Тема Региональный этап ВсОШ и олимпиада им. Эйлера

Регион 11 класс → .05 Регион 2018

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела региональный этап всош и олимпиада им. эйлера

Разделы подтемы Регион 11 класс

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#73403Максимум баллов за задание: 7

В каждую клетку таблицы $1001× 1001$ поставили $0$ или $1.$ Оказалось, что в любом столбце нулей больше, чем единиц. Обязательно ли найдутся два столбца таких, что число строк, в пересечениях которых с этими двумя столбцами стоят только нули, больше числа строк, в пересечениях которых с этими двумя столбцами стоят только единицы?

Источники: Всеросс., 2018, РЭ, 11.2(см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Покажем, что требуемому условию удовлетворяют любые два столбца таблицы. Выкинем из таблицы все столбцы, кроме двух рассматриваемых. Общее число нулей в этих столбцах больше общего числа единиц; это значит, что нулей в них не меньше $1002.$ Если в полученной таблице $k$ строк с двумя нулями, то есть ещё хотя бы $1002 − 2k$ строк с одним нулём — и, следовательно, не более $1001− k− (1002− 2k)= k− 1$ столбцов с двумя единицами. Осталось заметить, что $k− 1< k.$

Ответ:

Да

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#78110Максимум баллов за задание: 7

Внутри выпуклого пятиугольника отметили точку и соединили её со всеми вершинами. Какое наибольшее число из десяти проведенных отрезков (пяти сторон и пяти отрезков, соединяющих отмеченную точку с вершинами пятиугольника) может иметь длину $1?$

Источники: Всеросс., 2018, РЭ, 11.1(см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

Сначала докажем, что все $10$ отрезков не могут иметь длину $1.$ Предположим противное. Пусть $ABCDE$ — пятиугольник, $O$ — точка внутри него, и все $10$ проведенных отрезков имеют длину $1$ (см. рис. выше). Тогда треугольники $OAB, OBC,OCD, ODE$ и $OEA$ — правильные, поэтому $∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOE = ∠AOE = 60∘.$ Сумма же этих углов должна быть равна $360∘,$ однако $5⋅60∘ = 300∘$ — противоречие.

$PIC$

Осталось привести пример, когда $9$ отрезков имеют длину $1$ (см. рис. выше). Отметим на плоскости точки $A$ и $O$ на расстоянии $1.$ выберем последовательно точки $B,C,D$ и $E$ так, чтобы треугольники $AOB, BOC,COD$ и $DOE$ были равносторонними. Тогда точка $O$ лежит внутри пятиугольника $ABCDE,$ и из $10$ проведенных отрезков все, кроме $AE,$ имеют длину $1.$

Ответ:

$9$ отрезков

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#79747Максимум баллов за задание: 7

Функция $f(x),$ заданная на всей числовой оси, при всех действительных $x$ и $y$ удовлетворяет условию

x-+y x−-y f(x)+ f(y)= 2f( 2 )f( 2 )

Верно ли, что функция $f(x)$ обязательно чётная?

Источники: Всеросс., 2018, РЭ, 11.7(см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Подставим в данное равенство $− y$ вместо $y.$ Получим

x−-y x-+y f(x)+ f(−y)=2f( 2 )f( 2 )

Итак, $f(x)+f(y)= f(x)+ f(− y),$ откуда для всех действительных $y$ получим $f(y)=f(−y).$ Это и означает, что функция $f(x)$ чётная.

Ответ:

Верно

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#81909Максимум баллов за задание: 7

Дан неравнобедренный треугольник $ABC,$ в котором $∠B = 135∘.$ Пусть $M$ — середина отрезка $AC.$ Точка $O$ — центр окружности $Ω,$ описанной около треугольника $ABC.$ Луч $BM$ вторично пересекает окружность $Ω$ в точке $D.$ Докажите, что центр окружности $Γ ,$ описанной около треугольника $BOD,$ лежит на прямой $AC.$

Источники: Всеросс., 2018, РЭ, 11.3(см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Так как $∠ABC = 135∘,$ то $∠AOC =90∘.$ Так как $OM$ — медиана в прямоугольном треугольнике $AOC,$ имеем $OM = AM = MC.$ На продолжении отрезка $OM$ за точку $M$ отметим точку $E$ так, что $OM =ME.$ Поскольку четырёхугольник $ABCD$ вписанный,

BM ⋅MD = AM ⋅MC = OM ⋅ME.

Следовательно, точка $E$ лежит на окружности $Γ .$

$PIC$

Точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC,$ поэтому $AC ⊥ OM.$ Значит, прямая $AC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $OE.$ Поскольку отрезок $OE$ является хордой окружности $Γ ,$ её центр лежит на прямой $AC.$

Предыдущая подтема

Следующая подтема