Тема ШВБ (Шаг в будущее)

Отбор ШВБ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#101252

Решите неравенство:

√ -2 (x ) -π- π π ( 1- ) (x ) 2 x arcsin 2 − 6x2 + 2 ≥ 3|x|− x2 − 3 arcsin 2 .

В ответ запишите сумму всех целых значений $x,$ удовлетворяющих этому неравенству.

Показать ответ и решение

Перенесём всё влево и разложим на скобки:

( x π )( 1 ) arcsin2 − 6 2|x|+ x2 − 3 ≥ 0

1. Если

{ { arcsinx2 − π6 ≥0, ⇔ x ∈[1;2], 2 ⇔ x∈ [1;2]. 2|x|+ x12 − 3≥ 0 (2|x|+1)x(|2x|−1)-≥ 0

то цельми решениями являются 1 и 2.

2. Если

{ { arcsin x2 − π6 ≤ 0, ⇔ x∈ [− 2;1], 2 ⇔ x= ±1 2|x|+ 1x2 − 3 ≤0 (2|x|+1)(x2|x|−1)-≤ 0.

то целыми решениями являются -1 и 1.

Объединяя решения 1 и 2 случаев, получаем $x1 =− 1,x2 = 1,x3 =2$ . Их сумма равна 2.

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#69995

Решите уравнение

-----15---- ∘3-----3- x( 3√35− 8x3) =2x+ 35− 8x

Источники: ШВБ-2022, отборочный тур (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

{ x⁄= 0 { x⁄= 0 3 ⇐ ⇒ 3√35 35− 8x ⁄=0 x⁄= 2

Сделаем замену $t= 3√35−-8x3$ . Тогда $t3 = 35− 8x3$

Получаем систему

{ t3+ 8x3 = 35 { (t+ 2x)3− 3⋅2xt2− 3⋅4x2t=35 15-=2x +t ⇐ ⇒ 15= 2x +t ⇐⇒ xt xt

{ (1x5t)3 − 3⋅2xt2 − 3⋅4x2t=35 { (15xt)3− 3⋅2(xt2+2x2t)=35 ⇐⇒ 1x5t = 2x+ t ⇐ ⇒ 15 =2x2t+ t2x ⇐ ⇒

{ ( ) ⇐ ⇒ 15xt-3− 3⋅2⋅15 =35 15 =2x2t+t2x

Преобразовав первое уравнение, получим

(15)3 xt = 125

xt= 3

Сделаем обратную замену

∘3------- x⋅ 35− 8x3 = 3

3 3 x (35− 8x) =27

Решив квадратное уравнение относительно $x3,$ получим

[ x= 1 x= 32

Ответ: 1; 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#91875

Найдите корни уравнения

f(x)=8,

если

2 4f(3 − x)− f(x)= 3x − 4x − 3

для любого действительного значения $x$ .

В ответе укажите произведение найденных корней.

Источники: ШВБ - 2022, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Подставим вместо $x$ в исходное уравнение $3 − x,$ получим

2 4f(x)− f(3 − x)= 3(3 − x) − 4(3− x)− 3

2 4f(x)− f(3− x)= 3x − 14x +12

Учитывая исходное уравнение, получаем систему

({ 4f(3− x)− f(x)= 3x2 − 4x− 3 ( 2 4f(x)− f(3− x)= 3x − 14x+ 12

Домножим второе на 4 и сложим уравнения системы

2 15f(x)= 15x − 60x+ 45

f(x)= x2− 4x+3

Подставив в исходное уравнение, убедимся, что данная функция подходит. Теперь найдём корни

f(x)= 8

x2− 4x +3 =8

2 x − 4x − 5 =0

(x+ 1)(x− 5)= 0

[ x =− 1 x =5

Ответ:

$− 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#73121

Петя задумал пять чисел (не обязательно целых). На доске он написал их попарные суммы: $7,9,12,16,17,19,20,21,22,29.$ Какие числа задумал Петя?

Источники: ШВБ - 2020, отборочный тур (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Поскольку все суммы разные, все числа тоже разные. Упорядочим эти числа в порядке возрастания и обозначим следующим образом: $x1 < x2 < x3 < x4 < x5$ Тогда

x1 +x2 = 7, x1+x3 =9, x3+ x5 = 22, x4+ x5 = 29

Кроме того,

4(x1+ x2+ x3 +x4+ x5)=7 +9+ 12+ 16 +17+ 19+20+ 21+ 22 +29,

(x +x )+ x +(x + x) =43 1 2 3 4 5

Решая систему, последовательно находим

x3 = 7, x1 = 2, x2 = 5, x5 = 15, x4 =14

Ответ:

$2,5,7,14,15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#69994

Решите уравнение

2 2 ∘ ----- x + y + 1+ xy− 6= 2|x− y|+2xy

Источники: ШВБ-2018 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение

2 2 ∘ ----- x + y + 1+ xy− 6= 2|x− y|+2xy

2 2 ∘ ----- x − 2xy+ y − 2|x− y|+1+ xy − 6 =0

(x− y)2− 2|x− y|+ 1+ ∘xy-− 6-=0

(|x − y|− 1)2+ ∘xy−-6= 0

Оба слагаемые неотрицательны, значит, $(|x− y|− 1)2 = 0$ и $√xy−-6= 0$

( [ ( [ { |x − y|= 1 |{ x− y = 1 |{ y = x− 1 xy− 6=0 ⇐⇒ | x− y = −1 ⇐ ⇒ | y = x+ 1 ⇐⇒ ( xy− 6= 0 ( xy− 6= 0

⌊ { | x= −2 ⌊ { ⌊ { || { y = −3 | y = x− 1 | y = x− 1 ||| x= 3 ⇐ ⇒ || { xy − 6 =0 ⇐ ⇒ || { x2− x − 6 =0 ⇐⇒ || { y = 2 |⌈ y = x+1 |⌈ y = x+ 1 ||| x= 2 xy − 6 =0 x2+x − 6 =0 || { y = 3 |⌈ x= −3 x= −2

Ответ:

$(−2;−3), (3;2), (2;3), (−3;−2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#72730

Известно, что $a,$ $b$ и $c$ — натуральные числа,

НО К(a,b)= 945 НО К(b,c)=525

Чему может равняться $НОК(a,c)?$ Введите все возможные варианты в порядке возрастания через пробел.

Источники: ШВБ-2017, отборочный тур

Показать ответ и решение

Разложим числа на простые множители, так как $33$ встречается только в $HOK (a,b),$ следовательно $a..33, .$ аналогично получаем, что $.. 2 c.5$

{ 3 { .. 3 .( ) HOK (a,b) =945= 3 ⋅25⋅7 ⇒ a...32 ⇒ HOK (a,c).. 33⋅52 HOK (b,c)= 525= 3⋅5 ⋅7 c.5

Заметим, что

(| HOK (a,b,c)... HOK (a,b) { HOK (a,b,c)... HOK (b,c) |( HOK (a,b,c)... HOK (a,c) . .( 3 2 ) ⇒ HOK(a,b,c).. HOK (945,525)⇒ HOK (a,b,c).. 3 ⋅5 ⋅7 .

Учитывая три факта: $(| HOK (a,b,c)... (33⋅52 ⋅7) { HOK (a,b,c)..HOK (a,c), получаем, что |( HOK (a,c)...(33⋅52) .$

$HOK (a,c) =33⋅52,$ например, при $a= 33⋅5,b= 7,c= 3⋅52$ или

$HOK (a,c) =33⋅52⋅7,$ например, при $a= 33⋅5,b= 7,c= 3⋅52⋅7$

Ответ: 675 4725

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#89605

На кружок по математике ходят только рыцари и лжецы (есть и те, и другие). Рыцари всегда говорят только правду, а лжецы — только ложь. Все участники кружка родились в разные дни и в течение учебного года решили разное количество задач. В конце учебного года каждый участник кружка сделал два заявления:

(a) на кружке не найдётся и $20$ -и человек, которые были бы старше меня;

(b) больше меня задач решили, по крайней мере, $15$ человек.

Сколько человек посещали кружок в течение года? Ответ обоснуйте.

Показать ответ и решение

1) Возьмём старшего по возрасту лжеца. Он говорит, что не найдётся и 20-ти человек, которые его старше, но он лжёт. Следовательно, найдётся, по крайней мере, 20 человек старше его, и, поскольку он самый старший из лжецов, все эти 20 человек рыцари. Следовательно, рыцарей не менее 20 -ти человек.

2) А теперь рассмотрим самого молодого рыцаря. Он говорит, что не найдётся и 20 -ти человек, которые его старше, и он говорит правду. Следовательно, старше него может быть максимум 19 человек. Плюс он сам - рыцарь. Следовательно, рыцарей не может быть более 20 -ти человек.

Из пунктов 1) и 2) следует, что рыцарей ровно 20 человек.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

б)

3) Среди рыцарей возьмём того, который решил больше всего задач. Он сказал, что, по крайней мере, 15 человек решили задач больше, чем он. Так как он - рыцарь, то это правда. Причём все 15 человек - лжецы. Следовательно, лжецов не менее 15 -ти человек.

4) Среди лжецов возьмём того, который решил меньше всего задач. Он сказал, что, по крайней мере, 15 человек решили задач больше, чем он, но он лжёт, следовательно, больше него задач решили не более 14 -ти человек. Плюс он сам - лжец. Следовательно, лжецов не может быть больше 15-ти человек.

Из пунктов 3) и 4) следует, что лжецов ровно 15 человек.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Вывод: на кружок ходили 20 рыцарей и 15 лжецов, всего 35 человек.

Ответ: 35

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания