ⋅ (d + 48) = − 108$ .

Переменные $c$ , $d$ и $k$ должны быть целыми, причём $k > 1$ . Следовательно, числа -72 и -108 должны быть кратны $k$ , подходящие $k$ равны: 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, количество подходящих $k = 1$ +1+1+1+1+1+1+1=8.

Программное решение:

ans = 0
for k in range(2, 100):
    fl = 0
    for c in range(-300, 300):
        for d in range(-300, 300):
            if (46 + k * (c - 27) + 26) == 0 and (84 + k * (d + 48) + 24) == 0:
                ans += 1
                fl = 1
                break
        if fl:
            break
print(ans)

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#6577

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на $(c,d )$ , где $c$ и $d$ — целые числа, которые перемещают Чертёжника из точки с координатами $(x, y)$ в точку с координатами $(x + c,y + d)$ .

Цикл

$\text{[math]}$ ПОВТОРИ число РАЗ

$\text{[math]}$ последовательность команд

$\text{[math]}$ КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным). Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

$\text{[math]}$ сместиться на (50, 40)

$\text{[math]}$ ПОВТОРИ $k$ РАЗ

$\text{[math]}$ сместиться на $(c,d)$

$\text{[math]}$ сместиться на (-69, 97)

$\text{[math]}$ КОНЕЦ ПОВТОРИ

$\text{[math]}$ сместиться на (57, 78)

КОНЕЦ
Укажите количество возможных значений числа $k > 1$ , для которого найдутся такие значения чисел $c,d$ , что после выполнения программы Чертёжник из начального положения переместится в точку (-12,-36).

Показать ответ и решение

Аналитическое решение:

После выполнения команды вне цикла сместиться на (50, 40) и выполнения завершающей команды вне цикла сместиться на $(57,78)$ Чертёжник окажется в точке с координатами $(107,118 )$ . После выполнения только Цикла ПОВТОРИ $k$ РАЗ Чертёжник переместится на $k ⋅ (c − 69,d + 97)$ .

Так как после выполнения программы Чертёжник из начального положения переместится в точку (-12,-36), имеем два уравнения: $k ⋅ (c − 69) + 107 = − 12$ и $k ⋅ (d + 97) + 118 = − 36$ . Получится система уравнений состоящая из уравнения $k ⋅ (c − 69) = − 119$ и уравнения $k ⋅ (d + 97) = − 154$ .

Переменные $c$ , $d$ и $k$ должны быть целыми, причём $k > 1$ . Следовательно, числа -119 и -154 должны быть кратны $k$ , подходящее $k$ равно 7 количество подходящих $k$ равно 1.

Программное решение:

ans = 0
for k in range(2, 100):
    fl = 0
    for c in range(-500, 500):
        for d in range(-500, 500):
            if (50 + k * (c - 69) + 57) == -12 and (40 + k * (d + 97) + 78) == -36:
                ans += 1
                fl = 1
                break
        if fl:
            break
print(ans)

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#6579

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на $(c,d )$ , где $c$ и $d$ — целые числа, которые перемещают Чертёжника из точки с координатами $(x, y)$ в точку с координатами $(x + c,y + d)$ .

Цикл

$\text{[math]}$ ПОВТОРИ число РАЗ

$\text{[math]}$ последовательность команд

$\text{[math]}$ КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным). Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

$\text{[math]}$ сместиться на (605, 919)

$\text{[math]}$ ПОВТОРИ $k$ РАЗ

$\text{[math]}$ сместиться на $(c,d)$

$\text{[math]}$ сместиться на (-928 , 592)

$\text{[math]}$ КОНЕЦ ПОВТОРИ

$\text{[math]}$ сместиться на (496, 801)

КОНЕЦ

Укажите наибольшее возможное значение целого числа $k > 0$ , для которого найдутся такие значения чисел $c,d$ , что после выполнения программы Чертёжник из начального положения переместится в точку (-6,63).

Показать ответ и решение

Аналитическое решение:

После выполнения команды вне цикла сместиться на (605, 919) и выполнения завершающей команды вне цикла сместиться на $(496,801 )$ Чертёжник окажется в точке с координатами $(1101, 1720)$ . После выполнения только Цикла ПОВТОРИ $k$ РАЗ Чертёжник переместится на $k ⋅ ( − 928,d + 592)$ .

Так как после выполнения программы Чертёжник из начального положения переместится в точку (-6,63), имеем два уравнения: $k ⋅ (c − 928) + 1101 = − 6$ и $k ⋅ (d + 592) + 1720 = 63$ . Получится система уравнений состоящая из уравнения $k ⋅ (c − 928) = − 1101 − 6$ и уравнения $k ⋅ (d + 592 ) = − 1720 + 63$ , в итоге получатся уравнения: $k ⋅ (c − 928 ) = − 1107$ , $k ⋅ (d + 592 ) = − 1657$ .

Переменные $c$ , $d$ и $k$ должны быть целыми, причём $k > 0$ . Следовательно, числа -1107 и -1657 должны быть кратны $k$ , разложим на множители наши числа, $− 1107 = − 33 ⋅ 41$ , но число $− 1657$ является простым, следовательно, делится только на себя или на 1, поэтому подходящее $k > 0$ равно 1.

Программное решение:

ans = 0
for k in range(1, 100):
    fl = 0
    for c in range(-3000, 0):
        for d in range(-3000, 0):
            if (605 + k * (c - 928) + 496) == -6 and (919 + k * (d + 592) + 801) == 63:
                ans = k
                fl = 1
                break
        if fl:
            break
print(ans)

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#7430

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на $(c,d )$ , где $c$ и $d$ — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами $(x,y)$ в точку с координатами $(x + c,y + d)$ .

Цикл

ПОВТОРИ число РАЗ

последовательность команд

КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).

Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

сместиться на (10, 20)

ПОВТОРИ $k$ РАЗ

сместиться на $(c,d)$

сместиться на ( $− 32, − 28$ )

КОНЕЦ ПОВТОРИ

сместиться на ( $− 30, − 50$ )

КОНЕЦ

Укажите максимальное значение числа $k > 1$ , для которого найдутся такие значения чисел $c$ и $d$ , что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать ответ и решение

Аналитическое решение:

Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за $Δx,$ второй – за $Δy.$

Запишем изменения координат:

$Δx = 10 + k(c − 32) − 30;$

$Δy = 20 + k(d − 28) − 50.$

Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

{ 10 + k(c − 32) − 30 = 0 20 + k(d − 28) − 50 = 0

Преобразуем выражение:

{ k (c − 32 ) = 20 k (d − 28) = 30

Можно заметить, что нам требуется такое максимальное число k, чтобы оно было делителем и 20, и 30, т.е. НОД этих чисел. НОД(20,30)=10

Программное решение:

ans = 0
for k in range(2, 100):
    fl = 0
    for c in range(-300, 300):
        for d in range(-300, 300):
            if (10 + k * (c - 32) - 30) == 0 and (20 + k * (d - 28) - 50) == 0:
                ans = k
                fl = 1
                break
        if fl:
            break
print(ans)

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#7431

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на $(c,d )$ , где $c$ и $d$ — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами $(x,y)$ в точку с координатами $(x + c,y + d)$ .

Цикл

ПОВТОРИ число РАЗ

последовательность команд

КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).

Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

сместиться на (10, 20)

ПОВТОРИ $k$ РАЗ

сместиться на $(c,d)$

сместиться на ( $− 32, − 28$ )

КОНЕЦ ПОВТОРИ

сместиться на ( $− 30, − 50$ )

КОНЕЦ

Укажите минимальное значение числа $k > 1$ , для которого найдутся такие значения чисел $c$ и $d$ , что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать ответ и решение

Аналитическое решение:

Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за $Δx,$ второй – за $Δy.$

Запишем изменения координат:

$Δx = 10 + k(c − 32) − 30;$

$Δy = 20 + k(d − 28) − 50.$

Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

{ 10 + k(c − 32) − 30 = 0 20 + k(d − 28) − 50 = 0

Преобразуем выражение:

{ k (c − 32 ) = 20 k (d − 28) = 30

Можно заметить, что нам требуется такое минимальное число k, чтобы оно было делителем и 20, и 30. Это число 2.

Программное решение:

ans = 0
for k in range(2, 100):
    fl = 0
    for c in range(-300, 300):
        for d in range(-300, 300):
            if (10 + k * (c - 32) - 30) == 0 and (20 + k * (d - 28) - 50) == 0:
                ans = k
                fl = 1
                break
        if fl:
            break
    if fl:
        break
print(ans)

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#7432

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на $(c,d )$ , где $c$ и $d$ — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами $(x,y)$ в точку с координатами $(x + c,y + d)$ .

Цикл

ПОВТОРИ число РАЗ

последовательность команд

КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).

Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

сместиться на (17, 11)

ПОВТОРИ $k$ РАЗ

сместиться на $(c,d)$

сместиться на ( $− 5, − 13$ )

КОНЕЦ ПОВТОРИ

сместиться на ( $− 73, − 60$ )

КОНЕЦ

Укажите максимальное значение числа $k > 1$ , для которого найдутся такие значения чисел $c$ и $d$ , что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать ответ и решение

Аналитическое решение:

Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за $Δx,$ второй – за $Δy.$

Запишем изменения координат:

$Δx = 17 + k(c − 5) − 73;$

$Δy = 11 + k(d − 13) − 60.$

Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

{ 17 + k(c − 5) − 73 = 0 11 + k(d − 13) − 60 = 0

Преобразуем выражение:

{ k (c − 32 ) = 56 k (d − 28) = 49

Можно заметить, что нам требуется такое максимальное число k, чтобы оно было делителем и 56, и 49, т.е. НОД этих чисел. НОД(56,49)=7

Программное решение:

ans = 0
for k in range(2, 100):
    fl = 0
    for c in range(-300, 300):
        for d in range(-300, 300):
            if (17 + k * (c - 5) - 73) == 0 and (11 + k * (d - 13) - 60) == 0:
                ans = k
                fl = 1
                break
        if fl:
            break
print(ans)

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#7433

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на $(c,d )$ , где $c$ и $d$ — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами $(x,y)$ в точку с координатами $(x + c,y + d)$ .

Цикл

ПОВТОРИ число РАЗ

последовательность команд

КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).

Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

сместиться на (0, 23)

ПОВТОРИ $k$ РАЗ

сместиться на $(c,d)$

сместиться на ( $− 163, − 54$ )

КОНЕЦ ПОВТОРИ

сместиться на ( $− 28, − 59$ )

КОНЕЦ

Укажите максимальное значение числа $k > 1$ , для которого найдутся такие значения чисел $c$ и $d$ , что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать ответ и решение

Аналитическое решение:

Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за $Δx,$ второй – за $Δy.$

Запишем изменения координат:

$Δx = 0 + k(c − 163 ) − 28;$

$Δy = 23 + k(d − 54) − 59.$

Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

{ 0 + k(c − 163) − 28 = 0 23 + k(d − 54) − 59 = 0

Преобразуем выражение:

{ k(c − 163) = 28 k(d − 54) = 36

Можно заметить, что нам требуется такое максимальное число k, чтобы оно было делителем и 28, и 36, т.е. НОД этих чисел. НОД(28,36)=4.

Программное решение:

ans = 0
for k in range(2, 100):
    fl = 0
    for c in range(-300, 300):
        for d in range(-300, 300):
            if (0 + k * (c - 163) - 28) == 0 and (23 + k * (d - 54) - 59) == 0:
                ans = k
                fl = 1
                break
        if fl:
            break
print(ans)

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#7434

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на $(c,d )$ , где $c$ и $d$ — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами $(x,y)$ в точку с координатами $(x + c,y + d)$ .

Цикл

ПОВТОРИ число РАЗ

последовательность команд

КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).

Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

сместиться на (0, 23)

ПОВТОРИ $k$ РАЗ

сместиться на $(c,d)$

сместиться на ( $− 163, − 54$ )

КОНЕЦ ПОВТОРИ

сместиться на ( $− 28, − 59$ )

КОНЕЦ

Укажите количество чисел $k > 1$ , для которых найдутся такие значения чисел $c$ и $d$ , что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать ответ и решение

Аналитическое решение:

Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за $Δx,$ второй – за $Δy.$

Запишем изменения координат:

$Δx = 0 + k(c − 163 ) − 28;$

$Δy = 23 + k(d − 54) − 59.$

Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

{ 0 + k(c − 163) − 28 = 0 23 + k(d − 54) − 59 = 0

Преобразуем выражение:

{ k(c − 163) = 28 k(d − 54) = 36

Можно заметить, что нам требуется определить количество чисел k, которые являются делителем и 28, и 36. Таких чисел два – 2 и 4.

Программное решение:

ans = 0
for k in range(2, 100):
    fl = 0
    for c in range(-300, 300):
        for d in range(-300, 300):
            if (0 + k * (c - 163) - 28) == 0 and (23 + k * (d - 54) - 59) == 0:
                ans += 1
                fl = 1
                break
        if fl:
            break
print(ans)

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#7435

Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду сместиться на $(c,d )$ , где $c$ и $d$ — целые числа, которык перемещают Чертёжника из точки с координатами $(x,y)$ в точку с координатами $(x + c,y + d)$ .

Цикл

ПОВТОРИ число РАЗ

последовательность команд

КОНЕЦ ПОВТОРИ

Означает, что последовательность команд будет выполнена указанное число раз (число должно быть натуральным).

Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:

НАЧАЛО

сместиться на (-30, -110)

ПОВТОРИ $k$ РАЗ

сместиться на $(c,d)$

сместиться на ( $76, − 93$ )

КОНЕЦ ПОВТОРИ

сместиться на ( $0,5$ )

КОНЕЦ

Укажите максимальное значение числа $k > 1$ , для которого найдутся такие значения чисел $c$ и $d$ , что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.

Показать ответ и решение

Аналитическое решение:

Будем обозначать изменение первой координаты из скобки за $Δx,$ второй – за $Δy.$

Запишем изменения координат:

$Δx = − 30 + k(c + 76 ) + 0;$

$Δy = − 110 + k(d − 93) + 5.$

Возвращение исполнителя в исходную точку для математической записи изменения координат значит, что должно выполняться равенство нулю.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

{ − 30 + k(c + 76) + 0 = 0 − 110 + k(d − 93) + 5 = 0

Преобразуем выражение:

{ k(c + 76) = 30 k(d − 93) = 105

Можно заметить, что нам требуется такое максимальное число k, чтобы оно было делителем и 30, и 105, т.е. НОД этих чисел. НОД(30,105)=15.

Программное решение:

ans = 0
for k in range(2, 100):
    fl = 0
    for c in range(-300, 300):
        for d in range(-300, 300):
            if (-30 + k * (c + 76) + 0) == 0 and (-110 + k * (d - 93) + 5) == 0:
                ans = k
                fl = 1
                break
        if fl:
            break
print(ans)

Ответ: 15