Тема Региональный этап ВсОШ и олимпиада им. Эйлера

Регион 11 класс → .07 Регион 2020

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела региональный этап всош и олимпиада им. эйлера

Разделы подтемы Регион 11 класс

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79746Максимум баллов за задание: 7

На доске написаны функции: $x+1,x2+ 1,x3+ 1,x4+ 1.$ Разрешается дописывать на доску новые функции, получаемые из написанных на доске с помощью операций вычитания и умножения. Покажите, как получить ненулевую функцию, которая при положительных значениях аргумента принимает неотрицательные значения, а при отрицательных значениях аргумента — неположительные значения.

Источники: Всеросс., 2020, РЭ, 11.6(см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Например, подходит $(x4+1)(x+1)− (x4 +1)= x(x4+ 1).$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#79748Максимум баллов за задание: 7

Известно, что для некоторых $x$ и $y$ суммы $sinx+ cosy$ и $sin y+cosx$ — положительные рациональные числа. Докажите, что найдутся такие натуральные числа $m$ и $n,$ что $m sinx +n cosx$ — натуральное число.

Источники: Всеросс., 2020, РЭ, 11.8(см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Пусть $sinx+ cosy = a$ и $sin y+cosx= b.$ Тогда $cosy =a − sin x$ и $siny = b− cosx.$ Возведём эти равенства в квадрат и сложим их. Тогда в силу основного тригонометрического тождества получим: $2 2 1= a +b − 2a sinx− 2bcosx+ 1,$ то есть $2 2 2asinx +2bcosx= a +b .$ Пусть $N$ — НОК знаменателей чисел $a$ и $b;$ тогда, умножив полученное равенство на $2 N ,$ получим требуемое.