Тема ШВБ (Шаг в будущее)

Отбор ШВБ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#69995

Решите уравнение

-----15---- ∘3-----3- x( 3√35− 8x3) =2x+ 35− 8x

Источники: ШВБ-2022, отборочный тур (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что у нас в уравнениях есть общая "некрасивая" часть. Что тогда с ней хочется сделать?

Подсказка 2

Верно, мы можем заменить это выражение на t. А что тогда мы получаем из исходного уравнения и замены?

Подсказка 3

Точно, у нас получаются два уравнения с двумя неизвестными. То есть осталось только решить систему уравнений и не забыть учесть ОДЗ. А как же решать казалось бы эту страшную систему?

Подсказка 4

Можно выбрать такой путь. В исходном уравнении после замены у нас получается сумма кубов, которую можно разложить. Тогда одна из скобок нам уже будет известна. Теперь раскройте скобки, а дальше вернитесь к первой подсказке. Затем останется совсем немного доделать, и победа!

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

{ x⁄= 0 { x⁄= 0 3 ⇐ ⇒ 3√35 35− 8x ⁄=0 x⁄= 2

Сделаем замену $t= 3√35−-8x3$ . Тогда $t3 = 35− 8x3$

Получаем систему

{ t3+ 8x3 = 35 { (t+ 2x)3− 3⋅2xt2− 3⋅4x2t=35 15-=2x +t ⇐ ⇒ 15= 2x +t ⇐⇒ xt xt

{ (1x5t)3 − 3⋅2xt2 − 3⋅4x2t=35 { (15xt)3− 3⋅2(xt2+2x2t)=35 ⇐⇒ 1x5t = 2x+ t ⇐ ⇒ 15 =2x2t+ t2x ⇐ ⇒

{ ( ) ⇐ ⇒ 15xt-3− 3⋅2⋅15 =35 15 =2x2t+t2x

Преобразовав первое уравнение, получим

(15)3 xt = 125

xt= 3

Сделаем обратную замену

∘3------- x⋅ 35− 8x3 = 3

3 3 x (35− 8x) =27

Решив квадратное уравнение относительно $x3,$ получим

[ x= 1 x= 32

Ответ: 1; 1,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#91875

Найдите корни уравнения

f(x)=8,

если

2 4f(3 − x)− f(x)= 3x − 4x − 3

для любого действительного значения $x$ .

В ответе укажите произведение найденных корней.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала хочется разобраться с функциональным уравнением. В нем встречается функция от х (то есть f(x)) и от 3-х (то есть f(3-x)), тогда самое простое, что можно попробовать подставить вместо х, — это 3-х.

Подсказка 2

Получили систему из двух уравнений от f(x) и f(3-x). Чтобы выразить f(x) через х, достаточно вычесть из одного уравнения другое с нужным коэффициентом.

Подсказка 3

f(x) нашли, значит, решить f(x) = 8 не составит труда.

Показать ответ и решение

Подставим вместо $x$ в исходное уравнение $3 − x,$ получим

2 4f(x)− f(3 − x)= 3(3 − x) − 4(3− x)− 3

2 4f(x)− f(3− x)= 3x − 14x +12

Учитывая исходное уравнение, получаем систему

({ 4f(3− x)− f(x)= 3x2 − 4x− 3 ( 2 4f(x)− f(3− x)= 3x − 14x+ 12

Домножим второе на 4 и сложим уравнения системы

2 15f(x)= 15x − 60x+ 45

f(x)= x2− 4x+3

Подставив в исходное уравнение, убедимся, что данная функция подходит. Теперь найдём корни

f(x)= 8

x2− 4x +3 =8

2 x − 4x − 5 =0

(x+ 1)(x− 5)= 0

[ x =− 1 x =5

Ответ:

$− 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#73121

Петя задумал пять чисел (не обязательно целых). На доске он написал их попарные суммы: $7,9,12,16,17,19,20,21,22,29.$ Какие числа задумал Петя?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем набрать уравнения, которых будет достаточно для однозначного восстановления ответа! Для начала, мы можем расположить исходные числа по возрастанию, тогда мы точно знаем, из каких чисел было получено 7, 9, 22, 29.

Подсказка 2

Верно, 7 - это сумма двух минимальных чисел, 9 - это сумма первого и третьего, 22 - это сумма третьего и пятого, а 29 - это сумма четвертого и пятого! Также, поскольку нам даны все попарные суммы, то есть каждое число встречается ровно в двух суммах, то мы знаем и общую сумму чисел, она равна 43. Тогда, какое число мы уже точно-точно знаем?

Подсказка 3

Да, третье число(ведь мы знаем попарную сумму первого и второго, а также четвертого и пятого) и оно равно 7. Все оставшиеся числа легко восстанавливаются!

Показать ответ и решение

Поскольку все суммы разные, все числа тоже разные. Упорядочим эти числа в порядке возрастания и обозначим следующим образом: $x1 < x2 < x3 < x4 < x5$ Тогда

x1 +x2 = 7, x1+x3 =9, x3+ x5 = 22, x4+ x5 = 29

Кроме того,

4(x1+ x2+ x3 +x4+ x5)=7 +9+ 12+ 16 +17+ 19+20+ 21+ 22 +29,

(x +x )+ x +(x + x) =43 1 2 3 4 5

Решая систему, последовательно находим

x3 = 7, x1 = 2, x2 = 5, x5 = 15, x4 =14

Ответ:

$2,5,7,14,15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#69994

Решите уравнение

2 2 ∘ ----- x + y + 1+ xy− 6= 2|x− y|+2xy

Источники: ШВБ-2018 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнение пока вовсе не красивое… попробуем преобразовать так, чтобы |х-у| использовался еще где-то… на что нам намекают квадраты?

Подсказка 2

Переносим все в одну часть, выделяем (х-у)^2 и раскладываем на нулевую сумму двух слагаемых, каждое из которых неотрицательно. Значит, каждое из них равно нулю!

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение

2 2 ∘ ----- x + y + 1+ xy− 6= 2|x− y|+2xy

2 2 ∘ ----- x − 2xy+ y − 2|x− y|+1+ xy − 6 =0

(x− y)2− 2|x− y|+ 1+ ∘xy-− 6-=0

(|x − y|− 1)2+ ∘xy−-6= 0

Оба слагаемые неотрицательны, значит, $(|x− y|− 1)2 = 0$ и $√xy−-6= 0$

( [ ( [ { |x − y|= 1 |{ x− y = 1 |{ y = x− 1 xy− 6=0 ⇐⇒ | x− y = −1 ⇐ ⇒ | y = x+ 1 ⇐⇒ ( xy− 6= 0 ( xy− 6= 0

⌊ { | x= −2 ⌊ { ⌊ { || { y = −3 | y = x− 1 | y = x− 1 ||| x= 3 ⇐ ⇒ || { xy − 6 =0 ⇐ ⇒ || { x2− x − 6 =0 ⇐⇒ || { y = 2 |⌈ y = x+1 |⌈ y = x+ 1 ||| x= 2 xy − 6 =0 x2+x − 6 =0 || { y = 3 |⌈ x= −3 x= −2

Ответ:

$(−2;−3), (3;2), (2;3), (−3;−2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#72730

Известно, что $a,$ $b$ и $c$ — натуральные числа,

НО К(a,b)= 945 НО К(b,c)=525

Чему может равняться $НОК(a,c)?$ Введите все возможные варианты в порядке возрастания через пробел.

Источники: ШВБ-2017, отборочный тур

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте сначала разложить на простые множители числа, которым равны НОК(a,b) и НОК(b,c). Какое разложение могли бы иметь числа a, b, c?

Подсказка 2

НОК(a,b) = 3^3 * 5 * 7, НОК(b,c) = 3 * 5^2 * 7. Тогда a делится на 3^3. А что можно сказать про c? На какие числа делится НОК(a,c)?

Подсказка 3

НОК(a,c) делится на 3^3 * 5^2. Заметим, что НОК(a,b,c) делится на все 3 числа: НОК(a,b), НОК(b,c), НОК(a,c). Тогда НОК(a,b,c) делится 3^3 * 5^2 * 7. Каким тогда может быть НОК(a,c)?

Показать ответ и решение

Разложим числа на простые множители, так как $33$ встречается только в $HOK (a,b),$ следовательно $a..33, .$ аналогично получаем, что $.. 2 c.5$

{ 3 { .. 3 .( ) HOK (a,b) =945= 3 ⋅25⋅7 ⇒ a...32 ⇒ HOK (a,c).. 33⋅52 HOK (b,c)= 525= 3⋅5 ⋅7 c.5

Заметим, что

(| HOK (a,b,c)... HOK (a,b) { HOK (a,b,c)... HOK (b,c) |( HOK (a,b,c)... HOK (a,c) . .( 3 2 ) ⇒ HOK(a,b,c).. HOK (945,525)⇒ HOK (a,b,c).. 3 ⋅5 ⋅7 .

Учитывая три факта: $(| HOK (a,b,c)... (33⋅52 ⋅7) { HOK (a,b,c)..HOK (a,c), получаем, что |( HOK (a,c)...(33⋅52) .$

$HOK (a,c) =33⋅52,$ например, при $a= 33⋅5,b= 7,c= 3⋅52$ или

$HOK (a,c) =33⋅52⋅7,$ например, при $a= 33⋅5,b= 7,c= 3⋅52⋅7$

Ответ: 675 4725

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#89605

На кружок по математике ходят только рыцари и лжецы (есть и те, и другие). Рыцари всегда говорят только правду, а лжецы — только ложь. Все участники кружка родились в разные дни и в течение учебного года решили разное количество задач. В конце учебного года каждый участник кружка сделал два заявления:

(a) на кружке не найдётся и $20$ -и человек, которые были бы старше меня;

(b) больше меня задач решили, по крайней мере, $15$ человек.

Сколько человек посещали кружок в течение года? Ответ обоснуйте.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрим самого старшего из лжецов (старше него только рыцари). Какой вывод можно сделать, если он говорит, что не найдется 20 человек старше него?

Подсказка 2

Теперь рассмотрим самого младшего из рыцарей. Объединяя полученные условия, получаем точное количество рыцарей.

Подсказка 3

Возьмем рыцаря, который решил больше всего задач среди рыцарей (больше него решили только лжецы). С помощью него мы получаем оценку снизу на количество лжецов

Подсказка 4

Далее возьмем лжеца, который решил меньше всего задач среди лжецов. В итоге получаем точное количество лжецов и выписываем ответ!

Показать ответ и решение

1) Возьмём старшего по возрасту лжеца. Он говорит, что не найдётся и 20-ти человек, которые его старше, но он лжёт. Следовательно, найдётся, по крайней мере, 20 человек старше его, и, поскольку он самый старший из лжецов, все эти 20 человек рыцари. Следовательно, рыцарей не менее 20 -ти человек.

2) А теперь рассмотрим самого молодого рыцаря. Он говорит, что не найдётся и 20 -ти человек, которые его старше, и он говорит правду. Следовательно, старше него может быть максимум 19 человек. Плюс он сам - рыцарь. Следовательно, рыцарей не может быть более 20 -ти человек.

Из пунктов 1) и 2) следует, что рыцарей ровно 20 человек.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

б)

3) Среди рыцарей возьмём того, который решил больше всего задач. Он сказал, что, по крайней мере, 15 человек решили задач больше, чем он. Так как он - рыцарь, то это правда. Причём все 15 человек - лжецы. Следовательно, лжецов не менее 15 -ти человек.

4) Среди лжецов возьмём того, который решил меньше всего задач. Он сказал, что, по крайней мере, 15 человек решили задач больше, чем он, но он лжёт, следовательно, больше него задач решили не более 14 -ти человек. Плюс он сам - лжец. Следовательно, лжецов не может быть больше 15-ти человек.

Из пунктов 3) и 4) следует, что лжецов ровно 15 человек.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Вывод: на кружок ходили 20 рыцарей и 15 лжецов, всего 35 человек.

Ответ: 35

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел